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练4-1 如图,若长方形内两个相邻正方形的面积分别为9和3,则阴影部分的面积为 （
A.$8 - 3\sqrt{3}$
B.$9 - 3\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3} - 3$
D.$3\sqrt{3} - 2$
C
）A.$8 - 3\sqrt{3}$
B.$9 - 3\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3} - 3$
D.$3\sqrt{3} - 2$
答案
C
解析
【分析】首先根据正方形面积公式，由两个正方形的面积求出它们的边长；再观察图形，确定阴影部分是长方形，找到该长方形的长和宽，最后利用长方形面积公式计算阴影部分面积。
【解析】解：
∵两个正方形的面积分别为9和3，
∴大正方形的边长为$\sqrt{9}=3$，小正方形的边长为$\sqrt{3}$。
观察图形可知，阴影部分是一个长方形，它的长为小正方形的边长$\sqrt{3}$，宽为大正方形边长与小正方形边长的差，即$3 - \sqrt{3}$。
根据长方形面积公式：面积=长×宽，可得阴影部分面积为：
$\sqrt{3}×(3 - \sqrt{3})=3\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2=3\sqrt{3} - 3$。
【答案】C
【知识点】正方形面积、长方形面积、二次根式运算
【点评】本题需结合正方形和长方形的面积公式，通过分析图形确定阴影部分的边长，再进行二次根式的运算，是基础的几何面积计算题。
【难度系数】0.5
【解析】解：
∵两个正方形的面积分别为9和3，
∴大正方形的边长为$\sqrt{9}=3$，小正方形的边长为$\sqrt{3}$。
观察图形可知，阴影部分是一个长方形，它的长为小正方形的边长$\sqrt{3}$，宽为大正方形边长与小正方形边长的差，即$3 - \sqrt{3}$。
根据长方形面积公式：面积=长×宽，可得阴影部分面积为：
$\sqrt{3}×(3 - \sqrt{3})=3\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2=3\sqrt{3} - 3$。
【答案】C
【知识点】正方形面积、长方形面积、二次根式运算
【点评】本题需结合正方形和长方形的面积公式，通过分析图形确定阴影部分的边长，再进行二次根式的运算，是基础的几何面积计算题。
【难度系数】0.5
练 4-2 已知 $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$, 求下列代数式的值:
(1)$x^2y+xy^2$;
(2)$x^2-xy+y^2$。
(1)$x^2y+xy^2$;
(2)$x^2-xy+y^2$。
答案
由题意得$x+y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\sqrt{5}$，$xy=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{4}=1$。
(1) 原式$=xy(x+y)=1×\sqrt{5}=\sqrt{5}$
(2) 原式$=(x+y)^2-3xy=(\sqrt{5})^2-3×1=5-3=2$
(1) 原式$=xy(x+y)=1×\sqrt{5}=\sqrt{5}$
(2) 原式$=(x+y)^2-3xy=(\sqrt{5})^2-3×1=5-3=2$
解析
【分析】
这道题求代数式的值，直接代入计算会较繁琐，因此先计算$x+y$和$xy$的值，再通过因式分解、完全平方公式对代数式变形，最后整体代入简化运算。
【解析】
先计算$x+y$与$xy$的值：
$x+y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$；
$xy=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{2×2}=\frac{5-1}{4}=1$。
(1) 对$x^2y+xy^2$因式分解得：
原式$=xy(x+y)=1×\sqrt{5}=\sqrt{5}$；
(2) 对$x^2-xy+y^2$变形得：
原式$=(x+y)^2-3xy=(\sqrt{5})^2-3×1=5-3=2$。
【答案】
(1)$\sqrt{5}$；(2)$2$
【知识点】
二次根式运算、因式分解应用、完全平方公式
【点评】
本题运用整体代入法简化代数式求值，避免复杂根式运算，是代数求值的常用技巧，体现了代数变形的简洁性。
【难度系数】
0.6
这道题求代数式的值，直接代入计算会较繁琐，因此先计算$x+y$和$xy$的值，再通过因式分解、完全平方公式对代数式变形，最后整体代入简化运算。
【解析】
先计算$x+y$与$xy$的值：
$x+y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$；
$xy=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{2×2}=\frac{5-1}{4}=1$。
(1) 对$x^2y+xy^2$因式分解得：
原式$=xy(x+y)=1×\sqrt{5}=\sqrt{5}$；
(2) 对$x^2-xy+y^2$变形得：
原式$=(x+y)^2-3xy=(\sqrt{5})^2-3×1=5-3=2$。
【答案】
(1)$\sqrt{5}$；(2)$2$
【知识点】
二次根式运算、因式分解应用、完全平方公式
【点评】
本题运用整体代入法简化代数式求值，避免复杂根式运算，是代数求值的常用技巧，体现了代数变形的简洁性。
【难度系数】
0.6
1. 二次根式$\sqrt{16}$化简的结果是 （
A.$4$
B.$\pm 4$
C.$\pm 2$
D.$2$
A
）A.$4$
B.$\pm 4$
C.$\pm 2$
D.$2$
答案
A
解析
【分析】首先需明确二次根式$\sqrt{a}$的含义：它表示非负数$a$的算术平方根，算术平方根是指一个非负数的正的平方根，结果为非负数。解题时要区分平方根和算术平方根的概念，避免混淆，从而确定$\sqrt{16}$的化简结果。
【解析】根据二次根式的定义，$\sqrt{16}$是求16的算术平方根。因为$4^2=16$，且算术平方根为非负数，所以$\sqrt{16}=4$。
【答案】A
【知识点】二次根式化简、算术平方根
【点评】本题考查二次根式的基础概念，核心是区分平方根与算术平方根，属于基础题型，侧重对概念的准确理解。
【难度系数】0.7
【解析】根据二次根式的定义，$\sqrt{16}$是求16的算术平方根。因为$4^2=16$，且算术平方根为非负数，所以$\sqrt{16}=4$。
【答案】A
【知识点】二次根式化简、算术平方根
【点评】本题考查二次根式的基础概念，核心是区分平方根与算术平方根，属于基础题型，侧重对概念的准确理解。
【难度系数】0.7
2. 下列二次根式中,属于最简二次根式的是 （
A.$\sqrt{9}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{\dfrac{5}{2}}$
D.$\sqrt{8}$
B
）A.$\sqrt{9}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{\dfrac{5}{2}}$
D.$\sqrt{8}$
答案
B
解析
【分析】
要判断最简二次根式，需依据其定义：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母。接下来逐一分析各选项：A选项√9，被开方数9是3的平方，含能开得尽方的因数，不符合；B选项√5，被开方数5既不含能开得尽方的因数，也不含分母，符合条件；C选项√(5/2)，被开方数含有分母，不符合；D选项√8，被开方数8含能开得尽方的因数4，不符合，因此选B。
【解析】
根据最简二次根式的定义，逐一分析选项：
1. 选项A：√9 = 3，被开方数9是完全平方数，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
2. 选项B：√5的被开方数5，不含能开得尽方的因数，也不含分母，满足最简二次根式的条件；
3. 选项C：√(5/2)的被开方数含有分母，不符合最简二次根式的要求；
4. 选项D：√8 = √(4×2)=2√2，被开方数8含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
综上，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的定义
【点评】
本题考查最简二次根式的基本概念，属于基础题型，只要牢记最简二次根式的两个判断条件即可快速得出答案，适合巩固二次根式的基础知识点。
【难度系数】
0.8
要判断最简二次根式，需依据其定义：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母。接下来逐一分析各选项：A选项√9，被开方数9是3的平方，含能开得尽方的因数，不符合；B选项√5，被开方数5既不含能开得尽方的因数，也不含分母，符合条件；C选项√(5/2)，被开方数含有分母，不符合；D选项√8，被开方数8含能开得尽方的因数4，不符合，因此选B。
【解析】
根据最简二次根式的定义，逐一分析选项：
1. 选项A：√9 = 3，被开方数9是完全平方数，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
2. 选项B：√5的被开方数5，不含能开得尽方的因数，也不含分母，满足最简二次根式的条件；
3. 选项C：√(5/2)的被开方数含有分母，不符合最简二次根式的要求；
4. 选项D：√8 = √(4×2)=2√2，被开方数8含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
综上，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的定义
【点评】
本题考查最简二次根式的基本概念，属于基础题型，只要牢记最简二次根式的两个判断条件即可快速得出答案，适合巩固二次根式的基础知识点。
【难度系数】
0.8
3. 计算$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)$的值是（
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$7$
A
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$7$
答案
A
解析
【分析】
这道题可通过识别式子结构，利用平方差公式简化计算。首先观察到原式符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$的形式，确定$a=\sqrt{3}$，$b=2$，套用公式计算后即可得出结果，对应选项。
【解析】
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，对原式计算：
$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)=(\sqrt{3})^2 - 2^2$
计算得：$3 - 4 = -1$，结果为$-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、二次根式运算
【点评】
本题为基础计算题，核心考查平方差公式在二次根式中的应用，解题关键是准确套用公式，难度低，适合巩固代数运算基础。
【难度系数】
0.9
这道题可通过识别式子结构，利用平方差公式简化计算。首先观察到原式符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$的形式，确定$a=\sqrt{3}$，$b=2$，套用公式计算后即可得出结果，对应选项。
【解析】
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，对原式计算：
$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)=(\sqrt{3})^2 - 2^2$
计算得：$3 - 4 = -1$，结果为$-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、二次根式运算
【点评】
本题为基础计算题，核心考查平方差公式在二次根式中的应用，解题关键是准确套用公式，难度低，适合巩固代数运算基础。
【难度系数】
0.9
4. 下列计算中正确的是 （
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{3}-\sqrt{2}=1$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
D.$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\pm3$
C
）A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{3}-\sqrt{2}=1$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
D.$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\pm3$
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算，需依据二次根式的加减、乘除运算法则逐一判断选项：二次根式加减仅同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）可合并；二次根式乘法法则为$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$；二次根式除法法则为$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，且运算结果为非负数。
【解析】
选项A：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法合并，故A错误；
选项B：$\sqrt{3}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能直接相减得1，故B错误；
选项C：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，故C正确；
选项D：根据二次根式除法法则，$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{18÷2}=\sqrt{9}=3$，结果应为非负数，不是±3，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算
【点评】
本题为二次根式运算的基础题，核心考查二次根式的基本运算法则，需牢记同类二次根式的合并条件及乘除运算规则，避免合并或符号错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的运算，需依据二次根式的加减、乘除运算法则逐一判断选项：二次根式加减仅同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）可合并；二次根式乘法法则为$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$；二次根式除法法则为$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，且运算结果为非负数。
【解析】
选项A：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法合并，故A错误；
选项B：$\sqrt{3}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能直接相减得1，故B错误；
选项C：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，故C正确；
选项D：根据二次根式除法法则，$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{18÷2}=\sqrt{9}=3$，结果应为非负数，不是±3，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算
【点评】
本题为二次根式运算的基础题，核心考查二次根式的基本运算法则，需牢记同类二次根式的合并条件及乘除运算规则，避免合并或符号错误。
【难度系数】
0.8
5.若算式$(2+2\sqrt{2})※(1+\sqrt{2})$的结果是有理数,则※表示的运算符号是 （
A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$
D
）A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$
答案
D
解析
【分析】要确定※表示的运算符号，需将各选项的运算符号分别代入算式，计算结果后判断是否为有理数，最终选出符合要求的选项。
【解析】分别计算各选项对应的运算结果：
选项A（+）：$(2+2\sqrt{2})+(1+\sqrt{2})=3+3\sqrt{2}$，结果含$\sqrt{2}$，是无理数，不符合；
选项B（-）：$(2+2\sqrt{2})-(1+\sqrt{2})=1+\sqrt{2}$，结果含$\sqrt{2}$，是无理数，不符合；
选项C（×）：$(2+2\sqrt{2})×(1+\sqrt{2})=2×1 + 2×\sqrt{2} + 2\sqrt{2}×1 + 2\sqrt{2}×\sqrt{2}=2 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4=6 + 4\sqrt{2}$，结果含$\sqrt{2}$，是无理数，不符合；
选项D（÷）：$(2+2\sqrt{2})÷(1+\sqrt{2})=\frac{2(1+\sqrt{2})}{1+\sqrt{2}}=2$，2是整数，属于有理数，符合要求。
综上，答案为D。
【答案】D
【知识点】二次根式的运算、有理数的概念
【点评】本题通过代入验证二次根式的四则运算结果，考查对有理数的判断，属于基础题型，需掌握二次根式的运算法则。
【难度系数】0.3
【解析】分别计算各选项对应的运算结果：
选项A（+）：$(2+2\sqrt{2})+(1+\sqrt{2})=3+3\sqrt{2}$，结果含$\sqrt{2}$，是无理数，不符合；
选项B（-）：$(2+2\sqrt{2})-(1+\sqrt{2})=1+\sqrt{2}$，结果含$\sqrt{2}$，是无理数，不符合；
选项C（×）：$(2+2\sqrt{2})×(1+\sqrt{2})=2×1 + 2×\sqrt{2} + 2\sqrt{2}×1 + 2\sqrt{2}×\sqrt{2}=2 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4=6 + 4\sqrt{2}$，结果含$\sqrt{2}$，是无理数，不符合；
选项D（÷）：$(2+2\sqrt{2})÷(1+\sqrt{2})=\frac{2(1+\sqrt{2})}{1+\sqrt{2}}=2$，2是整数，属于有理数，符合要求。
综上，答案为D。
【答案】D
【知识点】二次根式的运算、有理数的概念
【点评】本题通过代入验证二次根式的四则运算结果，考查对有理数的判断，属于基础题型，需掌握二次根式的运算法则。
【难度系数】0.3
6.若$a,b$为实数，且$b=\frac{\sqrt{a^2 - 9}+\sqrt{9 - a^2}}{a + 3}+4$，则$a + b$的值为 （
A.$-1$
B.$1$
C.$1$或$7$
D.$7$
D
）A.$-1$
B.$1$
C.$1$或$7$
D.$7$
答案
D
解析
【分析】要计算$a + b$的值，需先根据二次根式有意义的条件和分母不为0的隐含条件确定$a$的取值，再代入求出$b$，最后计算$a + b$。首先，二次根式的被开方数必须是非负数，据此联立不等式确定$a^2$的值；同时分母不能为0，据此排除不符合的$a$值，进而确定$a$，再求$b$，最终计算$a + b$。
【解析】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数≥0，可得：
$\begin{cases}a^2 - 9 ≥ 0 \\9 - a^2 ≥ 0\end{cases}$
解这个不等式组，得$a^2 = 9$，即$a = \pm3$。
又因为分母$a + 3 ≠ 0$，所以$a ≠ -3$，因此$a = 3$。
将$a = 3$代入$b = \frac{\sqrt{a^2 - 9} + \sqrt{9 - a^2}}{a + 3} + 4$，得：
$b = \frac{0 + 0}{3 + 3} + 4 = 0 + 4 = 4$
所以$a + b = 3 + 4 = 7$。
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件、代数式求值
【点评】本题考查二次根式的定义域，解题核心是同时考虑二次根式被开方数非负和分母不为0的隐含条件，易因忽略分母限制错选C，属于需注意细节的易错题。
【难度系数】0.5
【解析】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数≥0，可得：
$\begin{cases}a^2 - 9 ≥ 0 \\9 - a^2 ≥ 0\end{cases}$
解这个不等式组，得$a^2 = 9$，即$a = \pm3$。
又因为分母$a + 3 ≠ 0$，所以$a ≠ -3$，因此$a = 3$。
将$a = 3$代入$b = \frac{\sqrt{a^2 - 9} + \sqrt{9 - a^2}}{a + 3} + 4$，得：
$b = \frac{0 + 0}{3 + 3} + 4 = 0 + 4 = 4$
所以$a + b = 3 + 4 = 7$。
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件、代数式求值
【点评】本题考查二次根式的定义域，解题核心是同时考虑二次根式被开方数非负和分母不为0的隐含条件，易因忽略分母限制错选C，属于需注意细节的易错题。
【难度系数】0.5
7. 实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简$\sqrt{(a+1)^2} - \sqrt{(b-2)^2}$的结果是 （
A.$a - b + 3$
B.$a + b - 1$
C.$-a - b + 1$
D.$-a + b + 1$
B
）A.$a - b + 3$
B.$a + b - 1$
C.$-a - b + 1$
D.$-a + b + 1$
答案
B
