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8. 若$y=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-3}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是________。
答案
$x≥1$且$x≠3$
解析
【分析】要确定函数$y=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-3}$中$x$的取值范围，需分别考虑二次根式和分式有意义的条件：①二次根式的被开方数必须是非负数；②分式的分母不能为0。将这两个条件结合，即可得到$x$的取值范围。
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数$x-1≥0$，解得$x≥1$；根据分式有意义的条件，分母$x-3≠0$，解得$x≠3$。综合两个条件，$x$的取值范围是$x≥1$且$x≠3$。
【答案】$x≥1$且$x≠3$
【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【点评】本题考查函数自变量取值范围的确定，需熟练掌握二次根式和分式有意义的基本规则，解题时需同时满足两个条件，避免遗漏分母不为0的情况，属于基础题型。
【难度系数】0.3
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数$x-1≥0$，解得$x≥1$；根据分式有意义的条件，分母$x-3≠0$，解得$x≠3$。综合两个条件，$x$的取值范围是$x≥1$且$x≠3$。
【答案】$x≥1$且$x≠3$
【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【点评】本题考查函数自变量取值范围的确定，需熟练掌握二次根式和分式有意义的基本规则，解题时需同时满足两个条件，避免遗漏分母不为0的情况，属于基础题型。
【难度系数】0.3
9. 当$a=1$时，二次根式$\sqrt{3+a}$的值为________。
答案
2
解析
【分析】
本题的解题思路是将给定的a值代入二次根式的被开方数中，先计算被开方数的结果，再依据二次根式的性质求出最终值。具体步骤为：第一步，把a=1代入3+a计算被开方数；第二步，对得到的结果进行开平方运算，得到二次根式的值。
【解析】
当a=1时，将a=1代入二次根式$\sqrt{3+a}$中，先计算被开方数：$3 + 1 = 4$；再根据二次根式的性质，$\sqrt{4} = 2$，因此该二次根式的值为2。
【答案】
2
【知识点】
二次根式求值，代数式代入计算
【点评】
本题属于基础题型，考察二次根式的基本求值方法，只需准确代入数值并完成简单计算即可，是对二次根式概念的基础应用，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题的解题思路是将给定的a值代入二次根式的被开方数中，先计算被开方数的结果，再依据二次根式的性质求出最终值。具体步骤为：第一步，把a=1代入3+a计算被开方数；第二步，对得到的结果进行开平方运算，得到二次根式的值。
【解析】
当a=1时，将a=1代入二次根式$\sqrt{3+a}$中，先计算被开方数：$3 + 1 = 4$；再根据二次根式的性质，$\sqrt{4} = 2$，因此该二次根式的值为2。
【答案】
2
【知识点】
二次根式求值，代数式代入计算
【点评】
本题属于基础题型，考察二次根式的基本求值方法，只需准确代入数值并完成简单计算即可，是对二次根式概念的基础应用，难度较低。
【难度系数】
0.9
10. 已知$\sqrt{m-2}(m-3)≤ 0$。若整数$a$满足$m+a=5\sqrt{2}$，则$a=\_\_\_\_\_\_$。
A E B
A E B
答案
5
解析
【分析】
首先根据二次根式有意义的条件确定m的取值范围，再结合不等式√(m-2)(m-3)≤0进一步缩小m的范围；接着由m+a=5√2将a表示为5√2 - m，利用a是整数的条件，结合m的范围求出整数a的值。
【解析】
1. 二次根式有意义的条件：要使√(m-2)有意义，需m-2≥0，即m≥2。
2. 解不等式√(m-2)(m-3)≤0：因为√(m-2)≥0，分两种情况讨论：
当√(m-2)=0时，m=2，此时乘积为0，满足不等式；
当√(m-2)＞0时，需m-3≤0，即m≤3，结合m＞2得2＜m≤3；
综上，m的取值范围是2≤m≤3。
3. 计算近似值：√2≈1.414，故5√2≈7.07。
4. 求a的值：由m+a=5√2得a=5√2 - m，因为a是整数，代入m的范围2≤m≤3，得a=7.07 - m，需满足4.07≤a≤5.07，又a为整数，因此a=5。
【答案】
5
【知识点】
二次根式有意义的条件；不等式求解；代数式求值
【点评】
本题综合考查二次根式性质、不等式应用及代数式变形，关键是先确定m的取值范围，再结合整数条件推导结果，需注意二次根式非负性在不等式中的应用。
【难度系数】
0.5
首先根据二次根式有意义的条件确定m的取值范围，再结合不等式√(m-2)(m-3)≤0进一步缩小m的范围；接着由m+a=5√2将a表示为5√2 - m，利用a是整数的条件，结合m的范围求出整数a的值。
【解析】
1. 二次根式有意义的条件：要使√(m-2)有意义，需m-2≥0，即m≥2。
2. 解不等式√(m-2)(m-3)≤0：因为√(m-2)≥0，分两种情况讨论：
当√(m-2)=0时，m=2，此时乘积为0，满足不等式；
当√(m-2)＞0时，需m-3≤0，即m≤3，结合m＞2得2＜m≤3；
综上，m的取值范围是2≤m≤3。
3. 计算近似值：√2≈1.414，故5√2≈7.07。
4. 求a的值：由m+a=5√2得a=5√2 - m，因为a是整数，代入m的范围2≤m≤3，得a=7.07 - m，需满足4.07≤a≤5.07，又a为整数，因此a=5。
【答案】
5
【知识点】
二次根式有意义的条件；不等式求解；代数式求值
【点评】
本题综合考查二次根式性质、不等式应用及代数式变形，关键是先确定m的取值范围，再结合整数条件推导结果，需注意二次根式非负性在不等式中的应用。
【难度系数】
0.5
11. 如图,用四张一样大小的长方形纸片拼成的一个正方形ABCD的面积是75,$AE=3\sqrt{3}$,图中空白的地方是一个正方形,则这个小正方形的周长为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
$4\sqrt{3}$
解析
【分析】要解决本题，需先根据大正方形面积求出其边长，再结合图形中线段的关系，确定长方形的长、宽，进而得到空白小正方形的边长，最后计算周长。具体思路：①由大正方形面积求边长；②利用AE的长度确定长方形的长；③通过大正方形边长与长的关系求长方形的宽；④得出小正方形边长，计算周长。
【解析】设长方形的长为$a$，宽为$b$。
1. 大正方形$ABCD$的面积为75，因此其边长为$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，而大正方形的边长等于长方形的长与宽之和，即$a + b = 5\sqrt{3}$。
2. 由图可知，线段$AE$的长度等于长方形的长，故$a = AE = 3\sqrt{3}$。
3. 将$a = 3\sqrt{3}$代入$a + b =5\sqrt{3}$，解得$b =5\sqrt{3} -3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
4. 观察图形，空白小正方形的边长等于长方形的长与宽之差，即小正方形边长为$a - b =3\sqrt{3} -2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
5. 因此，小正方形的周长为$4×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】$4\sqrt{3}$
【知识点】正方形的周长，长方形的边长关系，正方形的面积
【点评】本题结合图形拼接考查几何计算，核心是理清各线段间的数量关系，难度中等，需要学生具备一定的图形观察和代数运算能力。
【难度系数】0.5
【解析】设长方形的长为$a$，宽为$b$。
1. 大正方形$ABCD$的面积为75，因此其边长为$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，而大正方形的边长等于长方形的长与宽之和，即$a + b = 5\sqrt{3}$。
2. 由图可知，线段$AE$的长度等于长方形的长，故$a = AE = 3\sqrt{3}$。
3. 将$a = 3\sqrt{3}$代入$a + b =5\sqrt{3}$，解得$b =5\sqrt{3} -3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
4. 观察图形，空白小正方形的边长等于长方形的长与宽之差，即小正方形边长为$a - b =3\sqrt{3} -2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
5. 因此，小正方形的周长为$4×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】$4\sqrt{3}$
【知识点】正方形的周长，长方形的边长关系，正方形的面积
【点评】本题结合图形拼接考查几何计算，核心是理清各线段间的数量关系，难度中等，需要学生具备一定的图形观察和代数运算能力。
【难度系数】0.5
12.若$x,y$分别为$8-\sqrt{11}$的整数部分和小数部分，则$2xy-y^2=\_\_\_\_\_\_$。
答案
5
解析
【分析】
要解决这个问题，需先确定$8 - \sqrt{11}$的整数部分$x$和小数部分$y$，再代入代数式计算：1. 估算$\sqrt{11}$的范围，利用平方数比较得$3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$；2. 推导$8 - \sqrt{11}$的范围，确定整数部分$x$，小数部分$y = 8 - \sqrt{11} - x$；3. 对代数式$2xy - y^2$因式分解，代入$x$、$y$后用平方差公式简化计算。
【解析】
解：
1. 估算$\sqrt{11}$的范围：
$\because 3^2 = 9$，$2^2 = 4$，$\therefore 3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$；
2. 确定$8 - \sqrt{11}$的整数部分和小数部分：
$\therefore 8 - 4 ＜ 8 - \sqrt{11} ＜ 8 - 3$，即$4 ＜ 8 - \sqrt{11} ＜ 5$，
$\therefore$整数部分$x = 4$，小数部分$y = (8 - \sqrt{11}) - 4 = 4 - \sqrt{11}$；
3. 代入计算代数式：
对$2xy - y^2$因式分解得：$2xy - y^2 = y(2x - y)$，
将$x=4$，$y=4 - \sqrt{11}$代入：
原式$=(4 - \sqrt{11}) × [2 × 4 - (4 - \sqrt{11})]$
$=(4 - \sqrt{11}) × (4 + \sqrt{11})$
利用平方差公式$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$：
$= 4^2 - (\sqrt{11})^2 = 16 - 11 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
无理数估算、代数式求值、平方差公式
【点评】
本题核心是确定无理数的整数/小数部分，通过因式分解简化运算，考查无理数估算和代数变形能力，需熟练掌握平方差公式的应用。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先确定$8 - \sqrt{11}$的整数部分$x$和小数部分$y$，再代入代数式计算：1. 估算$\sqrt{11}$的范围，利用平方数比较得$3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$；2. 推导$8 - \sqrt{11}$的范围，确定整数部分$x$，小数部分$y = 8 - \sqrt{11} - x$；3. 对代数式$2xy - y^2$因式分解，代入$x$、$y$后用平方差公式简化计算。
【解析】
解：
1. 估算$\sqrt{11}$的范围：
$\because 3^2 = 9$，$2^2 = 4$，$\therefore 3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$；
2. 确定$8 - \sqrt{11}$的整数部分和小数部分：
$\therefore 8 - 4 ＜ 8 - \sqrt{11} ＜ 8 - 3$，即$4 ＜ 8 - \sqrt{11} ＜ 5$，
$\therefore$整数部分$x = 4$，小数部分$y = (8 - \sqrt{11}) - 4 = 4 - \sqrt{11}$；
3. 代入计算代数式：
对$2xy - y^2$因式分解得：$2xy - y^2 = y(2x - y)$，
将$x=4$，$y=4 - \sqrt{11}$代入：
原式$=(4 - \sqrt{11}) × [2 × 4 - (4 - \sqrt{11})]$
$=(4 - \sqrt{11}) × (4 + \sqrt{11})$
利用平方差公式$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$：
$= 4^2 - (\sqrt{11})^2 = 16 - 11 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
无理数估算、代数式求值、平方差公式
【点评】
本题核心是确定无理数的整数/小数部分，通过因式分解简化运算，考查无理数估算和代数变形能力，需熟练掌握平方差公式的应用。
【难度系数】
0.5
13. 计算:
(1)$2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\sqrt{2}-\sqrt{3}$；
(2)$\sqrt{\frac{1}{5}}+\sqrt{4}×\sqrt{5}-\sqrt{20}$；
(3)$(3-\sqrt{5})^{2}+\sqrt{20}+5\sqrt{\frac{1}{5}}$。
(1)$2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\sqrt{2}-\sqrt{3}$；
(2)$\sqrt{\frac{1}{5}}+\sqrt{4}×\sqrt{5}-\sqrt{20}$；
(3)$(3-\sqrt{5})^{2}+\sqrt{20}+5\sqrt{\frac{1}{5}}$。
答案
(1) 原式$=2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
(2) 原式$=\frac{\sqrt{5}}{5}+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
(3) 原式$=9-6\sqrt{5}+5+2\sqrt{5}+\sqrt{5}=14-3\sqrt{5}$
(2) 原式$=\frac{\sqrt{5}}{5}+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
(3) 原式$=9-6\sqrt{5}+5+2\sqrt{5}+\sqrt{5}=14-3\sqrt{5}$
解析
【分析】
这三道题均为二次根式的运算，解题思路如下：
1. 有括号的式子先根据去括号法则（或完全平方公式）展开；
2. 将所有二次根式化为最简二次根式；
3. 按“先乘除、后加减”的顺序，找出同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式），合并后得到结果。
【解析】
(1) 先去括号，再合并同类二次根式：
原式$=2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}$
$=(2\sqrt{3}-\sqrt{3})+(-2\sqrt{2}+\sqrt{2})$
$=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
(2) 先化简各二次根式，计算乘法后合并同类二次根式：
$\because \sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
$\therefore$ 原式$=\frac{\sqrt{5}}{5}+2×\sqrt{5}-2\sqrt{5}$
$=\frac{\sqrt{5}}{5}+(2\sqrt{5}-2\sqrt{5})$
$=\frac{\sqrt{5}}{5}$
(3) 用完全平方公式展开，化简根式后合并同类项：
$\because (3-\sqrt{5})^2=9-6\sqrt{5}+5$，$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$5\sqrt{\frac{1}{5}}=\sqrt{5}$
$\therefore$ 原式$=9-6\sqrt{5}+5+2\sqrt{5}+\sqrt{5}$
$=(9+5)+(-6\sqrt{5}+2\sqrt{5}+\sqrt{5})$
$=14-3\sqrt{5}$
【答案】
(1) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$；(2) $\frac{\sqrt{5}}{5}$；(3) $14-3\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式的混合运算，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的化简与加减运算，涉及完全平方公式的应用，解题关键是正确化简二次根式并合并同类二次根式，属于基础运算题型，需熟练掌握相关法则。
【难度系数】
0.7
这三道题均为二次根式的运算，解题思路如下：
1. 有括号的式子先根据去括号法则（或完全平方公式）展开；
2. 将所有二次根式化为最简二次根式；
3. 按“先乘除、后加减”的顺序，找出同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式），合并后得到结果。
【解析】
(1) 先去括号，再合并同类二次根式：
原式$=2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}$
$=(2\sqrt{3}-\sqrt{3})+(-2\sqrt{2}+\sqrt{2})$
$=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
(2) 先化简各二次根式，计算乘法后合并同类二次根式：
$\because \sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
$\therefore$ 原式$=\frac{\sqrt{5}}{5}+2×\sqrt{5}-2\sqrt{5}$
$=\frac{\sqrt{5}}{5}+(2\sqrt{5}-2\sqrt{5})$
$=\frac{\sqrt{5}}{5}$
(3) 用完全平方公式展开，化简根式后合并同类项：
$\because (3-\sqrt{5})^2=9-6\sqrt{5}+5$，$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$5\sqrt{\frac{1}{5}}=\sqrt{5}$
$\therefore$ 原式$=9-6\sqrt{5}+5+2\sqrt{5}+\sqrt{5}$
$=(9+5)+(-6\sqrt{5}+2\sqrt{5}+\sqrt{5})$
$=14-3\sqrt{5}$
【答案】
(1) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$；(2) $\frac{\sqrt{5}}{5}$；(3) $14-3\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式的混合运算，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的化简与加减运算，涉及完全平方公式的应用，解题关键是正确化简二次根式并合并同类二次根式，属于基础运算题型，需熟练掌握相关法则。
【难度系数】
0.7
14.以下是小奔同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务。
解：$(\sqrt{2}-1)^2(3+2\sqrt{2})$
$=(2-2\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})······$第①步
$=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})······$第②步
$=9-4······$第③步
$=5······$第④步
【任务】
(1)上述解答过程中，第①步依据的乘法公式为________（填“平方差公式”或“完全平方公式”）；
(2)上述解答过程，从第________步开始出错；
(3)请写出正确的计算过程。
解：$(\sqrt{2}-1)^2(3+2\sqrt{2})$
$=(2-2\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})······$第①步
$=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})······$第②步
$=9-4······$第③步
$=5······$第④步
【任务】
(1)上述解答过程中，第①步依据的乘法公式为________（填“平方差公式”或“完全平方公式”）；
(2)上述解答过程，从第________步开始出错；
(3)请写出正确的计算过程。
答案
(1) 完全平方公式
(2) ③
(3) 正确计算过程：
$(\sqrt{2}-1)^2(3+2\sqrt{2})$
$=(2-2\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})$
$=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$
$=9-(2\sqrt{2})^2$
$=9-8$
$=1$
(2) ③
(3) 正确计算过程：
$(\sqrt{2}-1)^2(3+2\sqrt{2})$
$=(2-2\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})$
$=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$
$=9-(2\sqrt{2})^2$
$=9-8$
$=1$
解析
【分析】
首先，第①步计算$(\sqrt{2}-1)^2$，是利用两数差的平方公式（完全平方公式），解决第一问；接着逐步骤检查运算：第②步整理正确，第③步应用平方差公式时，错误地将$(2\sqrt{2})^2$计算为$2^2$，导致结果错误，解决第二问；最后按照正确的平方差公式计算，得到正确结果，完成第三问。
【解析】
(1) 第①步计算$(\sqrt{2}-1)^2$，依据的是完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，故填完全平方公式；
(2) 第③步应用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$时，误将$(2\sqrt{2})^2$算成$2^2$，导致运算错误，故从第③步开始出错；
(3) 正确计算过程：
$(\sqrt{2}-1)^2(3+2\sqrt{2})$
$=(2-2\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})$
$=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$
$=3^2 - (2\sqrt{2})^2$
$=9 - 8$
$=1$
【答案】
(1) 完全平方公式；(2) ③；(3) 1
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、二次根式混合运算
【点评】
本题考查二次根式混合运算中公式的准确应用，需牢记完全平方公式和平方差公式的结构，避免平方运算时的细节错误，属于基础运算题，需关注运算的严谨性。
【难度系数】
0.6
首先，第①步计算$(\sqrt{2}-1)^2$，是利用两数差的平方公式（完全平方公式），解决第一问；接着逐步骤检查运算：第②步整理正确，第③步应用平方差公式时，错误地将$(2\sqrt{2})^2$计算为$2^2$，导致结果错误，解决第二问；最后按照正确的平方差公式计算，得到正确结果，完成第三问。
【解析】
(1) 第①步计算$(\sqrt{2}-1)^2$，依据的是完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，故填完全平方公式；
(2) 第③步应用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$时，误将$(2\sqrt{2})^2$算成$2^2$，导致运算错误，故从第③步开始出错；
(3) 正确计算过程：
$(\sqrt{2}-1)^2(3+2\sqrt{2})$
$=(2-2\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})$
$=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$
$=3^2 - (2\sqrt{2})^2$
$=9 - 8$
$=1$
【答案】
(1) 完全平方公式；(2) ③；(3) 1
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、二次根式混合运算
【点评】
本题考查二次根式混合运算中公式的准确应用，需牢记完全平方公式和平方差公式的结构，避免平方运算时的细节错误，属于基础运算题，需关注运算的严谨性。
【难度系数】
0.6
