登录
23.(8分)综合实践:为弘扬“数学家之乡”的优良文化传统,某校开展数学节活动,并购买了鲁班锁和九连环两种活动道具。
【素材1】1件鲁班锁和2件九连环共52元;3件鲁班锁和4件九连环共120元。
【素材2】选取部分鲁班锁和10件九连环,加印数学节logo后作为奖品。加印logo的费用均为每件2元。已知两种道具未加印的共12件,购买和加印的总费用为520元。
任务1:求鲁班锁和九连环的单价;
任务2:学校购买的鲁班锁和九连环分别是多少件?
【素材1】1件鲁班锁和2件九连环共52元;3件鲁班锁和4件九连环共120元。
【素材2】选取部分鲁班锁和10件九连环,加印数学节logo后作为奖品。加印logo的费用均为每件2元。已知两种道具未加印的共12件,购买和加印的总费用为520元。
任务1:求鲁班锁和九连环的单价;
任务2:学校购买的鲁班锁和九连环分别是多少件?
答案
23.解:任务1:设鲁班锁的单价为$x$元,九连环的单价为$y$元。由题意,得$\begin{cases} x+2y=52, \\3x+4y=120 \end{cases}$,解得$\begin{cases} x=16, \\y=18 \end{cases}$。答:鲁班锁的单价为16元,九连环的单价为18元。
任务2:设鲁班锁买了$m$件,九连环买了$n$件,则九连环未加印的有$(n-10)$件,所以鲁班锁未加印的有$12-(n-10)=(22-n)$件,所以鲁班锁加印的有$m-(22-n)=(m+n-22)$件,所以$16m+18n+2(m+n-22)+2×10=520$,化简,得$9m+10n=272$,所以$n=27-m+\dfrac{2+m}{10}$,因为$m,n$均为正整数且$n\ge10$,所以$\begin{cases} m=8, \\n=20 \end{cases}$或$\begin{cases} m=18, \\n=11 \end{cases}$。答:学校购买的鲁班锁和九连环分别是8件,20件或18件,11件。
灵活思维:任务2还可设未加印的鲁班锁有$a$件,加印的鲁班锁有$b$件,则不加印的九连环有$(12-a)$件;或可设加印的鲁班锁和不加印的九连环共$m$件,不加印的鲁班锁有$n$件,学有余力的同学可尝试据此列等式探索多种求解方式。
任务2:设鲁班锁买了$m$件,九连环买了$n$件,则九连环未加印的有$(n-10)$件,所以鲁班锁未加印的有$12-(n-10)=(22-n)$件,所以鲁班锁加印的有$m-(22-n)=(m+n-22)$件,所以$16m+18n+2(m+n-22)+2×10=520$,化简,得$9m+10n=272$,所以$n=27-m+\dfrac{2+m}{10}$,因为$m,n$均为正整数且$n\ge10$,所以$\begin{cases} m=8, \\n=20 \end{cases}$或$\begin{cases} m=18, \\n=11 \end{cases}$。答:学校购买的鲁班锁和九连环分别是8件,20件或18件,11件。
灵活思维:任务2还可设未加印的鲁班锁有$a$件,加印的鲁班锁有$b$件,则不加印的九连环有$(12-a)$件;或可设加印的鲁班锁和不加印的九连环共$m$件,不加印的鲁班锁有$n$件,学有余力的同学可尝试据此列等式探索多种求解方式。
解析
【分析】
本题分为两个任务，任务1是求两种道具的单价，可利用二元一次方程组解决，因为题目给出了两个不同购买组合的总费用，存在两个等量关系；任务2需结合加印logo的费用、道具数量关系列方程，再根据正整数条件确定解。首先，任务1设两种道具的单价为未知数，根据素材1的两个条件列方程组求解；任务2设购买的道具总数为未知数，理清加印、未加印道具的数量关系，结合总费用列方程，再根据正整数要求筛选出符合的解。
【解析】
任务1：设鲁班锁的单价为$x$元，九连环的单价为$y$元。
由素材1的条件可得方程组：
$\begin{cases} x+2y=52 \\3x+4y=120 \end{cases}$
解方程组：将第一个方程乘以2得$2x+4y=104$，用第二个方程减去该式得$x=16$，代入$x+2y=52$得$16+2y=52$，解得$y=18$。
任务2：设学校购买鲁班锁$m$件，九连环$n$件。
已知加印的九连环为10件，未加印的两种道具共12件，则未加印的九连环有$(n-10)$件，未加印的鲁班锁有$12-(n-10)=22-n$件，因此加印的鲁班锁有$m-(22-n)=m+n-22$件。
总费用为：鲁班锁购买费+九连环购买费+加印总费用，即：
$16m+18n + 2(m+n-22) + 2×10 = 520$
化简得：$18m + 20n -44 +20 =520$，进一步整理为$9m+10n=272$，变形为$n=27 - m + \frac{2+m}{10}$。
因为$m、n$均为正整数且$n≥10$，所以$\frac{2+m}{10}$为整数，即$2+m$是10的倍数，结合$n≥10$，可得：
当$2+m=10$时，$m=8$，$n=27-8+1=20$；
当$2+m=20$时，$m=18$，$n=27-18+2=11$。
【答案】
鲁班锁的单价为16元，九连环的单价为18元；学校购买的鲁班锁和九连环分别是8件、20件或18件、11件。
【知识点】
二元一次方程组的应用、不定方程的应用
【点评】
本题结合数学节活动的实际场景，分两个任务考查方程的应用，任务1为基础的二元一次方程组求解，任务2需要理清加印与未加印道具的数量关系，建立不定方程并结合整数条件确定解，能有效考查学生的数学建模和逻辑分析能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题分为两个任务，任务1是求两种道具的单价，可利用二元一次方程组解决，因为题目给出了两个不同购买组合的总费用，存在两个等量关系；任务2需结合加印logo的费用、道具数量关系列方程，再根据正整数条件确定解。首先，任务1设两种道具的单价为未知数，根据素材1的两个条件列方程组求解；任务2设购买的道具总数为未知数，理清加印、未加印道具的数量关系，结合总费用列方程，再根据正整数要求筛选出符合的解。
【解析】
任务1：设鲁班锁的单价为$x$元，九连环的单价为$y$元。
由素材1的条件可得方程组：
$\begin{cases} x+2y=52 \\3x+4y=120 \end{cases}$
解方程组：将第一个方程乘以2得$2x+4y=104$，用第二个方程减去该式得$x=16$，代入$x+2y=52$得$16+2y=52$，解得$y=18$。
任务2：设学校购买鲁班锁$m$件，九连环$n$件。
已知加印的九连环为10件，未加印的两种道具共12件，则未加印的九连环有$(n-10)$件，未加印的鲁班锁有$12-(n-10)=22-n$件，因此加印的鲁班锁有$m-(22-n)=m+n-22$件。
总费用为：鲁班锁购买费+九连环购买费+加印总费用，即：
$16m+18n + 2(m+n-22) + 2×10 = 520$
化简得：$18m + 20n -44 +20 =520$，进一步整理为$9m+10n=272$，变形为$n=27 - m + \frac{2+m}{10}$。
因为$m、n$均为正整数且$n≥10$，所以$\frac{2+m}{10}$为整数，即$2+m$是10的倍数，结合$n≥10$，可得：
当$2+m=10$时，$m=8$，$n=27-8+1=20$；
当$2+m=20$时，$m=18$，$n=27-18+2=11$。
【答案】
鲁班锁的单价为16元，九连环的单价为18元；学校购买的鲁班锁和九连环分别是8件、20件或18件、11件。
【知识点】
二元一次方程组的应用、不定方程的应用
【点评】
本题结合数学节活动的实际场景，分两个任务考查方程的应用，任务1为基础的二元一次方程组求解，任务2需要理清加印与未加印道具的数量关系，建立不定方程并结合整数条件确定解，能有效考查学生的数学建模和逻辑分析能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
