21.(8分)如图，P是∠ABC内一点，点Q在AB上。过点P画一条直线a平行于AB，过点Q画一条直线b平行于BC，直线a，b交于点M。
(1)用直尺和三角尺画平行线的方法，画出图形；
(2)若∠PMQ=50°，求∠ABC的度数。

(1)图形如图所示。
(2)因为$PM// AB$,所以$∠ MQA = ∠ PMQ = 50°$,又因为$MQ// BC$,所以$∠ ABC = ∠ MQA = 50°$。

【分析】
(1) 画平行线遵循“一落、二靠、三移、四画”的方法：将三角尺一边落在已知直线上，直尺靠紧三角尺另一边，平移三角尺使过指定点的边与已知直线重合，沿该边画出平行线；分别过P作AB的平行线a、过Q作BC的平行线b，两线交点为M。
(2) 利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等、同位角相等），通过角度转换推导∠ABC的度数。
【解析】
(1) 画图步骤：
① 过点P作直线a//AB：三角尺一边与AB重合，直尺靠紧三角尺另一边，平移三角尺使过P的边与AB重合，沿该边画直线得a；
② 过点Q作直线b//BC：同理，用三角尺和直尺作出过Q且平行于BC的直线b，直线a与b交于M，图形如下：
(2) 推导：
∵ PM//AB（直线a//AB），
∴ ∠PMQ = ∠MQA（两直线平行，内错角相等），
又
∵ MQ//BC（直线b//BC），
∴ ∠ABC = ∠MQA（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠ABC = ∠PMQ = 50°。
【答案】
(1) 图形如图：；(2) 50°
【知识点】
平行线的画法，平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的基本作图和性质应用，属于基础题，需掌握平行线的作图步骤及性质，通过角度转换求解，难度适中。
【难度系数】
0.6

22. (10分)已知$M=x^2 - x - 1$，$N=3x^2 - 5x + 1$。
(1)当$N=3M$时，求$x$的值；
(2)试说明无论$x$取何值时，$M≤ N$。

(1)由题意,得$3x^2 - 5x + 1 = 3(x^2 - x - 1)$,整理得$-2x = -4$,解得$x=2$。
(2)易得$N-M=(3x^2 - 5x + 1) - (x^2 - x - 1) = 3x^2 - 5x + 1 - x^2 + x + 1 = 2x^2 - 4x + 2 = 2(x-1)^2$,因为$(x-1)^2 \ge 0$,所以$N-M \ge 0$,所以$M \le N$。

【分析】
本题分为两小问，第(1)问根据N=3M的条件，将M、N的表达式代入等式，转化为一元一次方程求解；第(2)问要证明M≤N，等价于证明N-M≥0，通过计算N-M并化简，利用平方的非负性判断结果的符号，从而得出结论。
【解析】
(1) 由题意，将N=3M代入得：
$3x^2 -5x +1 = 3(x^2 -x -1)$
展开右边：$3x^2 -5x +1 = 3x^2 -3x -3$
移项整理：$-2x = -4$
解得：$x=2$
(2) 计算N-M：
$N-M=(3x^2 -5x +1)-(x^2 -x -1)$
去括号合并同类项：$=2x^2 -4x +2$
变形为完全平方形式：$=2(x-1)^2$
因为$(x-1)^2≥0$，所以$2(x-1)^2≥0$，即$N-M≥0$，故$M≤N$。
【答案】
(1)$x=2$；(2)无论x取何值，$M≤N$成立。
【知识点】
整式的加减、一元一次方程的解法、完全平方公式
【点评】
本题考查代数式运算与不等式证明，属于基础代数题，重点考查整式化简、方程求解及非负数性质的应用，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6