23.(10分)根据以下素材,探索完成任务。

任务1:设A档门票的单价是$x$元,B档门票的单价是$y$元。根据题意,得$\begin{cases} x+2y=700, \\ 2x+3y=1\ 200, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=300, \\ y=200。 \end{cases}$ 答:A档门票的单价是300元,B档门票的单价是200元。
任务2:根据题意,得$300 × 9 + 200 × 11 + 80 × (30 - 9 - 11 - 9) = 300 × 9 + 200 × 11 + 80 × 1 = 2\ 700 + 2\ 200 + 80 = 4\ 980$(元)。答:公司购买门票至少需要4 980元。
任务3:设购买$m$张A档门票,$n$张B档门票,则购买$(30 - m - n - m)$张C档门票。根据题意,得$300m + 200n + 80(30 - m - n - m) = 4\ 040$,所以$n=\dfrac{82-7m}{6}$,又因为$m,n,30 - m - n - m$均为非负整数,所以$\begin{cases} m=4, \\ n=9 \end{cases}$或$\begin{cases} m=10, \\ n=2, \end{cases}$ 所以共有两种购买方案,方案1:购买4张A档门票,9张B档门票,13张C档门票;方案2:购买10张A档门票,2张B档门票,8张C档门票。
解题密码:本题考查了二元一次方程(组)的实际应用,解题的关键是理解题意,找准等量关系,准确列出方程求解,还需注意方程的解要符合实际情况,如本题中需为非负整数。

【分析】
本题是门票购买方案设计的实际问题，分三个任务逐步解决：任务1需根据素材中A、B档门票的购买条件，设未知数建立二元一次方程组求解单价；任务2利用任务1的单价，结合已知的A、B档购买数量和总人数，计算所需C档门票数量，进而求出总费用；任务3需设A、B档门票数量，根据总花费和“赠送的C档门票全部用完”的条件建立方程，结合门票数量为非负整数的实际要求，找出所有符合条件的购买方案。
【解析】
任务1：设A档门票单价为$x$元，B档门票单价为$y$元，根据素材1的条件列方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 700 \\2x + 3y = 1200\end{cases}$
由第一个方程得$x = 700 - 2y$，代入第二个方程：
$2(700 - 2y) + 3y = 1200$，解得$y = 200$，则$x = 700 - 2×200 = 300$。
任务2：已知购买A档9张、B档11张，总人数30人，赠送的C档门票数量等于A档购买数量（9张），需额外购买的C档门票数量为$30 - 9 - 11 - 9 = 1$张。
总费用为：$300×9 + 200×11 + 80×1 = 2700 + 2200 + 80 = 4980$元。
任务3：设购买$m$张A档门票，$n$张B档门票，则赠送的C档门票为$m$张，需额外购买的C档门票为$(30 - m - n - m)$张。根据总花费4040元列方程：
$300m + 200n + 80(30 - m - n - m) = 4040$
化简得：$7m + 6n = 82$，变形为$n = \frac{82 - 7m}{6}$。
因为$m、n、30 - 2m - n$均为非负整数，经检验：
当$m = 4$时，$n = 9$，此时$30 - 2×4 - 9 = 13 ≥ 0$，符合；
当$m = 10$时，$n = 2$，此时$30 - 2×10 - 2 = 8 ≥ 0$，符合；
其他$m$值均无法使$n$为非负整数，故有两种方案。
【答案】
任务1：A档门票单价300元，B档门票单价200元；
任务2：公司购买门票至少需要4980元；
任务3：共有两种购买方案，方案1：购买4张A档门票，9张B档门票，13张C档门票；方案2：购买10张A档门票，2张B档门票，8张C档门票。
【知识点】
二元一次方程组应用，实际问题整数解
【点评】
本题结合实际购票场景，考察二元一次方程组的应用，解题关键是提取等量关系建立方程，同时需注意解符合实际意义（门票数量为非负整数），属于典型的方案设计类应用题，能有效考察学生的数学应用能力。
【难度系数】
0.5