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24.(12分)如图,将两个直角三角尺作如下摆放,∠EGF=∠MPN=90°,∠GFE=∠PNM=
30°,直线AB过点E,MN在直线CD上,EG平分∠AEF。
(1)求∠BEF的度数；
(2)试判断AB与CD的位置关系,并说明理由；
(3)将△EGF绕点E逆时针旋转,速度为每秒4°,同时△MPN绕点N逆时针旋转,速度为
每秒10°,记旋转时间为t,当△PMN旋转一周时,整个运动停止。当EF与△MPN的
任意一边平行时,求出所有满足条件的t的值。
30°,直线AB过点E,MN在直线CD上,EG平分∠AEF。
(1)求∠BEF的度数；
(2)试判断AB与CD的位置关系,并说明理由；
(3)将△EGF绕点E逆时针旋转,速度为每秒4°,同时△MPN绕点N逆时针旋转,速度为
每秒10°,记旋转时间为t,当△PMN旋转一周时,整个运动停止。当EF与△MPN的
任意一边平行时,求出所有满足条件的t的值。
答案
(1)因为$∠ EGF=90°$,$∠ GFE=30°$,所以$∠ GEF=180° - ∠ EGF - ∠ GFE=60°$。因为EG平分$∠ AEF$,所以$∠ AEF=2∠ GEF=120°$,所以$∠ BEF=180° - ∠ AEF=60°$。
(2)$AB// CD$ 理由如下:如图
,过点G作$GL// AB$,则$∠ BEG + ∠ EGL=180°$,因为$∠ GEF=∠ BEF=60°$,所以$∠ BEG=120°$,所以$∠ EGL=60°$,又因为$∠ EGF=90°$,所以$∠ LGN=∠ EGF - ∠ EGL=30°$,又因为$∠ PNM=30°$,所以$∠ LGN=∠ PNM$,所以$GL// CD$。所以$AB// CD$。(3)如图
,当$EF// PM$时,延长EF交CD于点H,延长PN交EF于点O,交AB于点Q。由(1)得旋转前$∠ BEF=60°$,$∠ PNM=30°$,由旋转可得$∠ HEQ=(60-4t)°$,$∠ CNP=(10t-30)°$,所以$∠ HNO=∠ CNP=(10t-30)°$。因为$AB// CD$,所以$∠ EHN=∠ HEQ=(60-4t)°$。因为$EF// PM$,$∠ MPN=90°$,所以$∠ NOH=180° - ∠ MPN=90°$,所以$∠ EHN + ∠ HNO=90°$,即$(60-4t)° + (10t-30)°=90°$,解得$t=10$;如图
,当$EF// MN$时,延长NM交AB于点Q,由旋转可得$∠ FEQ=(4t-60)°$,$∠ MND=(10t-180)°$,因为$AB// CD$,所以$∠ BQM=∠ MND=(10t-180)°$,因为$EF// MN$,所以$∠ FEQ=∠ BQM$,即$(4t-60)°=(10t-180)°$,解得$t=20$;如图
,当$EF// NP$时,延长NP交AB于点Q,由旋转可得$∠ FEQ=(4t-60)°$,$∠ QND=(10t-180-30)°=(10t-210)°$,因为$AB// CD$,所以$∠ EQN=∠ QND=(10t-210)°$,因为$EF// NP$,所以$∠ FEQ=∠ EQN$,即$(4t-60)°=(10t-210)°$,解得$t=25$。综上,$t$的值为10或20或25。解析
【分析】
第(1)问：先利用直角三角形两锐角互余求出∠GEF，再根据角平分线定义得到∠AEF，最后用邻补角关系计算∠BEF；第(2)问：通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质推导角的关系，证明AB与CD平行；第(3)问：是动态旋转问题，需分EF与△MPN的三边（PM、MN、NP）平行的三种情况，结合AB//CD的性质，根据旋转后的角度关系列方程求解，注意旋转时间的范围。
【解析】
(1) 在Rt△EGF中，∠EGF=90°，∠GFE=30°，根据直角三角形两锐角互余，得∠GEF=90°−30°=60°。
因为EG平分∠AEF，所以∠AEF=2∠GEF=2×60°=120°。
又∠AEF与∠BEF是邻补角，所以∠BEF=180°−∠AEF=180°−120°=60°。
(2) AB与CD平行，理由如下：
过点G作GL//AB，如图1。
因为AB//GL，所以∠BEG + ∠EGL=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
已知∠GEF=60°，∠BEF=60°，所以∠BEG=∠BEF + ∠GEF=60°+60°=120°，因此∠EGL=180°−120°=60°。
又∠EGF=90°，所以∠LGN=∠EGF−∠EGL=90°−60°=30°。
已知∠PNM=30°，所以∠LGN=∠PNM，故GL//CD（内错角相等，两直线平行）。
因为AB//GL，所以AB//CD（平行于同一直线的两直线平行）。
(3) 分三种情况讨论：
① 当EF//PM时：
旋转前∠BEF=60°，△EGF逆时针旋转，t秒后∠HEQ=(60−4t)°；△MPN逆时针旋转，t秒后∠CNP=(10t−30)°，则∠HNO=∠CNP=(10t−30)°。
因为AB//CD，所以∠EHN=∠HEQ=(60−4t)°（两直线平行，内错角相等）。
又EF//PM，∠MPN=90°，所以∠NOH=180°−∠MPN=90°，因此∠EHN + ∠HNO=90°，即(60−4t)+(10t−30)=90，解得t=10。
② 当EF//MN时：
旋转后∠FEQ=(4t−60)°，∠MND=(10t−180)°。
因为AB//CD，所以∠BQM=∠MND=(10t−180)°（两直线平行，内错角相等）。
又EF//MN，所以∠FEQ=∠BQM，即4t−60=10t−180，解得t=20。
③ 当EF//NP时：
旋转后∠FEQ=(4t−60)°，∠QND=(10t−210)°。
因为AB//CD，所以∠EQN=∠QND=(10t−210)°（两直线平行，内错角相等）。
又EF//NP，所以∠FEQ=∠EQN，即4t−60=10t−210，解得t=25。
综上，满足条件的t的值为10、20、25。
【答案】(1)∠BEF=60°；(2)AB//CD；(3)t的值为10或20或25
【知识点】角平分线的性质、平行线的判定与性质、旋转的角度计算
【点评】本题结合直角三角尺、角平分线、平行线和旋转，综合考查几何角度计算与平行关系的推导，动态旋转问题需分情况讨论，对学生的逻辑分析能力要求较高，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】0.5
第(1)问：先利用直角三角形两锐角互余求出∠GEF，再根据角平分线定义得到∠AEF，最后用邻补角关系计算∠BEF；第(2)问：通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质推导角的关系，证明AB与CD平行；第(3)问：是动态旋转问题，需分EF与△MPN的三边（PM、MN、NP）平行的三种情况，结合AB//CD的性质，根据旋转后的角度关系列方程求解，注意旋转时间的范围。
【解析】
(1) 在Rt△EGF中，∠EGF=90°，∠GFE=30°，根据直角三角形两锐角互余，得∠GEF=90°−30°=60°。
因为EG平分∠AEF，所以∠AEF=2∠GEF=2×60°=120°。
又∠AEF与∠BEF是邻补角，所以∠BEF=180°−∠AEF=180°−120°=60°。
(2) AB与CD平行，理由如下：
过点G作GL//AB，如图1。
因为AB//GL，所以∠BEG + ∠EGL=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
已知∠GEF=60°，∠BEF=60°，所以∠BEG=∠BEF + ∠GEF=60°+60°=120°，因此∠EGL=180°−120°=60°。
又∠EGF=90°，所以∠LGN=∠EGF−∠EGL=90°−60°=30°。
已知∠PNM=30°，所以∠LGN=∠PNM，故GL//CD（内错角相等，两直线平行）。
因为AB//GL，所以AB//CD（平行于同一直线的两直线平行）。
(3) 分三种情况讨论：
① 当EF//PM时：
旋转前∠BEF=60°，△EGF逆时针旋转，t秒后∠HEQ=(60−4t)°；△MPN逆时针旋转，t秒后∠CNP=(10t−30)°，则∠HNO=∠CNP=(10t−30)°。
因为AB//CD，所以∠EHN=∠HEQ=(60−4t)°（两直线平行，内错角相等）。
又EF//PM，∠MPN=90°，所以∠NOH=180°−∠MPN=90°，因此∠EHN + ∠HNO=90°，即(60−4t)+(10t−30)=90，解得t=10。
② 当EF//MN时：
旋转后∠FEQ=(4t−60)°，∠MND=(10t−180)°。
因为AB//CD，所以∠BQM=∠MND=(10t−180)°（两直线平行，内错角相等）。
又EF//MN，所以∠FEQ=∠BQM，即4t−60=10t−180，解得t=20。
③ 当EF//NP时：
旋转后∠FEQ=(4t−60)°，∠QND=(10t−210)°。
因为AB//CD，所以∠EQN=∠QND=(10t−210)°（两直线平行，内错角相等）。
又EF//NP，所以∠FEQ=∠EQN，即4t−60=10t−210，解得t=25。
综上，满足条件的t的值为10、20、25。
【答案】(1)∠BEF=60°；(2)AB//CD；(3)t的值为10或20或25
【知识点】角平分线的性质、平行线的判定与性质、旋转的角度计算
【点评】本题结合直角三角尺、角平分线、平行线和旋转，综合考查几何角度计算与平行关系的推导，动态旋转问题需分情况讨论，对学生的逻辑分析能力要求较高，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】0.5
