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1. 解方程：
(1)$\dfrac{x - 2}{x - 3}=2-\dfrac{1}{3 - x}$；
(2)$\dfrac{48}{x + 6\%}=\dfrac{45}{x}$；
(3)$\dfrac{2}{x - 1}-\dfrac{3}{x + 1}=\dfrac{x + 3}{x^2 - 1}$；
(4)$\dfrac{1 - x}{x}+1=\dfrac{2}{x^2 + x}$；
(5)$\dfrac{2x + 2}{x}-\dfrac{x + 2}{x - 2}=\dfrac{x^2 - 2}{x^2 - 2x}$。
(1)$\dfrac{x - 2}{x - 3}=2-\dfrac{1}{3 - x}$；
(2)$\dfrac{48}{x + 6\%}=\dfrac{45}{x}$；
(3)$\dfrac{2}{x - 1}-\dfrac{3}{x + 1}=\dfrac{x + 3}{x^2 - 1}$；
(4)$\dfrac{1 - x}{x}+1=\dfrac{2}{x^2 + x}$；
(5)$\dfrac{2x + 2}{x}-\dfrac{x + 2}{x - 2}=\dfrac{x^2 - 2}{x^2 - 2x}$。
答案
(1)无解；(2)$x=0.9$；(3)无解；(4)$x=1$；(5)$x=-\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考步骤如下：1. 先整理方程中可变形的分母（比如互为相反数的分母统一形式），确定各分式的最简公分母，同时明确分母不为0的未知数取值范围，提前划定增根的可能范围；2. 方程两边同乘最简公分母，消去所有分母得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的常数项；3. 按照整式方程的解法求解；4. 必须检验：将得到的解代入最简公分母，若公分母为0则该解是增根，原方程对应无解，若公分母不为0则该解是原方程的解。
【解析】
(1) 原方程整理为$\dfrac{x - 2}{x - 3}=2+\dfrac{1}{x - 3}$，最简公分母为$x-3$，隐含条件$x≠3$
方程两边同乘$x-3$得：$x-2=2(x-3)+1$
展开化简：$x-2=2x-5$，移项得$-x=-3$，解得$x=3$
检验：当$x=3$时，$x-3=0$，故$x=3$是增根，原方程无解。
(2) $6\%=0.06$，最简公分母为$x(x+0.06)$，隐含条件$x≠0$且$x≠-0.06$
方程两边同乘$x(x+0.06)$得：$48x=45(x+0.06)$
展开化简：$48x=45x+2.7$，移项得$3x=2.7$，解得$x=0.9$
检验：当$x=0.9$时，$x(x+0.06)=0.9×0.96≠0$，故$x=0.9$是原方程的解。
(3) 分母$x^2-1=(x-1)(x+1)$，最简公分母为$(x-1)(x+1)$，隐含条件$x≠\pm1$
方程两边同乘$(x-1)(x+1)$得：$2(x+1)-3(x-1)=x+3$
展开化简：$-x+5=x+3$，移项得$-2x=-2$，解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x-1)(x+1)=0$，故$x=1$是增根，原方程无解。
(4) 分母$x^2+x=x(x+1)$，最简公分母为$x(x+1)$，隐含条件$x≠0$且$x≠-1$
方程两边同乘$x(x+1)$得：$(1-x)(x+1)+x(x+1)=2$
展开化简：$1-x^2+x^2+x=2$，即$1+x=2$，解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$x(x+1)=2≠0$，故$x=1$是原方程的解。
(5) 分母$x^2-2x=x(x-2)$，最简公分母为$x(x-2)$，隐含条件$x≠0$且$x≠2$
方程两边同乘$x(x-2)$得：$(2x+2)(x-2)-x(x+2)=x^2-2$
展开化简：$x^2-4x-4=x^2-2$，移项得$-4x=2$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$
检验：当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$x(x-2)=\dfrac{5}{4}≠0$，故$x=-\dfrac{1}{2}$是原方程的解。
【答案】
(1)无解；(2)$x=0.9$；(3)无解；(4)$x=1$；(5)$x=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
解分式方程、增根检验、整式方程求解
【点评】
本组是分式方程求解的基础训练题，考查分式方程的常规解法，解题时容易出现漏乘常数项、忘记检验的错误，牢记检验是解分式方程必不可少的步骤，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.65
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考步骤如下：1. 先整理方程中可变形的分母（比如互为相反数的分母统一形式），确定各分式的最简公分母，同时明确分母不为0的未知数取值范围，提前划定增根的可能范围；2. 方程两边同乘最简公分母，消去所有分母得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的常数项；3. 按照整式方程的解法求解；4. 必须检验：将得到的解代入最简公分母，若公分母为0则该解是增根，原方程对应无解，若公分母不为0则该解是原方程的解。
【解析】
(1) 原方程整理为$\dfrac{x - 2}{x - 3}=2+\dfrac{1}{x - 3}$，最简公分母为$x-3$，隐含条件$x≠3$
方程两边同乘$x-3$得：$x-2=2(x-3)+1$
展开化简：$x-2=2x-5$，移项得$-x=-3$，解得$x=3$
检验：当$x=3$时，$x-3=0$，故$x=3$是增根，原方程无解。
(2) $6\%=0.06$，最简公分母为$x(x+0.06)$，隐含条件$x≠0$且$x≠-0.06$
方程两边同乘$x(x+0.06)$得：$48x=45(x+0.06)$
展开化简：$48x=45x+2.7$，移项得$3x=2.7$，解得$x=0.9$
检验：当$x=0.9$时，$x(x+0.06)=0.9×0.96≠0$，故$x=0.9$是原方程的解。
(3) 分母$x^2-1=(x-1)(x+1)$，最简公分母为$(x-1)(x+1)$，隐含条件$x≠\pm1$
方程两边同乘$(x-1)(x+1)$得：$2(x+1)-3(x-1)=x+3$
展开化简：$-x+5=x+3$，移项得$-2x=-2$，解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x-1)(x+1)=0$，故$x=1$是增根，原方程无解。
(4) 分母$x^2+x=x(x+1)$，最简公分母为$x(x+1)$，隐含条件$x≠0$且$x≠-1$
方程两边同乘$x(x+1)$得：$(1-x)(x+1)+x(x+1)=2$
展开化简：$1-x^2+x^2+x=2$，即$1+x=2$，解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$x(x+1)=2≠0$，故$x=1$是原方程的解。
(5) 分母$x^2-2x=x(x-2)$，最简公分母为$x(x-2)$，隐含条件$x≠0$且$x≠2$
方程两边同乘$x(x-2)$得：$(2x+2)(x-2)-x(x+2)=x^2-2$
展开化简：$x^2-4x-4=x^2-2$，移项得$-4x=2$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$
检验：当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$x(x-2)=\dfrac{5}{4}≠0$，故$x=-\dfrac{1}{2}$是原方程的解。
【答案】
(1)无解；(2)$x=0.9$；(3)无解；(4)$x=1$；(5)$x=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
解分式方程、增根检验、整式方程求解
【点评】
本组是分式方程求解的基础训练题，考查分式方程的常规解法，解题时容易出现漏乘常数项、忘记检验的错误，牢记检验是解分式方程必不可少的步骤，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.65
2. 已知关于 $ x $ 的方程 $\frac{2x + m}{x - 2} = 3$ 的解是非负数，求 $ m $ 的取值范围.
答案
去分母,得$2x+m=3x-6$,解得$x=m+6$.
$\because \begin{cases} x≥0, \\ x≠2, \end{cases} \therefore \begin{cases} m+6≥0, \\ m+6≠2, \end{cases}$解得$\begin{cases} m≥-6, \\ m≠-4. \end{cases}$
故$m$的取值范围为$m≥-6$且$m≠-4$.
$\because \begin{cases} x≥0, \\ x≠2, \end{cases} \therefore \begin{cases} m+6≥0, \\ m+6≠2, \end{cases}$解得$\begin{cases} m≥-6, \\ m≠-4. \end{cases}$
故$m$的取值范围为$m≥-6$且$m≠-4$.
解析
【分析】
这是一道分式方程结合不等式求参数取值范围的题，解题思路分三步：第一步先将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出x；第二步明确题目的限制条件：一是方程的解是非负数，即x≥0，二是分式方程的分母不能为0，否则原方程无意义，即x≠2，这是易错的隐含条件；第三步把x的表达式代入两个限制条件，得到关于m的不等式组，求解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
首先对原分式方程去分母，两边同时乘以最简公分母$x-2$（$x≠2$），得：
$2x+m=3(x-2)$
展开并整理整式方程，移项可得：
$x=m+6$
根据题意，方程的解是非负数且原方程有意义，因此满足：
$\begin{cases} x≥0 \\ x≠2 \end{cases}$
将$x=m+6$代入上述不等式组，得：
$\begin{cases} m+6≥0 \\ m+6≠2 \end{cases}$
分别解两个不等式：
解$m+6≥0$得$m≥-6$；
解$m+6≠2$得$m≠-4$。
综合两个结果即可得到m的取值范围。
【答案】
$m≥-6$且$m≠-4$
【知识点】
1.分式方程的求解
2.一元一次不等式组的应用
3.分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程与不等式的综合基础题，解题核心是先求出含参数的方程解，再结合限制条件列不等式求解，需要特别注意不要遗漏分式分母不为0的隐含条件，避免出现取值范围多算的错误。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程结合不等式求参数取值范围的题，解题思路分三步：第一步先将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出x；第二步明确题目的限制条件：一是方程的解是非负数，即x≥0，二是分式方程的分母不能为0，否则原方程无意义，即x≠2，这是易错的隐含条件；第三步把x的表达式代入两个限制条件，得到关于m的不等式组，求解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
首先对原分式方程去分母，两边同时乘以最简公分母$x-2$（$x≠2$），得：
$2x+m=3(x-2)$
展开并整理整式方程，移项可得：
$x=m+6$
根据题意，方程的解是非负数且原方程有意义，因此满足：
$\begin{cases} x≥0 \\ x≠2 \end{cases}$
将$x=m+6$代入上述不等式组，得：
$\begin{cases} m+6≥0 \\ m+6≠2 \end{cases}$
分别解两个不等式：
解$m+6≥0$得$m≥-6$；
解$m+6≠2$得$m≠-4$。
综合两个结果即可得到m的取值范围。
【答案】
$m≥-6$且$m≠-4$
【知识点】
1.分式方程的求解
2.一元一次不等式组的应用
3.分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程与不等式的综合基础题，解题核心是先求出含参数的方程解，再结合限制条件列不等式求解，需要特别注意不要遗漏分式分母不为0的隐含条件，避免出现取值范围多算的错误。
【难度系数】
0.7
[不等式与方程联动型参数求解](重庆中考)若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\dfrac{x+2}{3}＞\dfrac{x}{2}+1,\\4x+a＜x-1\end{cases}$的解集为$x＜-2$,且关于$y$的分式方程$\dfrac{a+2}{y-1}+\dfrac{y+2}{1-y}=2$的解为正数,则所有满足条件的整数$a$的值之和为________.
答案
解不等式组$\begin{cases}\dfrac{x+2}{3}＞\dfrac{x}{2}+1, \\4x+a＜x-1,\end{cases}$
得$\begin{cases} x＜-2, \\ x＜-\dfrac{a+1}{3}. \end{cases}$
$\because$原不等式组的解集为$x＜-2$,
$\therefore -\dfrac{a+1}{3}≥-2,\therefore a≤5.$
解关于$y$的分式方程$\dfrac{a+2}{y-1}+\dfrac{y+2}{1-y}=2$,
得$y=\dfrac{a+2}{3}.$
$\because y＞0$且$y≠1$,
$\therefore \dfrac{a+2}{3}＞0$且$\dfrac{a+2}{3}≠1$,
$\therefore a＞-2$且$a≠1$,
$\therefore -2＜a≤5$,且$a≠1$,
$\therefore$符合条件的整数$a$有$-1,0,2,3,4,5$,
$\therefore -1+0+2+3+4+5=13.$
得$\begin{cases} x＜-2, \\ x＜-\dfrac{a+1}{3}. \end{cases}$
$\because$原不等式组的解集为$x＜-2$,
$\therefore -\dfrac{a+1}{3}≥-2,\therefore a≤5.$
解关于$y$的分式方程$\dfrac{a+2}{y-1}+\dfrac{y+2}{1-y}=2$,
得$y=\dfrac{a+2}{3}.$
$\because y＞0$且$y≠1$,
$\therefore \dfrac{a+2}{3}＞0$且$\dfrac{a+2}{3}≠1$,
$\therefore a＞-2$且$a≠1$,
$\therefore -2＜a≤5$,且$a≠1$,
$\therefore$符合条件的整数$a$有$-1,0,2,3,4,5$,
$\therefore -1+0+2+3+4+5=13.$
解析
【分析】
本题属于不等式组与分式方程结合的参数求解问题，解题思路分三步：①先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再根据不等式组“同小取小”的解集规则，结合题目给出的解集$x＜-2$，得到参数$a$的第一个取值范围；②求解分式方程，注意分式方程的解需要满足两个条件：一是解为正数，二是解不能使分母为0（即排除增根），由此得到$a$的第二个取值范围；③综合两个范围，找出所有符合条件的整数$a$，计算它们的和即可。
【解析】
步骤1：解一元一次不等式组
解第一个不等式$\dfrac{x+2}{3}＞\dfrac{x}{2}+1$：
两边同乘6消去分母得$2(x+2)＞3x+6$，
展开得$2x+4＞3x+6$，
移项合并同类项得$x＜-2$。
解第二个不等式$4x+a＜x-1$：
移项得$3x＜-a-1$，
系数化为1得$x＜-\dfrac{a+1}{3}$。
已知不等式组的解集为$x＜-2$，根据“同小取小”的解集规则，可得：
$-\dfrac{a+1}{3}≥-2$，
两边同乘3得$-a-1≥-6$，
解得$a≤5$。
步骤2：解分式方程
将分式方程$\dfrac{a+2}{y-1}+\dfrac{y+2}{1-y}=2$变形，把第二个分式的分母统一为$y-1$：
$\dfrac{a+2}{y-1}-\dfrac{y+2}{y-1}=2$，
两边同乘$y-1$（$y≠1$，否则分母为0）消去分母得：
$a+2-(y+2)=2(y-1)$，
化简得$a-y=2y-2$，
移项合并同类项得$3y=a+2$，
系数化为1得$y=\dfrac{a+2}{3}$。
已知分式方程的解为正数，且$y≠1$，因此：
$\begin{cases}\dfrac{a+2}{3}＞0 \\ \dfrac{a+2}{3}≠1 \end{cases}$，
解第一个不等式得$a＞-2$，
解第二个不等式得$a≠1$。
步骤3：求符合条件的整数$a$的和
综合以上结果，$a$的取值范围为$-2＜a≤5$且$a≠1$，符合条件的整数$a$为$-1、0、2、3、4、5$，
它们的和为：$-1+0+2+3+4+5=13$。
【答案】
$\boxed{13}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 分式方程求解与增根判断
3. 整数参数求值
【点评】
本题是不等式与分式方程结合的典型参数类考题，既考查了不等式组解集的确定规则，也考查了分式方程解的限制条件，解题时需特别注意分式方程的分母不能为0，避免遗漏增根的排除条件，导致多算不符合要求的参数值。
【难度系数】
0.6
本题属于不等式组与分式方程结合的参数求解问题，解题思路分三步：①先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再根据不等式组“同小取小”的解集规则，结合题目给出的解集$x＜-2$，得到参数$a$的第一个取值范围；②求解分式方程，注意分式方程的解需要满足两个条件：一是解为正数，二是解不能使分母为0（即排除增根），由此得到$a$的第二个取值范围；③综合两个范围，找出所有符合条件的整数$a$，计算它们的和即可。
【解析】
步骤1：解一元一次不等式组
解第一个不等式$\dfrac{x+2}{3}＞\dfrac{x}{2}+1$：
两边同乘6消去分母得$2(x+2)＞3x+6$，
展开得$2x+4＞3x+6$，
移项合并同类项得$x＜-2$。
解第二个不等式$4x+a＜x-1$：
移项得$3x＜-a-1$，
系数化为1得$x＜-\dfrac{a+1}{3}$。
已知不等式组的解集为$x＜-2$，根据“同小取小”的解集规则，可得：
$-\dfrac{a+1}{3}≥-2$，
两边同乘3得$-a-1≥-6$，
解得$a≤5$。
步骤2：解分式方程
将分式方程$\dfrac{a+2}{y-1}+\dfrac{y+2}{1-y}=2$变形，把第二个分式的分母统一为$y-1$：
$\dfrac{a+2}{y-1}-\dfrac{y+2}{y-1}=2$，
两边同乘$y-1$（$y≠1$，否则分母为0）消去分母得：
$a+2-(y+2)=2(y-1)$，
化简得$a-y=2y-2$，
移项合并同类项得$3y=a+2$，
系数化为1得$y=\dfrac{a+2}{3}$。
已知分式方程的解为正数，且$y≠1$，因此：
$\begin{cases}\dfrac{a+2}{3}＞0 \\ \dfrac{a+2}{3}≠1 \end{cases}$，
解第一个不等式得$a＞-2$，
解第二个不等式得$a≠1$。
步骤3：求符合条件的整数$a$的和
综合以上结果，$a$的取值范围为$-2＜a≤5$且$a≠1$，符合条件的整数$a$为$-1、0、2、3、4、5$，
它们的和为：$-1+0+2+3+4+5=13$。
【答案】
$\boxed{13}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 分式方程求解与增根判断
3. 整数参数求值
【点评】
本题是不等式与分式方程结合的典型参数类考题，既考查了不等式组解集的确定规则，也考查了分式方程解的限制条件，解题时需特别注意分式方程的分母不能为0，避免遗漏增根的排除条件，导致多算不符合要求的参数值。
【难度系数】
0.6
