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1. 计算:
(1)$(x+y)· \dfrac{x^2}{x^2 - y^2} + \dfrac{y^2}{y - x}$;
(2)$a + 2 - \dfrac{4}{2 - a}$.
(1)$(x+y)· \dfrac{x^2}{x^2 - y^2} + \dfrac{y^2}{y - x}$;
(2)$a + 2 - \dfrac{4}{2 - a}$.
答案
(1)原式$=x+y$；(2)原式$=\dfrac{a^2}{a-2}$.
解析
【分析】
本题考查分式的混合运算，解题思路如下：
(1) 先对第一个分式的分母用平方差公式因式分解，约分简化第一个项；再观察到第二个分式的分母$y-x$与$x-y$互为相反数，统一两个分式的分母为$x-y$，按同分母分式加减法则计算后约分，即可得到最简结果。
(2) 先将整式$a+2$看作分母为1的分式，再把分母$2-a$变形为$-(a-2)$，统一分母后通分，分子用平方差公式展开合并化简，即可得到结果。
计算时要注意互为相反数的分母变形时的符号变化，避免符号错误。
【解析】
(1) 分解分母并约分：
原式$=(x+y)·\dfrac{x^2}{(x+y)(x-y)} + \dfrac{y^2}{y-x}$
约去公因式$(x+y)$得：
$=\dfrac{x^2}{x-y} + \dfrac{y^2}{y-x}$
将第二个分式分母变形为$-(x-y)$，调整符号：
$=\dfrac{x^2}{x-y} - \dfrac{y^2}{x-y}$
同分母分式相减，合并分子：
$=\dfrac{x^2 - y^2}{x-y}$
分子因式分解后约分：
$=\dfrac{(x+y)(x-y)}{x-y}=x+y$
(2) 变形符号后通分计算：
原式$=a+2 + \dfrac{4}{a-2}$
将$a+2$写成分母为1的分式，取公分母$a-2$通分：
$=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-2} + \dfrac{4}{a-2}$
分子用平方差公式展开后合并：
$=\dfrac{a^2 - 4 + 4}{a-2}=\dfrac{a^2}{a-2}$
【答案】
(1)$x+y$；(2)$\dfrac{a^2}{a-2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，通分约分
【点评】
这两道是分式运算的典型基础题，核心考查分式运算中互为相反数的分母的符号处理、整式与分式加减的通分方法，计算时先对分母因式分解再约分可以大幅简化运算，要养成先观察式子特点再计算的习惯，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的混合运算，解题思路如下：
(1) 先对第一个分式的分母用平方差公式因式分解，约分简化第一个项；再观察到第二个分式的分母$y-x$与$x-y$互为相反数，统一两个分式的分母为$x-y$，按同分母分式加减法则计算后约分，即可得到最简结果。
(2) 先将整式$a+2$看作分母为1的分式，再把分母$2-a$变形为$-(a-2)$，统一分母后通分，分子用平方差公式展开合并化简，即可得到结果。
计算时要注意互为相反数的分母变形时的符号变化，避免符号错误。
【解析】
(1) 分解分母并约分：
原式$=(x+y)·\dfrac{x^2}{(x+y)(x-y)} + \dfrac{y^2}{y-x}$
约去公因式$(x+y)$得：
$=\dfrac{x^2}{x-y} + \dfrac{y^2}{y-x}$
将第二个分式分母变形为$-(x-y)$，调整符号：
$=\dfrac{x^2}{x-y} - \dfrac{y^2}{x-y}$
同分母分式相减，合并分子：
$=\dfrac{x^2 - y^2}{x-y}$
分子因式分解后约分：
$=\dfrac{(x+y)(x-y)}{x-y}=x+y$
(2) 变形符号后通分计算：
原式$=a+2 + \dfrac{4}{a-2}$
将$a+2$写成分母为1的分式，取公分母$a-2$通分：
$=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-2} + \dfrac{4}{a-2}$
分子用平方差公式展开后合并：
$=\dfrac{a^2 - 4 + 4}{a-2}=\dfrac{a^2}{a-2}$
【答案】
(1)$x+y$；(2)$\dfrac{a^2}{a-2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，通分约分
【点评】
这两道是分式运算的典型基础题，核心考查分式运算中互为相反数的分母的符号处理、整式与分式加减的通分方法，计算时先对分母因式分解再约分可以大幅简化运算，要养成先观察式子特点再计算的习惯，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
2. 解方程：
(1)$\dfrac{x}{x - 4}=\dfrac{x + 1}{x - 1};$
(2)$\dfrac{2}{x + 1}-\dfrac{2x}{1 - x^2}=\dfrac{1}{x - 1}.$
(1)$\dfrac{x}{x - 4}=\dfrac{x + 1}{x - 1};$
(2)$\dfrac{2}{x + 1}-\dfrac{2x}{1 - x^2}=\dfrac{1}{x - 1}.$
答案
(1)$x=-2$；(2)无解.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否为增根：①先确定各分式分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母去掉分母，得到整式方程；②解得到的整式方程；③将求得的解代入最简公分母验证，若公分母不为0则是原方程的解，若公分母为0则是增根，原方程无解。
第(1)题的最简公分母为(x-4)(x-1)，直接去分母求解即可；第(2)题先对分母1-x²因式分解转化为-(x+1)(x-1)，整理后确定最简公分母为(x+1)(x-1)，再去分母求解，最后检验。
【解析】
(1) 方程两边同时乘最简公分母$(x-4)(x-1)$（$x≠ 1$且$x≠ 4$），得：
$x(x-1)=(x+1)(x-4)$
展开得：$x^2 - x = x^2 - 3x - 4$
移项、合并同类项得：$2x = -4$
解得：$x=-2$
检验：将$x=-2$代入$(x-4)(x-1)$，得$(-2-4)×(-2-1)=18≠0$，因此$x=-2$是原方程的解。
(2) 先整理原方程，将分母$1-x^2$因式分解为$-(x+1)(x-1)$，原方程可化为：
$\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{2x}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}$
方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$（$x≠ \pm1$），得：
$2(x-1)+2x = x+1$
展开得：$2x - 2 + 2x = x + 1$
移项、合并同类项得：$3x=3$
解得：$x=1$
检验：将$x=1$代入$(x+1)(x-1)$，得$(1+1)×(1-1)=0$，因此$x=1$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=-2$；(2)无解
【知识点】
分式方程解法，整式方程求解，增根检验
【点评】
本题是分式方程求解的基础典型题，解题的关键是正确确定最简公分母去分母，将分式方程转化为熟悉的整式方程求解，需特别注意解分式方程必须检验，避免把增根当成原方程的解，处理分母互为相反数的情况时要注意符号的变化。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否为增根：①先确定各分式分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母去掉分母，得到整式方程；②解得到的整式方程；③将求得的解代入最简公分母验证，若公分母不为0则是原方程的解，若公分母为0则是增根，原方程无解。
第(1)题的最简公分母为(x-4)(x-1)，直接去分母求解即可；第(2)题先对分母1-x²因式分解转化为-(x+1)(x-1)，整理后确定最简公分母为(x+1)(x-1)，再去分母求解，最后检验。
【解析】
(1) 方程两边同时乘最简公分母$(x-4)(x-1)$（$x≠ 1$且$x≠ 4$），得：
$x(x-1)=(x+1)(x-4)$
展开得：$x^2 - x = x^2 - 3x - 4$
移项、合并同类项得：$2x = -4$
解得：$x=-2$
检验：将$x=-2$代入$(x-4)(x-1)$，得$(-2-4)×(-2-1)=18≠0$，因此$x=-2$是原方程的解。
(2) 先整理原方程，将分母$1-x^2$因式分解为$-(x+1)(x-1)$，原方程可化为：
$\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{2x}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}$
方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$（$x≠ \pm1$），得：
$2(x-1)+2x = x+1$
展开得：$2x - 2 + 2x = x + 1$
移项、合并同类项得：$3x=3$
解得：$x=1$
检验：将$x=1$代入$(x+1)(x-1)$，得$(1+1)×(1-1)=0$，因此$x=1$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=-2$；(2)无解
【知识点】
分式方程解法，整式方程求解，增根检验
【点评】
本题是分式方程求解的基础典型题，解题的关键是正确确定最简公分母去分母，将分式方程转化为熟悉的整式方程求解，需特别注意解分式方程必须检验，避免把增根当成原方程的解，处理分母互为相反数的情况时要注意符号的变化。
【难度系数】
0.7
3. 化简代数式 $1-\dfrac{x-1}{x}÷\dfrac{x^2-1}{x^2+2x}$，并求出当 $x$ 为何值时，该代数式的值为 2.
答案
原式$=-\dfrac{1}{x+1}$. 令$-\dfrac{1}{x+1}=2$,
变形,得$x+1=-\dfrac{1}{2}$,解得$x=-\dfrac{3}{2}$.
经检验,$x=-\dfrac{3}{2}$代入原式成立.
故当$x=-\dfrac{3}{2}$时,该代数式的值为 2.
变形,得$x+1=-\dfrac{1}{2}$,解得$x=-\dfrac{3}{2}$.
经检验,$x=-\dfrac{3}{2}$代入原式成立.
故当$x=-\dfrac{3}{2}$时,该代数式的值为 2.
解析
【分析】
解决这类分式化简求值问题，首先遵循分式混合运算顺序：先算除法，再算减法。计算除法时，先将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），再对分子分母中可因式分解的多项式因式分解，约分后再做减法运算得到最简分式。之后令最简分式等于2，解分式方程，最后检验解是否让原代数式所有分母不为0，确保解有效。
【解析】
步骤1：化简代数式
按照分式混合运算规则，先处理除法运算：
$\begin{aligned}1-\dfrac{x-1}{x}÷\dfrac{x^2-1}{x^2+2x}&=1-\dfrac{x-1}{x} × \dfrac{x^2+2x}{x^2-1}\\\quad\\\mathrm{因式分解得：}&=1-\dfrac{x-1}{x} × \dfrac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}\\\quad\\\mathrm{约分（$x≠0,x≠±1,x≠-2$时分式有意义）得：}&=1-\dfrac{x+2}{x+1}\\\quad\\\mathrm{通分计算减法：}&=\dfrac{x+1}{x+1}-\dfrac{x+2}{x+1}\\\quad\\&=\dfrac{(x+1)-(x+2)}{x+1}\\\quad\\&=-\dfrac{1}{x+1}\end{aligned}$
步骤2：求代数式值为2时x的值
令$-\dfrac{1}{x+1}=2$，
两边同乘$x+1$（$x≠-1$）得：$-1=2(x+1)$，
变形得$x+1=-\dfrac{1}{2}$，解得$x=-\dfrac{3}{2}$。
检验：将$x=-\dfrac{3}{2}$代入原代数式，所有分母均不为0，等式成立。
【答案】
化简结果为$-\dfrac{1}{x+1}$；当$x=-\dfrac{3}{2}$时，该代数式的值为2。
【知识点】
分式混合运算；解分式方程；分式有意义的条件
【点评】
本题综合考察分式运算与分式方程的求解，运算时要注意先因式分解再约分，解分式方程后必须检验所得的解是否使原分式有意义，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解决这类分式化简求值问题，首先遵循分式混合运算顺序：先算除法，再算减法。计算除法时，先将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），再对分子分母中可因式分解的多项式因式分解，约分后再做减法运算得到最简分式。之后令最简分式等于2，解分式方程，最后检验解是否让原代数式所有分母不为0，确保解有效。
【解析】
步骤1：化简代数式
按照分式混合运算规则，先处理除法运算：
$\begin{aligned}1-\dfrac{x-1}{x}÷\dfrac{x^2-1}{x^2+2x}&=1-\dfrac{x-1}{x} × \dfrac{x^2+2x}{x^2-1}\\\quad\\\mathrm{因式分解得：}&=1-\dfrac{x-1}{x} × \dfrac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}\\\quad\\\mathrm{约分（$x≠0,x≠±1,x≠-2$时分式有意义）得：}&=1-\dfrac{x+2}{x+1}\\\quad\\\mathrm{通分计算减法：}&=\dfrac{x+1}{x+1}-\dfrac{x+2}{x+1}\\\quad\\&=\dfrac{(x+1)-(x+2)}{x+1}\\\quad\\&=-\dfrac{1}{x+1}\end{aligned}$
步骤2：求代数式值为2时x的值
令$-\dfrac{1}{x+1}=2$，
两边同乘$x+1$（$x≠-1$）得：$-1=2(x+1)$，
变形得$x+1=-\dfrac{1}{2}$，解得$x=-\dfrac{3}{2}$。
检验：将$x=-\dfrac{3}{2}$代入原代数式，所有分母均不为0，等式成立。
【答案】
化简结果为$-\dfrac{1}{x+1}$；当$x=-\dfrac{3}{2}$时，该代数式的值为2。
【知识点】
分式混合运算；解分式方程；分式有意义的条件
【点评】
本题综合考察分式运算与分式方程的求解，运算时要注意先因式分解再约分，解分式方程后必须检验所得的解是否使原分式有意义，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
4. 解关于 $ x $ 的方程$\frac{x+1}{x+2} - \frac{x}{x-1} = \frac{kx+2}{(x-1)(x+2)}$时产生了增根，请求出所有满足条件的 $ k $ 的值.
答案
去分母,得$(x+1)(x-1)-x(x+2)=kx+2$,
去括号,得$x^2-1-x^2-2x=kx+2$,
移项,得$kx+2x=-1-2$,
合并同类项,得$(k+2)x=-3$.
分以下两种情况:
令$x=1$,则$k+2=-3$,解得$k=-5$;
令$x=-2$,则$-2(k+2)=-3$,解得$k=-\dfrac{1}{2}$.
综上所述,k 的值为$-5$或$-\dfrac{1}{2}$.
去括号,得$x^2-1-x^2-2x=kx+2$,
移项,得$kx+2x=-1-2$,
合并同类项,得$(k+2)x=-3$.
分以下两种情况:
令$x=1$,则$k+2=-3$,解得$k=-5$;
令$x=-2$,则$-2(k+2)=-3$,解得$k=-\dfrac{1}{2}$.
综上所述,k 的值为$-5$或$-\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
解题首先要明确分式方程增根的两个特性：①增根是去分母后所得整式方程的根；②增根会使原分式方程的分母为0。解题思路如下：第一步先确定原方程可能的增根，由分母$x-1=0$、$x+2=0$可得增根只能是$x=1$或$x=-2$；第二步将原分式方程去分母转化为整式方程；第三步把两种可能的增根分别代入整式方程，即可求出对应的$k$值，注意分类讨论不要漏解。
【解析】
原方程的最简公分母为$(x-1)(x+2)$，两边同乘$(x-1)(x+2)$去分母，得：
$(x+1)(x-1)-x(x+2)=kx+2$
去括号，得：
$x^2-1-x^2-2x=kx+2$
移项，将含$x$的项移到等式左侧，常数项移到等式右侧，得：
$kx+2x=-1-2$
合并同类项，得：
$(k+2)x=-3$
因为方程产生增根，所以增根为使原方程分母为0的$x$值，即$x=1$或$x=-2$，分两种情况讨论：
① 当增根为$x=1$时，代入$(k+2)x=-3$，得$k+2=-3$，解得$k=-5$；
② 当增根为$x=-2$时，代入$(k+2)x=-3$，得$-2(k+2)=-3$，解得$k=-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$k$的值为$-5$或$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 解分式方程
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是分式方程增根应用的典型题型，解题核心是掌握增根的两个核心性质，解题时需对所有可能的增根分类讨论，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确分式方程增根的两个特性：①增根是去分母后所得整式方程的根；②增根会使原分式方程的分母为0。解题思路如下：第一步先确定原方程可能的增根，由分母$x-1=0$、$x+2=0$可得增根只能是$x=1$或$x=-2$；第二步将原分式方程去分母转化为整式方程；第三步把两种可能的增根分别代入整式方程，即可求出对应的$k$值，注意分类讨论不要漏解。
【解析】
原方程的最简公分母为$(x-1)(x+2)$，两边同乘$(x-1)(x+2)$去分母，得：
$(x+1)(x-1)-x(x+2)=kx+2$
去括号，得：
$x^2-1-x^2-2x=kx+2$
移项，将含$x$的项移到等式左侧，常数项移到等式右侧，得：
$kx+2x=-1-2$
合并同类项，得：
$(k+2)x=-3$
因为方程产生增根，所以增根为使原方程分母为0的$x$值，即$x=1$或$x=-2$，分两种情况讨论：
① 当增根为$x=1$时，代入$(k+2)x=-3$，得$k+2=-3$，解得$k=-5$；
② 当增根为$x=-2$时，代入$(k+2)x=-3$，得$-2(k+2)=-3$，解得$k=-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$k$的值为$-5$或$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 解分式方程
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是分式方程增根应用的典型题型，解题核心是掌握增根的两个核心性质，解题时需对所有可能的增根分类讨论，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
