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1. 解方程：
(1)$\frac{3}{x}=\frac{1}{x - 4}$；
(2)$\frac{2 + x}{5 - 2x}+\frac{1}{2x - 5}=1$；
(3)$\frac{4}{x}-\frac{2}{x - 3}=0$；
(4)$\frac{60}{x + 8}=\frac{45}{x}$；
(5)$\frac{540}{1.5x}=\frac{540}{x}-10$；
(6)$\frac{x + 1}{x}1=\frac{1}{2 - x}$
(1)$\frac{3}{x}=\frac{1}{x - 4}$；
(2)$\frac{2 + x}{5 - 2x}+\frac{1}{2x - 5}=1$；
(3)$\frac{4}{x}-\frac{2}{x - 3}=0$；
(4)$\frac{60}{x + 8}=\frac{45}{x}$；
(5)$\frac{540}{1.5x}=\frac{540}{x}-10$；
(6)$\frac{x + 1}{x}1=\frac{1}{2 - x}$
答案
1. (1)$x=6$；(2)$x=\frac{4}{3}$；(3)$x=6$；(4)$x=24$；(5)$x=18$；(6)$x=1$.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：1. 找各分母的最简公分母，若有互为相反数的因式先统一符号；2. 方程两边同乘最简公分母去分母，得到整式方程；3. 解整式方程得到未知数的值；4. 检验：将所得值代入最简公分母，若公分母不为0则是原方程的解，若为0则是增根，需舍去。
【解析】
(1) $\frac{3}{x}=\frac{1}{x - 4}$
最简公分母为$x(x-4)$，方程两边同乘$x(x-4)$得：
$3(x-4)=x$
去括号：$3x-12=x$
移项合并同类项：$2x=12$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$x(x-4)=6×2=12≠0$，故$x=6$是原方程的解。
(2) $\frac{2 + x}{5 - 2x}+\frac{1}{2x - 5}=1$
先统一分母符号：$\frac{2+x}{5-2x}-\frac{1}{5-2x}=1$，最简公分母为$5-2x$，方程两边同乘$5-2x$得：
$2+x -1=5-2x$
移项合并同类项：$3x=4$
解得：$x=\frac{4}{3}$
检验：当$x=\frac{4}{3}$时，$5-2x=5-\frac{8}{3}=\frac{7}{3}≠0$，故$x=\frac{4}{3}$是原方程的解。
(3) $\frac{4}{x}-\frac{2}{x - 3}=0$
最简公分母为$x(x-3)$，方程两边同乘$x(x-3)$得：
$4(x-3)-2x=0$
去括号：$4x-12-2x=0$
移项合并同类项：$2x=12$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$x(x-3)=6×3=18≠0$，故$x=6$是原方程的解。
(4) $\frac{60}{x + 8}=\frac{45}{x}$
最简公分母为$x(x+8)$，方程两边同乘$x(x+8)$得：
$60x=45(x+8)$
去括号：$60x=45x+360$
移项合并同类项：$15x=360$
解得：$x=24$
检验：当$x=24$时，$x(x+8)=24×32=768≠0$，故$x=24$是原方程的解。
(5) $\frac{540}{1.5x}=\frac{540}{x}-10$
先化简左边得$\frac{360}{x}=\frac{540}{x}-10$，最简公分母为$x$，方程两边同乘$x$得：
$360=540-10x$
移项得：$10x=540-360=180$
解得：$x=18$
检验：当$x=18$时，$1.5x=27≠0$，$x=18≠0$，故$x=18$是原方程的解。
(6) $\frac{x + 1}{x}-1=\frac{1}{2 - x}$
先化简左边得$\frac{x+1 -x}{x}=\frac{1}{x}$，方程变为$\frac{1}{x}=\frac{1}{2-x}$，最简公分母为$x(2-x)$，方程两边同乘$x(2-x)$得：
$2-x=x$
移项合并同类项：$2x=2$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$x(2-x)=1×1=1≠0$，故$x=1$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=6$；(2)$x=\frac{4}{3}$；(3)$x=6$；(4)$x=24$；(5)$x=18$；(6)$x=1$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的检验，等式的基本性质
【点评】
本题是分式方程的基础训练题，解题核心是掌握“去分母转化为整式方程”的转化思想，需注意处理互为相反数的分母时要先调整符号，且解完后必须检验，避免增根导致答案错误。
【难度系数】
0.75
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：1. 找各分母的最简公分母，若有互为相反数的因式先统一符号；2. 方程两边同乘最简公分母去分母，得到整式方程；3. 解整式方程得到未知数的值；4. 检验：将所得值代入最简公分母，若公分母不为0则是原方程的解，若为0则是增根，需舍去。
【解析】
(1) $\frac{3}{x}=\frac{1}{x - 4}$
最简公分母为$x(x-4)$，方程两边同乘$x(x-4)$得：
$3(x-4)=x$
去括号：$3x-12=x$
移项合并同类项：$2x=12$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$x(x-4)=6×2=12≠0$，故$x=6$是原方程的解。
(2) $\frac{2 + x}{5 - 2x}+\frac{1}{2x - 5}=1$
先统一分母符号：$\frac{2+x}{5-2x}-\frac{1}{5-2x}=1$，最简公分母为$5-2x$，方程两边同乘$5-2x$得：
$2+x -1=5-2x$
移项合并同类项：$3x=4$
解得：$x=\frac{4}{3}$
检验：当$x=\frac{4}{3}$时，$5-2x=5-\frac{8}{3}=\frac{7}{3}≠0$，故$x=\frac{4}{3}$是原方程的解。
(3) $\frac{4}{x}-\frac{2}{x - 3}=0$
最简公分母为$x(x-3)$，方程两边同乘$x(x-3)$得：
$4(x-3)-2x=0$
去括号：$4x-12-2x=0$
移项合并同类项：$2x=12$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$x(x-3)=6×3=18≠0$，故$x=6$是原方程的解。
(4) $\frac{60}{x + 8}=\frac{45}{x}$
最简公分母为$x(x+8)$，方程两边同乘$x(x+8)$得：
$60x=45(x+8)$
去括号：$60x=45x+360$
移项合并同类项：$15x=360$
解得：$x=24$
检验：当$x=24$时，$x(x+8)=24×32=768≠0$，故$x=24$是原方程的解。
(5) $\frac{540}{1.5x}=\frac{540}{x}-10$
先化简左边得$\frac{360}{x}=\frac{540}{x}-10$，最简公分母为$x$，方程两边同乘$x$得：
$360=540-10x$
移项得：$10x=540-360=180$
解得：$x=18$
检验：当$x=18$时，$1.5x=27≠0$，$x=18≠0$，故$x=18$是原方程的解。
(6) $\frac{x + 1}{x}-1=\frac{1}{2 - x}$
先化简左边得$\frac{x+1 -x}{x}=\frac{1}{x}$，方程变为$\frac{1}{x}=\frac{1}{2-x}$，最简公分母为$x(2-x)$，方程两边同乘$x(2-x)$得：
$2-x=x$
移项合并同类项：$2x=2$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$x(2-x)=1×1=1≠0$，故$x=1$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=6$；(2)$x=\frac{4}{3}$；(3)$x=6$；(4)$x=24$；(5)$x=18$；(6)$x=1$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的检验，等式的基本性质
【点评】
本题是分式方程的基础训练题，解题核心是掌握“去分母转化为整式方程”的转化思想，需注意处理互为相反数的分母时要先调整符号，且解完后必须检验，避免增根导致答案错误。
【难度系数】
0.75
2. 已知关于 $ x $ 的方程 $(a-1)x + 2x = 2$ 的解是分式方程 $\frac{x+1}{x-1} + \frac{4}{x^2 - 1} = 1$ 的根，求 $ a $ 的值.
答案
分式方程去分母,得 $x^2 + 2x + 1 + 4 = x^2 - 1$,
解得 $x=-3$.
经检验 $x=-3$ 是分式方程的解.
把 $x=-3$ 代入方程$(a-1)x+2x=2$,
得$-3a+3-6=2$,解得 $a=-\frac{5}{3}$.
解得 $x=-3$.
经检验 $x=-3$ 是分式方程的解.
把 $x=-3$ 代入方程$(a-1)x+2x=2$,
得$-3a+3-6=2$,解得 $a=-\frac{5}{3}$.
解析
【分析】
要计算$a$的值，需先求出分式方程的根，因为含$a$的方程的解与分式方程的根相同。解题思路分两步：第一步先解分式方程，注意解分式方程必须验根，排除增根；第二步将求得的有效根代入关于$x$的含参数$a$的一元一次方程，得到关于$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值。
【解析】
1. 解分式方程$\frac{x+1}{x-1} + \frac{4}{x^2 - 1} = 1$
对分母因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，方程两边同时乘最简公分母$x^2-1$去分母，得：
$(x+1)^2 + 4 = x^2 - 1$
展开整理：
$x^2 + 2x + 1 + 4 = x^2 - 1$
消去$x^2$，移项合并同类项得：
$2x=-6$
解得$x=-3$
检验：将$x=-3$代入最简公分母$x^2-1=(-3)^2-1=8≠0$，因此$x=-3$是原分式方程的解。
2. 将$x=-3$代入方程$(a-1)x + 2x = 2$，得：
$(a-1)×(-3) + 2×(-3) = 2$
展开计算：
$-3a + 3 - 6 = 2$
移项合并同类项：
$-3a=5$
解得$a=-\frac{5}{3}$
【答案】
$a=-\frac{5}{3}$
【知识点】
分式方程的解法，一元一次方程的解法，方程的解的定义
【点评】
本题属于方程综合基础题，解题的核心是先求解分式方程，注意分式方程求解后必须验根，再利用方程解的定义代入含参数的方程求解参数，熟练掌握两种方程的解法是得分关键。
【难度系数】
0.7
要计算$a$的值，需先求出分式方程的根，因为含$a$的方程的解与分式方程的根相同。解题思路分两步：第一步先解分式方程，注意解分式方程必须验根，排除增根；第二步将求得的有效根代入关于$x$的含参数$a$的一元一次方程，得到关于$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值。
【解析】
1. 解分式方程$\frac{x+1}{x-1} + \frac{4}{x^2 - 1} = 1$
对分母因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，方程两边同时乘最简公分母$x^2-1$去分母，得：
$(x+1)^2 + 4 = x^2 - 1$
展开整理：
$x^2 + 2x + 1 + 4 = x^2 - 1$
消去$x^2$，移项合并同类项得：
$2x=-6$
解得$x=-3$
检验：将$x=-3$代入最简公分母$x^2-1=(-3)^2-1=8≠0$，因此$x=-3$是原分式方程的解。
2. 将$x=-3$代入方程$(a-1)x + 2x = 2$，得：
$(a-1)×(-3) + 2×(-3) = 2$
展开计算：
$-3a + 3 - 6 = 2$
移项合并同类项：
$-3a=5$
解得$a=-\frac{5}{3}$
【答案】
$a=-\frac{5}{3}$
【知识点】
分式方程的解法，一元一次方程的解法，方程的解的定义
【点评】
本题属于方程综合基础题，解题的核心是先求解分式方程，注意分式方程求解后必须验根，再利用方程解的定义代入含参数的方程求解参数，熟练掌握两种方程的解法是得分关键。
【难度系数】
0.7
3. 关于$y$的方程$\dfrac{3}{2-y}=\dfrac{4+m}{y-2}+1$有增根，求$m$的值.
答案
分式方程变形,得$\dfrac{-3}{y-2}=\dfrac{4+m}{y-2}+1$,
去分母,得$-3=4+m+y-2$,
整理,得$m+y=-5$.
$\because$方程有增根,$\therefore y=2$,
$\therefore m+2=-5$,解得 $m=-7$.
去分母,得$-3=4+m+y-2$,
整理,得$m+y=-5$.
$\because$方程有增根,$\therefore y=2$,
$\therefore m+2=-5$,解得 $m=-7$.
解析
【分析】
要解决这类分式方程有增根求参数的问题，首先要明确增根的定义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，同时会使原分式方程的分母为0。解题思路可分为三步：第一步先找出原分式方程可能的增根，即令所有分母为0得到的未知数取值；第二步将分式方程去分母转化为整式方程；第三步把增根代入整式方程，即可求出参数的值。
【解析】
解：先对原方程变形，将左边分式的分母统一为$y-2$，得：
$\dfrac{-3}{y-2}=\dfrac{4+m}{y-2}+1$
方程两边同时乘最简公分母$(y-2)$（默认$y≠2$），去分母得：
$-3=4+m+y-2$
整理等式得：
$m+y=-5$
$\because$ 分式方程有增根，$\therefore$ 分母$y-2=0$，即增根为$y=2$
将$y=2$代入$m+y=-5$，得：
$m+2=-5$
解得$m=-7$
【答案】
$m=-7$
【知识点】
1. 分式方程增根的概念
2. 解分式方程
【点评】
本题是分式方程参数求解的常考题型，解题核心是掌握增根的两个性质，先确定增根的取值，再代入去分母后的整式方程计算即可，解题时要注意统一分母的过程中符号的变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
要解决这类分式方程有增根求参数的问题，首先要明确增根的定义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，同时会使原分式方程的分母为0。解题思路可分为三步：第一步先找出原分式方程可能的增根，即令所有分母为0得到的未知数取值；第二步将分式方程去分母转化为整式方程；第三步把增根代入整式方程，即可求出参数的值。
【解析】
解：先对原方程变形，将左边分式的分母统一为$y-2$，得：
$\dfrac{-3}{y-2}=\dfrac{4+m}{y-2}+1$
方程两边同时乘最简公分母$(y-2)$（默认$y≠2$），去分母得：
$-3=4+m+y-2$
整理等式得：
$m+y=-5$
$\because$ 分式方程有增根，$\therefore$ 分母$y-2=0$，即增根为$y=2$
将$y=2$代入$m+y=-5$，得：
$m+2=-5$
解得$m=-7$
【答案】
$m=-7$
【知识点】
1. 分式方程增根的概念
2. 解分式方程
【点评】
本题是分式方程参数求解的常考题型，解题核心是掌握增根的两个性质，先确定增根的取值，再代入去分母后的整式方程计算即可，解题时要注意统一分母的过程中符号的变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
