1.(2025·淮阴区期中)春节期间，《中国诗词大会》节目的播出深受观众喜爱，进一步激起了人们对古诗词的喜爱，现有以下四句古诗词：①锄禾日当午；②春眠不觉晓；③白日依山尽；④床前明月光，甲、乙两名同学从中各随机选取了一句写在了纸上，则他们选取的诗句恰好相同的概率为（）

A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$

1.B

【分析】
这道题属于古典概型的概率计算问题，解题思路如下：首先明确甲乙两名同学选诗句是相互独立的事件，先通过列举法（列表或画树状图）统计出所有等可能出现的总结果数；再从中筛选出两人选取的诗句恰好相同的符合条件的结果数；最后根据古典概型的概率公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数，代入数值计算即可得到答案。需要注意两人是可以选到完全相同的诗句的，不要误把总情况当成4句里选2句的排列数，避免算错总结果数。
【解析】
解：用列举法分析所有可能的结果：
甲同学从4句古诗词中任选1句，共有4种选择；乙同学同样独立从4句古诗词中任选1句，也有4种选择，因此所有等可能的总结果数为$4×4=16$种。
其中甲乙选取的诗句恰好相同的情况为：两人都选①、两人都选②、两人都选③、两人都选④，共4种符合要求的结果。
根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{选取诗句恰好相同})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$
因此答案选B。
【答案】B
【知识点】
列举法求概率，古典概型
【点评】
本题是初中概率部分的基础题型，核心考点是用列举法计算古典概型的概率，易错点是部分同学会错误认为两人选的诗句不能重复，误将总结果数算为$4×3=12$，从而得到错误的$\frac{1}{3}$的结果，解题时只要明确两人选择相互独立、允许选相同诗句，准确统计总情况数即可轻松得分。
【难度系数】
0.8

2. (2025·连云港一模)十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号,是十二地支的形象化代表;根据文献资料记载,最早并广为流传的完整十二生肖循环,是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的:下列四幅十二生肖图片,大小、形状、质地完全相同,小乐从中随机抽取一张后并放回,再从中随机抽取一张,两张图片恰好是“牛”“兔”的概率是.

2.$\frac{1}{8}$

【分析】
首先明确四张卡片分别对应鼠、牛、虎、兔共4种不同生肖，抽取方式为有放回的两次随机抽取。解题时第一步先计算两次抽取所有等可能的总结果数：因为是有放回抽取，第一次抽取有4种选择，放回后第二次抽取仍有4种选择，总结果数为4×4=16种；第二步找出满足“两张恰好是牛、兔”的全部情况，要注意顺序，包含第一次抽牛第二次抽兔、第一次抽兔第二次抽牛共2种符合要求的情况；第三步根据古典概型概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
解：由题意可知，4张卡片对应生肖分别为鼠、牛、虎、兔，抽取为有放回的随机抽取：
1. 计算总等可能结果数：第一次抽取有4种可能，放回后第二次抽取仍有4种可能，两次抽取的总等可能结果数为 $4 × 4 = 16$ 种，所有结果出现的概率完全相等。
2. 统计符合条件的结果数：满足两张图片恰好是“牛”“兔”的情况共2种，分别为（牛，兔）、（兔，牛）。
3. 代入概率公式计算：所求概率 $P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$。
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
古典概型，有放回抽样，概率计算
【点评】
本题是基础概率计算题，核心考查有放回抽样的概率求解，易错点是容易遗漏“先抽兔后抽牛”的反向情况，误将符合条件的结果数算为1导致结果出错，解题时要有序枚举所有符合要求的情况，注意区分有放回和无放回抽样的差异。
【难度系数】
0.6

3. (2025·苏州)为了弘扬社会主义核心价值观,学校决定组织“立鸿鹄之志,做有为少年”主题观影活动,建议同学们利用周末时间自主观看. 现有 A,B,C 共 3 部电影,甲、乙 2 位同学分别从中任意选择1部电影观看.
(1)甲同学选择 A 电影的概率为;
(2)求甲、乙2位同学选择不同电影的概率.(请用画树状图或列表等方法说明理由)

3.(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:画树状图如答图.
开始
甲 A B C
乙 A B C A B C A B C
第3题答图
共有9种等可能的结果,其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种,
$\therefore$甲、乙2位同学选择不同电影的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

【分析】
先看第(1)问：甲从3部电影中完全随机选1部，所有可选的等可能结果共3种，选中A电影的情况仅1种，直接用古典概型公式就能算出对应概率。
再看第(2)问：要计算甲乙两人选不同电影的概率，首先需要不重不漏列举出两人所有的选择组合，选择画树状图的方法最直观：第一层先列出甲的全部3种选择，第二层对应甲的每一种选择，列出乙的全部3种选择，统计出总等可能结果数，再从中筛选出两人选不同电影的结果数，代入概率公式P=符合条件的结果数÷总结果数即可算出最终概率。
【解析】
(1) 甲从A、B、C共3部电影中随机选择1部，所有等可能的选择结果共3种，其中选择A电影的结果仅有1种，因此甲选择A电影的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图列举所有结果：
第一层（甲的选择）：分支为A、B、C
第二层（对应甲的每一种选择，乙的选择）：
甲选A时，乙可选A、B、C
甲选B时，乙可选A、B、C
甲选C时，乙可选A、B、C
由此可得全部等可能的9种结果为：(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,B)、(B,C)、(C,A)、(C,B)、(C,C)。
其中甲、乙选择不同电影的结果共6种，分别是(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,C)、(C,A)、(C,B)。
代入概率公式得：$P(\mathrm{甲乙选择不同电影})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
古典概型计算，树状图法求概率
【点评】
本题是概率模块的基础常考题，结合校园活动的实际情境命题，第(1)问直接考查单步随机事件的概率计算，第(2)问考查两步独立试验的概率求解，要求学生掌握用树状图/列表法完整列举所有等可能结果的方法，解题时注意不要漏数、重复计数组合结果即可轻松得分。
【难度系数】
0.8

4. 一个不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别.
(1)从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是；
(2)从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球. 求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率.

4.(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:列表如下:
| | 红 | 黄 | 蓝 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (黄,红) | (蓝,红) |
| 黄 | (红,黄) | (黄,黄) | (蓝,黄) |
| 蓝 | (红,蓝) | (黄,蓝) | (蓝,蓝) |
共有9种等可能的结果,其中一红一黄的结果有2种,
$\therefore P(一红一黄)=\frac{2}{9}$.

【分析】
先解决第(1)问，这是单次摸球的古典概型问题：首先确定所有等可能的结果总数，袋子里共3个不同颜色的球，随机摸1个球共有3种等可能的情况，其中摸到蓝球的情况仅1种，直接用概率定义就能算出结果。再看第(2)问，属于有放回的两次摸球问题，第一次摸球后将球放回摇匀，第二次摸球时袋内仍有红、黄、蓝各1个，我们可以通过列表法把所有两次摸球的等可能结果全部枚举出来，再从中统计满足“一红一黄”的结果数量，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率，解题时要注意区分有放回和不放回摸球的差异，避免总结果数统计错误。
【解析】
(1) 袋中共有3个除颜色外无差别的球，随机摸出1个球，共有3种等可能的结果，其中摸到蓝球的结果仅1种，因此摸到蓝球的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 用列表法枚举两次摸球的所有等可能结果：
| | 红 | 黄 | 蓝 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,黄) | (红,蓝) |
| 黄 | (黄,红) | (黄,黄) | (黄,蓝) |
| 蓝 | (蓝,红) | (蓝,黄) | (蓝,蓝) |
由表可知，总共有9种等可能的结果，其中满足“一红一黄”的结果为(红,黄)、(黄,红)，共2种，代入概率公式得：
$P(\mathrm{两次摸到的球为一红一黄})=\frac{2}{9}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$；(2)$\frac{2}{9}$
【知识点】
概率公式，列表法求概率
【点评】
本题是概率模块的基础常规题型，整体难度偏低，第一问直接考查单次随机事件的基础概率计算，第二问重点考查有放回摸球的概率求解，学生的常见易错点是混淆有放回和不放回摸球的规则，误将总结果数算为6种导致结果出错，解题时只要明确摸球规则，枚举结果时做到不重不漏就可以顺利得到正确答案。
【难度系数】
0.8