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5. 在一个不透明的布袋中，有红球、黑球和白球共50个，且小球除颜色外其他完全相同. 源源通过多次摸球试验后发现，摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右，则布袋中白球的个数很可能是（
A.6
B.19
C.25
D.26
D
）A.6
B.19
C.25
D.26
答案
5.D
解析
【分析】
这道题的核心思路是利用大量重复摸球试验下频率趋近于概率的规律解题。首先我们可以直接将稳定的频率作为对应事件发生的概率，由于所有颜色小球被摸到的概率之和为1，先计算出摸到白球的对应概率，再用总球数乘以白球的概率，就能估算出白球的大致数量，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
1. 根据频率估计概率的原理，多次试验后频率稳定在概率附近，因此可得：
摸到红球的概率约为0.12，摸到黑球的概率约为0.36。
2. 由于摸到红球、黑球、白球是互斥事件，三者概率之和为1，因此摸到白球的概率约为：
$P_{白}=1 - 0.12 - 0.36 = 0.52$
3. 已知三种球总共有50个，因此白球的个数约为：
$50×0.52 = 26$
所以布袋中白球的个数很可能是26。
【答案】
D
【知识点】
频率估计概率；概率基本运算
【点评】
本题属于概率应用的基础题型，解题门槛较低，核心是掌握频率与概率的对应关系，也可以先分别算出红球、黑球的估算数量，再用总球数减去二者之和得到白球数，两种方法都可以快速得到结果，不易出现计算错误。
【难度系数】
0.9
这道题的核心思路是利用大量重复摸球试验下频率趋近于概率的规律解题。首先我们可以直接将稳定的频率作为对应事件发生的概率，由于所有颜色小球被摸到的概率之和为1，先计算出摸到白球的对应概率，再用总球数乘以白球的概率，就能估算出白球的大致数量，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
1. 根据频率估计概率的原理，多次试验后频率稳定在概率附近，因此可得：
摸到红球的概率约为0.12，摸到黑球的概率约为0.36。
2. 由于摸到红球、黑球、白球是互斥事件，三者概率之和为1，因此摸到白球的概率约为：
$P_{白}=1 - 0.12 - 0.36 = 0.52$
3. 已知三种球总共有50个，因此白球的个数约为：
$50×0.52 = 26$
所以布袋中白球的个数很可能是26。
【答案】
D
【知识点】
频率估计概率；概率基本运算
【点评】
本题属于概率应用的基础题型，解题门槛较低，核心是掌握频率与概率的对应关系，也可以先分别算出红球、黑球的估算数量，再用总球数减去二者之和得到白球数，两种方法都可以快速得到结果，不易出现计算错误。
【难度系数】
0.9
6. 如图①所示,平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分),小明想了解该图案的面积是多少,他采取了以下办法:用一个面积为$200\ \mathrm{cm^{2}}$的长方形,将不规则图案围起来,然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球,并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果),他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的统计图,由此估计不规则图案的面积大约为（
A.$90\ \mathrm{cm^{2}}$
B.$80\ \mathrm{cm^{2}}$
C.$70\ \mathrm{cm^{2}}$
D.$60\ \mathrm{cm^{2}}$
C
）A.$90\ \mathrm{cm^{2}}$
B.$80\ \mathrm{cm^{2}}$
C.$70\ \mathrm{cm^{2}}$
D.$60\ \mathrm{cm^{2}}$
答案
6.C
解析
【分析】
这是一道结合频率估计概率的几何概型实际应用题，解题思路如下：首先观察给出的频率折线图，发现随着试验次数不断增加，小球落在不规则图案上的频率逐渐趋于稳定，稳定值约为0.35，根据大量重复试验下频率趋近于概率的原理，可得到小球落在不规则图案上的概率近似为0.35。接着利用几何概型的性质：小球落在阴影区域的概率等于不规则图案面积与长方形总面积的比值，已知长方形总面积为200cm²，代入概率值即可计算出不规则图案的近似面积，进而选出正确选项。
【解析】
解：① 观察频率折线统计图可知，随着试验次数增大，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35附近，根据频率估计概率的思想，可得小球落在不规则图案上的概率约为0.35。
② 设不规则图案的面积为$ S $，由几何概型的定义可得：
$\frac{S}{200} \approx 0.35$
解得：
$S \approx 200 × 0.35 = 70\ \mathrm{cm^2}$
因此估计不规则图案的面积大约为70$\mathrm{cm^2}$。
【答案】
C
【知识点】
频率估计概率，几何概型
【点评】
本题是用随机试验估算不规则图形面积的典型题型，核心是理解频率与概率的关系，将概率转化为面积的比值进行计算，该方法也是实际生产生活中测量不规则图形面积的常用手段，难度较低，侧重对基础概念的应用考察。
【难度系数】
0.7
这是一道结合频率估计概率的几何概型实际应用题，解题思路如下：首先观察给出的频率折线图，发现随着试验次数不断增加，小球落在不规则图案上的频率逐渐趋于稳定，稳定值约为0.35，根据大量重复试验下频率趋近于概率的原理，可得到小球落在不规则图案上的概率近似为0.35。接着利用几何概型的性质：小球落在阴影区域的概率等于不规则图案面积与长方形总面积的比值，已知长方形总面积为200cm²，代入概率值即可计算出不规则图案的近似面积，进而选出正确选项。
【解析】
解：① 观察频率折线统计图可知，随着试验次数增大，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35附近，根据频率估计概率的思想，可得小球落在不规则图案上的概率约为0.35。
② 设不规则图案的面积为$ S $，由几何概型的定义可得：
$\frac{S}{200} \approx 0.35$
解得：
$S \approx 200 × 0.35 = 70\ \mathrm{cm^2}$
因此估计不规则图案的面积大约为70$\mathrm{cm^2}$。
【答案】
C
【知识点】
频率估计概率，几何概型
【点评】
本题是用随机试验估算不规则图形面积的典型题型，核心是理解频率与概率的关系，将概率转化为面积的比值进行计算，该方法也是实际生产生活中测量不规则图形面积的常用手段，难度较低，侧重对基础概念的应用考察。
【难度系数】
0.7
7.(2025·赣榆区期中)盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，放回搅匀，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为
24
.答案
7.24
解析
【分析】
这道题的核心思路是利用大量重复试验下频率趋近于概率的原理估算未知球数：第一步先根据给出的试验总次数和摸出白球的次数，计算摸出白球的试验频率，该频率可以近似等于从盒中随机摸出1个白球的理论概率；第二步设黄球个数为未知数，结合已知的白球数量表示出总球数，根据概率的定义“摸出白球的概率=白球个数÷总球数”列出方程，求解即可得到黄球的估计值。
【解析】
1. 计算摸出白球的试验频率：
总共重复摸球360次，其中摸出白色乒乓球90次，因此摸出白球的频率为：$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$。
2. 用频率估计概率：
由于是有放回的重复摸球，大量试验下频率稳定在概率附近，因此随机从盒中摸出1个球是白球的概率约为$\frac{1}{4}$。
3. 列方程求解黄球个数：
设黄色乒乓球的个数为$x$，则盒中乒乓球总数量为$(8+x)$，根据概率公式可得：
$\frac{8}{8+x}=\frac{1}{4}$
交叉相乘得：$8×4=8+x$，解得$x=24$，经检验$x=24$时分母不为0，符合实际意义。
因此黄色乒乓球的个数估计为24。
【答案】
24
【知识点】
频率估计概率，概率公式应用
【点评】
本题属于频率估计概率的基础实际应用题，难度较低，易错点是混淆白球、黄球对应的频率关系，解题时要明确试验得到的是白球的频率，对应白球占总球数的比例，不要直接用黄球的频率去计算导致出错。
【难度系数】
0.8
这道题的核心思路是利用大量重复试验下频率趋近于概率的原理估算未知球数：第一步先根据给出的试验总次数和摸出白球的次数，计算摸出白球的试验频率，该频率可以近似等于从盒中随机摸出1个白球的理论概率；第二步设黄球个数为未知数，结合已知的白球数量表示出总球数，根据概率的定义“摸出白球的概率=白球个数÷总球数”列出方程，求解即可得到黄球的估计值。
【解析】
1. 计算摸出白球的试验频率：
总共重复摸球360次，其中摸出白色乒乓球90次，因此摸出白球的频率为：$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$。
2. 用频率估计概率：
由于是有放回的重复摸球，大量试验下频率稳定在概率附近，因此随机从盒中摸出1个球是白球的概率约为$\frac{1}{4}$。
3. 列方程求解黄球个数：
设黄色乒乓球的个数为$x$，则盒中乒乓球总数量为$(8+x)$，根据概率公式可得：
$\frac{8}{8+x}=\frac{1}{4}$
交叉相乘得：$8×4=8+x$，解得$x=24$，经检验$x=24$时分母不为0，符合实际意义。
因此黄色乒乓球的个数估计为24。
【答案】
24
【知识点】
频率估计概率，概率公式应用
【点评】
本题属于频率估计概率的基础实际应用题，难度较低，易错点是混淆白球、黄球对应的频率关系，解题时要明确试验得到的是白球的频率，对应白球占总球数的比例，不要直接用黄球的频率去计算导致出错。
【难度系数】
0.8
8. 某航班每次约有 100 名乘客,一次飞行中飞机失事的概率约为 $P=0.00005$.一家保险公司要为乘客保险,承诺飞机一旦失事,向每位乘客赔偿 40 万元人民币.平均来说,保险公司应收取的保险费至少为每人
20
元才能确保不亏本.(实际上,飞机失事的概率远低于 0.00005)答案
8.20
解析
【分析】
要解决这个问题，我们的核心思路是利用概率的期望计算平均意义下的保险公司最低赔付成本，确保总保费不低于期望总赔付额就能保证平均情况下不亏本。首先明确逻辑：先算出单次飞行中，保险公司对100名乘客的总期望赔付金额，再将总期望赔付额平摊到每名乘客身上，得到的人均金额就是保险公司至少要收取的保费。第一步先计算若飞机失事，总共需要向100名乘客支付的总赔偿金额，第二步结合失事概率算出期望总赔付，第三步让总保费大于等于期望总赔付，解出单人保费的最小值即可。
【解析】
解：设保险公司向每位乘客收取的保险费为x元。
1. 100名乘客的总保费收入为：$100x$ 元
2. 若飞机失事，保险公司需要向所有乘客支付的总赔偿金额为：
$100 × 400000 = 40000000$ 元
3. 结合飞机失事的概率$P=0.00005$，可得单次飞行中保险公司的期望总赔付金额为：
$40000000 × 0.00005 = 2000$ 元
4. 要确保平均情况下不亏本，需满足总保费收入 ≥ 期望总赔付金额，即：
$100x ≥ 2000$
解得 $x ≥ 20$
因此保险公司平均来说至少要向每人收取20元保险费才能确保不亏本。
【答案】
20
【知识点】
数学期望；概率实际应用
【点评】
本题是概率知识在商业保险场景的典型应用题，核心考察用数学期望衡量平均风险成本的思路，避免了学生直接按“必然失事”的极端情况计算的错误，能帮助学生建立用概率思维解决生活中风险决策类问题的意识。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们的核心思路是利用概率的期望计算平均意义下的保险公司最低赔付成本，确保总保费不低于期望总赔付额就能保证平均情况下不亏本。首先明确逻辑：先算出单次飞行中，保险公司对100名乘客的总期望赔付金额，再将总期望赔付额平摊到每名乘客身上，得到的人均金额就是保险公司至少要收取的保费。第一步先计算若飞机失事，总共需要向100名乘客支付的总赔偿金额，第二步结合失事概率算出期望总赔付，第三步让总保费大于等于期望总赔付，解出单人保费的最小值即可。
【解析】
解：设保险公司向每位乘客收取的保险费为x元。
1. 100名乘客的总保费收入为：$100x$ 元
2. 若飞机失事，保险公司需要向所有乘客支付的总赔偿金额为：
$100 × 400000 = 40000000$ 元
3. 结合飞机失事的概率$P=0.00005$，可得单次飞行中保险公司的期望总赔付金额为：
$40000000 × 0.00005 = 2000$ 元
4. 要确保平均情况下不亏本，需满足总保费收入 ≥ 期望总赔付金额，即：
$100x ≥ 2000$
解得 $x ≥ 20$
因此保险公司平均来说至少要向每人收取20元保险费才能确保不亏本。
【答案】
20
【知识点】
数学期望；概率实际应用
【点评】
本题是概率知识在商业保险场景的典型应用题，核心考察用数学期望衡量平均风险成本的思路，避免了学生直接按“必然失事”的极端情况计算的错误，能帮助学生建立用概率思维解决生活中风险决策类问题的意识。
【难度系数】
0.8
9.(2025·秦淮区月考)在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个,它们除颜色不同外,其余都相同,小颖做摸球试验,她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中搅匀,经过大量重复上述摸球的过程,发现摸到白球的频率稳定于0.25.
(1)估计摸到白球的概率接近
(2)计算盒子里白球约有多少个?
(3)如果要使摸到白球的概率为$\dfrac{2}{5}$,需要往盒子里再放入多少个白球?
(1)估计摸到白球的概率接近
0.25
.(2)计算盒子里白球约有多少个?
(3)如果要使摸到白球的概率为$\dfrac{2}{5}$,需要往盒子里再放入多少个白球?
答案
9.(1)0.25
(2)解:$60× 0.25=15$(个).
答:盒子里白球约有15个.
(3)解:设需要往盒子里再放入$x$个白球,
根据题意,得$\dfrac{15+x}{60+x}=\dfrac{2}{5}$,
解得$x=15$,
经检验,$x=15$为所列方程的解,且符合题意.
答:需要往盒子里再放入15个白球.
(2)解:$60× 0.25=15$(个).
答:盒子里白球约有15个.
(3)解:设需要往盒子里再放入$x$个白球,
根据题意,得$\dfrac{15+x}{60+x}=\dfrac{2}{5}$,
解得$x=15$,
经检验,$x=15$为所列方程的解,且符合题意.
答:需要往盒子里再放入15个白球.
解析
【分析】
这道题围绕用频率估计概率的知识点展开，解题思路可以分步梳理：
1. 第一问回忆大量重复试验的规律：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率，因此直接取题目给出的稳定频率即可。
2. 第二问已知总球数和估算出的白球概率，用总球数乘以白球概率就能直接算出白球的估算数量。
3. 第三问要调整摸到白球的概率，设新增白球数为未知数，注意放入白球后，白球总数和盒子里所有球的总数量都会同步增加，根据新的概率要求列出分式方程，求解后检验解是否符合实际意义就能得到结果。
【解析】
(1) 根据频率估计概率的原理，大量重复摸球试验后摸到白球的频率稳定于0.25，因此估计摸到白球的概率接近0.25。
(2) 已知盒子里球的总数量为60，摸到白球的概率为0.25，计算白球数量：
$60× 0.25=15$（个）
即盒子里白球约有15个。
(3) 设需要往盒子里再放入$x$个白球，此时白球总数为$(15+x)$个，盒子里球的总数量为$(60+x)$个，根据摸到白球的概率为$\dfrac{2}{5}$列方程：
$\dfrac{15+x}{60+x}=\dfrac{2}{5}$
交叉相乘展开得：$5(15+x)=2(60+x)$
化简计算：$75+5x=120+2x$，移项得$3x=45$，解得$x=15$
经检验，$x=15$是所列分式方程的解，且符合实际意义。
即需要往盒子里再放入15个白球。
【答案】
(1)0.25；(2)15个；(3)15个
【知识点】
频率估计概率，概率公式，分式方程应用
【点评】
本题属于概率模块的基础应用题，难度较低，核心易错点在第三问：部分同学会忽略放入白球后盒子的总球数也同步增加，仅给白球数量加x忘记给总球数加x，解题时要注意概率计算中分子分母的同步变化，解分式方程后必须检验，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.85
这道题围绕用频率估计概率的知识点展开，解题思路可以分步梳理：
1. 第一问回忆大量重复试验的规律：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率，因此直接取题目给出的稳定频率即可。
2. 第二问已知总球数和估算出的白球概率，用总球数乘以白球概率就能直接算出白球的估算数量。
3. 第三问要调整摸到白球的概率，设新增白球数为未知数，注意放入白球后，白球总数和盒子里所有球的总数量都会同步增加，根据新的概率要求列出分式方程，求解后检验解是否符合实际意义就能得到结果。
【解析】
(1) 根据频率估计概率的原理，大量重复摸球试验后摸到白球的频率稳定于0.25，因此估计摸到白球的概率接近0.25。
(2) 已知盒子里球的总数量为60，摸到白球的概率为0.25，计算白球数量：
$60× 0.25=15$（个）
即盒子里白球约有15个。
(3) 设需要往盒子里再放入$x$个白球，此时白球总数为$(15+x)$个，盒子里球的总数量为$(60+x)$个，根据摸到白球的概率为$\dfrac{2}{5}$列方程：
$\dfrac{15+x}{60+x}=\dfrac{2}{5}$
交叉相乘展开得：$5(15+x)=2(60+x)$
化简计算：$75+5x=120+2x$，移项得$3x=45$，解得$x=15$
经检验，$x=15$是所列分式方程的解，且符合实际意义。
即需要往盒子里再放入15个白球。
【答案】
(1)0.25；(2)15个；(3)15个
【知识点】
频率估计概率，概率公式，分式方程应用
【点评】
本题属于概率模块的基础应用题，难度较低，核心易错点在第三问：部分同学会忽略放入白球后盒子的总球数也同步增加，仅给白球数量加x忘记给总球数加x，解题时要注意概率计算中分子分母的同步变化，解分式方程后必须检验，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.85
