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1. 小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮的进球率为20%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（
A.小亮明天的进球率为10%
B.小亮明天每射球10次必进球2次
C.小亮明天有可能进球
D.小亮明天肯定进球
C
）A.小亮明天的进球率为10%
B.小亮明天每射球10次必进球2次
C.小亮明天有可能进球
D.小亮明天肯定进球
答案
1.C
解析
【分析】
这道题核心考查对概率概念的正确理解，解题时首先要明确：事件的概率是大量重复试验下得到的事件发生可能性的量化值，它仅能反映事件发生的可能性大小，不能决定单次试验里事件是否必然发生。我们可以逐个对四个选项进行校验排除：已知小亮过往统计的进球率为20%，说明他进球是随机事件，有20%的发生概率，既不是必然进球，也不是必然不进球，也不能保证固定射门多少次就一定进对应次数的球，据此逐一筛选错误选项即可得到正确结论。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
选项A：题干明确给出小亮以往比赛统计的进球率为20%，没有任何条件说明他明天的进球率会变为10%，该说法毫无依据，错误。
选项B：进球率20%是大量射门试验下的频率稳定值，单次的10次射门属于少量试验，结果是完全随机的，不可能保证“必进球2次”，该说法把概率直接等同于必然结果，错误。
选项C：小亮的进球率为20%，说明进球这个事件是有发生可能的随机事件，因此小亮明天有可能进球，该说法正确。
选项D：小亮进球率仅为20%，属于低概率随机事件，并非肯定会进球，该说法错误。
综上，正确选项是C。
【答案】
C
【知识点】
概率的意义，随机事件
【点评】
本题属于概率概念的基础辨析题，易错点是很多初学者会误将概率代表的可能性大小等同于必然发生的确定结果，要牢记概率只能描述事件发生的可能性高低，无法决定单次试验的最终结果。
【难度系数】
0.9
这道题核心考查对概率概念的正确理解，解题时首先要明确：事件的概率是大量重复试验下得到的事件发生可能性的量化值，它仅能反映事件发生的可能性大小，不能决定单次试验里事件是否必然发生。我们可以逐个对四个选项进行校验排除：已知小亮过往统计的进球率为20%，说明他进球是随机事件，有20%的发生概率，既不是必然进球，也不是必然不进球，也不能保证固定射门多少次就一定进对应次数的球，据此逐一筛选错误选项即可得到正确结论。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
选项A：题干明确给出小亮以往比赛统计的进球率为20%，没有任何条件说明他明天的进球率会变为10%，该说法毫无依据，错误。
选项B：进球率20%是大量射门试验下的频率稳定值，单次的10次射门属于少量试验，结果是完全随机的，不可能保证“必进球2次”，该说法把概率直接等同于必然结果，错误。
选项C：小亮的进球率为20%，说明进球这个事件是有发生可能的随机事件，因此小亮明天有可能进球，该说法正确。
选项D：小亮进球率仅为20%，属于低概率随机事件，并非肯定会进球，该说法错误。
综上，正确选项是C。
【答案】
C
【知识点】
概率的意义，随机事件
【点评】
本题属于概率概念的基础辨析题，易错点是很多初学者会误将概率代表的可能性大小等同于必然发生的确定结果，要牢记概率只能描述事件发生的可能性高低，无法决定单次试验的最终结果。
【难度系数】
0.9
2. (2025·秦淮区月考)数学课上,李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验:不透明袋子中有5个白球,3个红球和2个黄球,这些球除颜色外无其他差别. 从袋子中随机取出一个球,某种颜色的球出现的频率如图所示,则该球的颜色最有可能是（
A.黑球
B.黄球
C.红球
D.白球
B
）A.黑球
B.黄球
C.红球
D.白球
答案
2.B
解析
【分析】
这道题是利用频率估计概率的典型题目，解题思路可以分三步走：第一步先观察给出的频率折线图，找到随着试验次数不断增加，频率最终稳定的数值；第二步先算出袋子里球的总数量，再分别计算抽到不同颜色球的理论概率；第三步将折线图得到的稳定频率和各个理论概率做对比，最接近的那个对应的球的颜色就是答案。首先从图里能看到试验次数到6、7百次时，频率稳定在0.2附近，接下来计算总球数为5+3+2=10个，分别算出各颜色球的抽取概率，对比后就能得到结果。
【解析】
1. 计算袋中球的总个数：袋内共有5个白球+3个红球+2个黄球=10个球。
2. 分析折线图的变化趋势：随着试验次数逐步增大，频率逐渐趋于平稳，最终稳定在0.2附近，根据频率估计概率的原理，该抽取事件的概率约为0.2。
3. 分别计算抽取不同颜色球的理论概率：
袋中不存在黑球，抽到黑球的概率为0；
抽到黄球的概率为$\frac{2}{10}=0.2$；
抽到红球的概率为$\frac{3}{10}=0.3$；
抽到白球的概率为$\frac{5}{10}=0.5$。
将各概率和稳定频率0.2对比，黄球的抽取概率和稳定频率完全吻合，因此该球的颜色最有可能是黄球。
【答案】
B
【知识点】
频率估计概率，随机事件概率计算
【点评】
本题属于概率模块的基础题型，核心考察对“大量重复试验下，频率趋近于理论概率”这一规律的理解，解题门槛低，只需要准确读取折线图的稳定频率，再完成简单的概率计算比对即可得到正确结果，能帮助学生巩固频率和概率的对应关系。
【难度系数】
0.9
这道题是利用频率估计概率的典型题目，解题思路可以分三步走：第一步先观察给出的频率折线图，找到随着试验次数不断增加，频率最终稳定的数值；第二步先算出袋子里球的总数量，再分别计算抽到不同颜色球的理论概率；第三步将折线图得到的稳定频率和各个理论概率做对比，最接近的那个对应的球的颜色就是答案。首先从图里能看到试验次数到6、7百次时，频率稳定在0.2附近，接下来计算总球数为5+3+2=10个，分别算出各颜色球的抽取概率，对比后就能得到结果。
【解析】
1. 计算袋中球的总个数：袋内共有5个白球+3个红球+2个黄球=10个球。
2. 分析折线图的变化趋势：随着试验次数逐步增大，频率逐渐趋于平稳，最终稳定在0.2附近，根据频率估计概率的原理，该抽取事件的概率约为0.2。
3. 分别计算抽取不同颜色球的理论概率：
袋中不存在黑球，抽到黑球的概率为0；
抽到黄球的概率为$\frac{2}{10}=0.2$；
抽到红球的概率为$\frac{3}{10}=0.3$；
抽到白球的概率为$\frac{5}{10}=0.5$。
将各概率和稳定频率0.2对比，黄球的抽取概率和稳定频率完全吻合，因此该球的颜色最有可能是黄球。
【答案】
B
【知识点】
频率估计概率，随机事件概率计算
【点评】
本题属于概率模块的基础题型，核心考察对“大量重复试验下，频率趋近于理论概率”这一规律的理解，解题门槛低，只需要准确读取折线图的稳定频率，再完成简单的概率计算比对即可得到正确结果，能帮助学生巩固频率和概率的对应关系。
【难度系数】
0.9
3. (2025·惠山区三模)在一个不透明的盒子中装有$a$个除颜色外完全相同的球,这$a$个球中只有4个红球,若每次将球充分搅匀后,任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后,发现摸到红球的频率稳定在20%左右,则$a$的值大约为
20
.答案
3.20
解析
【分析】
这道题的核心解题思路是利用大量重复试验下频率趋近于概率的规律求解总球数。首先题目给出大量重复摸球后摸到红球的频率稳定在20%，根据频率估计概率的原理，这个稳定的频率就可以近似当作摸到红球的概率。已知红球总数是4个，结合古典概型的概率计算公式：摸到红球的概率=红球个数÷盒子内球的总个数a，就能列出关于a的方程，求解后即可得到a的数值。
【解析】
解：
∵ 经过大量重复试验，摸到红球的频率稳定在20%左右，
∴ 可估计摸到红球的概率为20%。
根据概率计算公式代入已知条件列方程：
$\frac{4}{a}=20\%$
将20%转化为0.2，计算得：
$a=\frac{4}{0.2}=20$
经检验，a=20是该分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
频率估计概率，概率公式
【点评】
本题是概率模块的基础题型，核心考察频率和概率的对应关系，解题门槛低，只需要明确大量重复试验下稳定频率可等价为事件概率，结合基础概率公式就能快速算出结果，几乎没有复杂的推导步骤。
【难度系数】
0.9
这道题的核心解题思路是利用大量重复试验下频率趋近于概率的规律求解总球数。首先题目给出大量重复摸球后摸到红球的频率稳定在20%，根据频率估计概率的原理，这个稳定的频率就可以近似当作摸到红球的概率。已知红球总数是4个，结合古典概型的概率计算公式：摸到红球的概率=红球个数÷盒子内球的总个数a，就能列出关于a的方程，求解后即可得到a的数值。
【解析】
解：
∵ 经过大量重复试验，摸到红球的频率稳定在20%左右，
∴ 可估计摸到红球的概率为20%。
根据概率计算公式代入已知条件列方程：
$\frac{4}{a}=20\%$
将20%转化为0.2，计算得：
$a=\frac{4}{0.2}=20$
经检验，a=20是该分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
频率估计概率，概率公式
【点评】
本题是概率模块的基础题型，核心考察频率和概率的对应关系，解题门槛低，只需要明确大量重复试验下稳定频率可等价为事件概率，结合基础概率公式就能快速算出结果，几乎没有复杂的推导步骤。
【难度系数】
0.9
4.(2025·涟水县期中)涟水县“安全出行，幸盔有你”的安全教育活动在持续开展. 为了解我县居民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续一周同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表：
(1)表格中$a=$
(2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴头盔的概率为
(3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有2000辆，请估计其中佩戴了头盔的骑行者有多少人？
(1)表格中$a=$
0.96
；(2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴头盔的概率为
0.96
；(结果精确到0.01)(3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有2000辆，请估计其中佩戴了头盔的骑行者有多少人？
答案
4.(1)0.96
(2)0.96
(3)解:$2000× 0.96=1920$(人).
答:估计其中佩戴了头盔的骑行者有1920人.
(2)0.96
(3)解:$2000× 0.96=1920$(人).
答:估计其中佩戴了头盔的骑行者有1920人.
解析
【分析】
这道题围绕统计中频率与概率的应用展开，解题思路如下：
1. 第一问求a，直接依据频率的定义：频率=符合条件的频数÷总数量，代入最后一组的佩戴头盔人数和对应的电动自行车总数，就能算出a的数值。
2. 第二问估计佩戴头盔的概率，根据频率估计概率的核心原理：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率。观察表格里所有频率都在0.96附近波动，因此取这个稳定值作为概率的估计值。
3. 第三问估算总佩戴人数，利用样本估计总体的思想，用调查的总电动自行车数量乘之前得到的佩戴头盔的概率，即可算出对应的估算人数。
【解析】
(1) 代入频率计算公式：
$a=\frac{自觉佩戴头盔人数}{经过路口的电动自行车数量}=\frac{480}{500}=0.96$
(2) 观察表格中全部7组的频率数据，发现频率始终在0.96附近小幅波动，根据频率估计概率的原理，可估计经过该路口的电动自行车骑行者佩戴头盔的概率为0.96。
(3) 用总车辆数乘以佩戴头盔的概率计算：
$2000×0.96=1920$（人）
答：估计其中佩戴了头盔的骑行者有1920人。
【答案】
(1) 0.96；(2) 0.96；(3) 1920人
【知识点】
频率计算，频率估计概率，样本估计总体
【点评】
本题是结合生活场景的统计基础应用题，难度较低，重点考察学生对频率和概率关系的理解，引导学生掌握大量重复试验下频率趋近于概率的规律，学会用样本特征估算总体的对应数量，贴合实际应用场景。
【难度系数】
0.9
这道题围绕统计中频率与概率的应用展开，解题思路如下：
1. 第一问求a，直接依据频率的定义：频率=符合条件的频数÷总数量，代入最后一组的佩戴头盔人数和对应的电动自行车总数，就能算出a的数值。
2. 第二问估计佩戴头盔的概率，根据频率估计概率的核心原理：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率。观察表格里所有频率都在0.96附近波动，因此取这个稳定值作为概率的估计值。
3. 第三问估算总佩戴人数，利用样本估计总体的思想，用调查的总电动自行车数量乘之前得到的佩戴头盔的概率，即可算出对应的估算人数。
【解析】
(1) 代入频率计算公式：
$a=\frac{自觉佩戴头盔人数}{经过路口的电动自行车数量}=\frac{480}{500}=0.96$
(2) 观察表格中全部7组的频率数据，发现频率始终在0.96附近小幅波动，根据频率估计概率的原理，可估计经过该路口的电动自行车骑行者佩戴头盔的概率为0.96。
(3) 用总车辆数乘以佩戴头盔的概率计算：
$2000×0.96=1920$（人）
答：估计其中佩戴了头盔的骑行者有1920人。
【答案】
(1) 0.96；(2) 0.96；(3) 1920人
【知识点】
频率计算，频率估计概率，样本估计总体
【点评】
本题是结合生活场景的统计基础应用题，难度较低，重点考察学生对频率和概率关系的理解，引导学生掌握大量重复试验下频率趋近于概率的规律，学会用样本特征估算总体的对应数量，贴合实际应用场景。
【难度系数】
0.9
