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7. 如图,用两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏,若其中一个转出红色,另一个转出蓝色可配成紫色,那么可配成紫色的概率是
$\dfrac{1}{2}$
.答案
7.$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
要计算配成紫色的概率，首先明确配紫色的要求是两个转盘一个转出红色、另一个转出蓝色，因此可以分两类情况讨论：第一类是左侧转盘转出红色、右侧转盘转出蓝色；第二类是左侧转盘转出蓝色、右侧转盘转出红色。先根据几何概型的规则，分别算出两个转盘各自转出红、蓝的概率，再利用独立事件概率乘法公式分别算出两类情况的概率，最后将互斥的两类情况概率相加，即可得到总概率。
【解析】
1. 计算两个转盘转出不同颜色的概率
左侧转盘：红色、蓝色区域的圆心角均为180°，因此：
$P(\mathrm{左红})=\frac{180°}{360°}=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{左蓝})=\frac{180°}{360°}=\frac{1}{2}$
右侧转盘：红色区域圆心角为120°，蓝色区域圆心角为$360°-120°=240°$，因此：
$P(\mathrm{右红})=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$，$P(\mathrm{右蓝})=\frac{240°}{360°}=\frac{2}{3}$
2. 计算配成紫色的总概率
配成紫色包含两个互斥的独立事件组合：
① 左侧转出红色且右侧转出蓝色：概率为 $P_1 = P(\mathrm{左红}) × P(\mathrm{右蓝}) = \frac{1}{2} × \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
② 左侧转出蓝色且右侧转出红色：概率为 $P_2 = P(\mathrm{左蓝}) × P(\mathrm{右红}) = \frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
总概率 $P = P_1 + P_2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
几何概型，概率加法，概率乘法
【点评】
本题是经典的配紫色概率问题，易错点是遗漏其中一类“一红一蓝”的组合，只计算单一转盘出红另一转盘出蓝的情况，也可以通过画树状图、列表枚举所有等可能结果的方法验证最终结果。
【难度系数】
0.6
要计算配成紫色的概率，首先明确配紫色的要求是两个转盘一个转出红色、另一个转出蓝色，因此可以分两类情况讨论：第一类是左侧转盘转出红色、右侧转盘转出蓝色；第二类是左侧转盘转出蓝色、右侧转盘转出红色。先根据几何概型的规则，分别算出两个转盘各自转出红、蓝的概率，再利用独立事件概率乘法公式分别算出两类情况的概率，最后将互斥的两类情况概率相加，即可得到总概率。
【解析】
1. 计算两个转盘转出不同颜色的概率
左侧转盘：红色、蓝色区域的圆心角均为180°，因此：
$P(\mathrm{左红})=\frac{180°}{360°}=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{左蓝})=\frac{180°}{360°}=\frac{1}{2}$
右侧转盘：红色区域圆心角为120°，蓝色区域圆心角为$360°-120°=240°$，因此：
$P(\mathrm{右红})=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$，$P(\mathrm{右蓝})=\frac{240°}{360°}=\frac{2}{3}$
2. 计算配成紫色的总概率
配成紫色包含两个互斥的独立事件组合：
① 左侧转出红色且右侧转出蓝色：概率为 $P_1 = P(\mathrm{左红}) × P(\mathrm{右蓝}) = \frac{1}{2} × \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
② 左侧转出蓝色且右侧转出红色：概率为 $P_2 = P(\mathrm{左蓝}) × P(\mathrm{右红}) = \frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
总概率 $P = P_1 + P_2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
几何概型，概率加法，概率乘法
【点评】
本题是经典的配紫色概率问题，易错点是遗漏其中一类“一红一蓝”的组合，只计算单一转盘出红另一转盘出蓝的情况，也可以通过画树状图、列表枚举所有等可能结果的方法验证最终结果。
【难度系数】
0.6
8. 某省实行新高考“$3+1+2$”方案. “3”是指语文、数学、外语三门学科为必考科目，“1”是指考生在物理和历史两门学科里面必须选一科，“2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门学科中选择两科. 这样，新高考方案中最多出现
12
种考试科目组.答案
8.12
解析
【分析】
这道题是典型的分步计数应用问题，解题思路可以按以下步骤梳理：
1. 首先排除固定不变的部分：语文、数学、外语是必考科目，所有考生都必须选，不会带来不同的科目组差异，因此不需要计入计数过程。
2. 接下来拆分可选的两个独立选择环节：第一个环节完成“1”的选择，也就是从物理、历史2门里选1门，直接得到这个环节的可选数量。
3. 第二个环节完成“2”的选择，从剩下的4门科目里选2门，这里选的两科没有顺序要求，属于组合问题，用组合数计算该环节的选法数。
4. 最后根据分步乘法计数原理，把两个独立环节的选法数相乘，就能得到总的不同考试科目组的数量。
【解析】
解：
① 计算“1”环节的选法：考生在物理、历史2门学科中选1门，选法总数为：
$C_2^1 = 2$ 种
② 计算“2”环节的选法：考生在化学、生物、思想政治、地理共4门学科中任选2门，选科无先后顺序，属于组合问题，选法总数为：
$C_4^2 = \frac{4×3}{2×1} = 6$ 种
③ 根据分步乘法计数原理，将两个环节的选法数相乘，得到总的考试科目组数量为：
$2×6 = 12$ 种
【答案】
12
【知识点】
分步乘法计数原理，组合数计算
【点评】
本题结合新高考选科的真实场景出题，属于计数原理的基础应用题，易错点是误将选2科的组合问题当成排列问题多乘倍数，或是错误将必考的三门科目计入计数，整体考察学生对基础分步计数逻辑的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
这道题是典型的分步计数应用问题，解题思路可以按以下步骤梳理：
1. 首先排除固定不变的部分：语文、数学、外语是必考科目，所有考生都必须选，不会带来不同的科目组差异，因此不需要计入计数过程。
2. 接下来拆分可选的两个独立选择环节：第一个环节完成“1”的选择，也就是从物理、历史2门里选1门，直接得到这个环节的可选数量。
3. 第二个环节完成“2”的选择，从剩下的4门科目里选2门，这里选的两科没有顺序要求，属于组合问题，用组合数计算该环节的选法数。
4. 最后根据分步乘法计数原理，把两个独立环节的选法数相乘，就能得到总的不同考试科目组的数量。
【解析】
解：
① 计算“1”环节的选法：考生在物理、历史2门学科中选1门，选法总数为：
$C_2^1 = 2$ 种
② 计算“2”环节的选法：考生在化学、生物、思想政治、地理共4门学科中任选2门，选科无先后顺序，属于组合问题，选法总数为：
$C_4^2 = \frac{4×3}{2×1} = 6$ 种
③ 根据分步乘法计数原理，将两个环节的选法数相乘，得到总的考试科目组数量为：
$2×6 = 12$ 种
【答案】
12
【知识点】
分步乘法计数原理，组合数计算
【点评】
本题结合新高考选科的真实场景出题，属于计数原理的基础应用题，易错点是误将选2科的组合问题当成排列问题多乘倍数，或是错误将必考的三门科目计入计数，整体考察学生对基础分步计数逻辑的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
9. (2025·赣榆区模拟)“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指 A. 指南针、B. 造纸术、C. 火药、D. 印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好.
(1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率；
(2)小强和小刚玩游戏，在(1)的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由.
(1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率；
(2)小强和小刚玩游戏，在(1)的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由.
答案
9.解:(1)画树状图如答图所示.
共有12种等可能的结果,其中两人抽到的卡片恰好是"指南针"和"造纸术"的结果有2种,
所以两人抽到的卡片恰好是"指南针"和"造纸术"的概率为$\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
(2)公平,由树状图知,共有12种等可能的结果,其中两人抽到的卡片有指南针的有6种结果,没有指南针的有6种结果,
所以小强胜的概率为$\dfrac{1}{2}$,小刚胜的概率为$\dfrac{1}{2}$,
所以此游戏公平.
解析
【分析】
这是一道不放回抽取的古典概型概率题，解题时首先要明确规则：第一次抽完卡片不放回，第二次从剩余卡片中抽取。第一问我们可以通过画树状图的方法，不重不漏地列举出两次抽取的所有等可能结果，再统计出满足“两人抽到的恰好是指南针和造纸术”的结果数量，用符合条件的结果数除以总结果数就能算出对应概率。第二问判断游戏公平性，只需要分别统计出“抽到的卡片包含指南针”和“不包含指南针”的结果数，计算两人各自的获胜概率，若两个概率相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
(1) 把四张卡片分别记为B（造纸术）、A（指南针）、C（火药）、D（印刷术），通过画树状图梳理所有抽取情况：第一次抽取有4种选择，第二次从剩下的3张卡片中抽取，总共得到12种等可能的结果。其中满足“两人抽到的卡片恰好是指南针和造纸术”的情况共2种：即小强抽造纸术、小刚抽指南针，以及小强抽指南针、小刚抽造纸术。代入概率公式计算可得对应概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(2) 从全部12种等可能结果中统计：两人抽到的卡片包含指南针的结果共有6种，不包含指南针的结果也有6种。因此小强获胜的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，小刚获胜的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，两人获胜概率相等，因此游戏是公平的。
【答案】
(1) 画树状图如答图所示.
共有12种等可能的结果,其中两人抽到的卡片恰好是"指南针"和"造纸术"的结果有2种,
所以两人抽到的卡片恰好是"指南针"和"造纸术"的概率为$\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
(2)公平,由树状图知,共有12种等可能的结果,其中两人抽到的卡片有指南针的有6种结果,没有指南针的有6种结果,
所以小强胜的概率为$\dfrac{1}{2}$,小刚胜的概率为$\dfrac{1}{2}$,
所以此游戏公平.
【知识点】
树状图求概率，游戏公平性判定，古典概型
【点评】
本题是概率模块的基础常考题，重点考察不放回抽样的概率计算，用树状图可以清晰梳理所有等可能结果，避免出现漏算、重复计数的问题；判断游戏公平性的核心就是比较双方获胜的概率是否相等，整体难度不高，只要仔细统计结果数就能得到正确答案。
【难度系数】
0.7
这是一道不放回抽取的古典概型概率题，解题时首先要明确规则：第一次抽完卡片不放回，第二次从剩余卡片中抽取。第一问我们可以通过画树状图的方法，不重不漏地列举出两次抽取的所有等可能结果，再统计出满足“两人抽到的恰好是指南针和造纸术”的结果数量，用符合条件的结果数除以总结果数就能算出对应概率。第二问判断游戏公平性，只需要分别统计出“抽到的卡片包含指南针”和“不包含指南针”的结果数，计算两人各自的获胜概率，若两个概率相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
(1) 把四张卡片分别记为B（造纸术）、A（指南针）、C（火药）、D（印刷术），通过画树状图梳理所有抽取情况：第一次抽取有4种选择，第二次从剩下的3张卡片中抽取，总共得到12种等可能的结果。其中满足“两人抽到的卡片恰好是指南针和造纸术”的情况共2种：即小强抽造纸术、小刚抽指南针，以及小强抽指南针、小刚抽造纸术。代入概率公式计算可得对应概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(2) 从全部12种等可能结果中统计：两人抽到的卡片包含指南针的结果共有6种，不包含指南针的结果也有6种。因此小强获胜的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，小刚获胜的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，两人获胜概率相等，因此游戏是公平的。
【答案】
(1) 画树状图如答图所示.
共有12种等可能的结果,其中两人抽到的卡片恰好是"指南针"和"造纸术"的结果有2种,
所以两人抽到的卡片恰好是"指南针"和"造纸术"的概率为$\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
(2)公平,由树状图知,共有12种等可能的结果,其中两人抽到的卡片有指南针的有6种结果,没有指南针的有6种结果,
所以小强胜的概率为$\dfrac{1}{2}$,小刚胜的概率为$\dfrac{1}{2}$,
所以此游戏公平.
【知识点】
树状图求概率，游戏公平性判定，古典概型
【点评】
本题是概率模块的基础常考题，重点考察不放回抽样的概率计算，用树状图可以清晰梳理所有等可能结果，避免出现漏算、重复计数的问题；判断游戏公平性的核心就是比较双方获胜的概率是否相等，整体难度不高，只要仔细统计结果数就能得到正确答案。
【难度系数】
0.7
10. 小国同学的父亲参加旅游团到某地旅游，准备买某种礼物送给小国. 据了解，沿旅游线路依次有 A,B,C 三个地点可以买到此种礼物，其质量相当，价格各不相同，但不知哪家更便宜. 由于时间关系，随团旅游车不会掉头行驶.
(1)若到 A 处就购买，写出买到最低价格礼物的概率；
(2)小国同学的父亲认为，如果到 A 处不买，到 B 处发现比 A 处便宜就马上购买，否则到 C 处购买，这样更有希望买到最低价格的礼物. 这个想法是否正确？试通过树状图分析说明.
(1)若到 A 处就购买，写出买到最低价格礼物的概率；
(2)小国同学的父亲认为，如果到 A 处不买，到 B 处发现比 A 处便宜就马上购买，否则到 C 处购买，这样更有希望买到最低价格的礼物. 这个想法是否正确？试通过树状图分析说明.
答案
10.解:(1)$\because$在每一处都有价格最低,最高,较高的可能,
$\therefore P$(A处买到最低价格礼物)$=\dfrac{1}{3}$.
(2)画出树状图如答图.
由树状图可知,$P$(购到最低价格礼物)$=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$,
$\because \dfrac{1}{2}＞\dfrac{1}{3}$,$\therefore$他的想法是正确的.
解析
【分析】
第一问：已知A、B、C三个地点的礼物价格互不相同，最低价格必然出现在三个地点中的某一处，且出现在任意一个地点的可能性完全均等，总共有3种等可能的结果，A处买到最低价仅为其中1种，直接用古典概型公式即可算出对应概率。
第二问：要验证该购买策略是否能提升买到最低价的概率，首先将三个不同价格的所有全排列情况全部枚举出来，三个不同价格的全排列共6种等可能结果，按照题目给出的规则：A处不买，若B比A便宜就买B，否则去C处购买，逐一判断每种排列下是否能买到最低价格，统计符合要求的结果数计算出对应概率，再和第一问的1/3比较大小即可验证结论，用树状图可以清晰不遗漏地列出所有排列情况，避免枚举出错。
【解析】
(1) 由于三个地点的价格互不相同，最低价格出现在A、B、C三个地点是等可能的，共3种等可能的情况，其中在A处买到最低价格的情况只有1种，因此：
$P(\mathrm{A处买到最低价格礼物})=\frac{1}{3}$
(2) 设三个地点的价格从低到高依次标记为1（最低）、2（中等）、3（最高），通过树状图可枚举A、B、C三处价格的所有排列情况，共6种等可能的排列：(1,2,3)、(1,3,2)、(2,1,3)、(2,3,1)、(3,1,2)、(3,2,1)。
按照给定的购买策略逐一判断：
排列(1,2,3)：A处价格1，B处价格2＞1，去C处购买，买到价格3，未拿到最低价；
排列(1,3,2)：A处价格1，B处价格3＞1，去C处购买，买到价格2，未拿到最低价；
排列(2,1,3)：A处价格2，B处价格1＜2，在B处购买，买到价格1，拿到最低价；
排列(2,3,1)：A处价格2，B处价格3＞2，去C处购买，买到价格1，拿到最低价；
排列(3,1,2)：A处价格3，B处价格1＜3，在B处购买，买到价格1，拿到最低价；
排列(3,2,1)：A处价格3，B处价格2＜3，在B处购买，买到价格2，未拿到最低价。
能买到最低价格礼物的情况共3种，因此：
$P(\mathrm{购到最低价格礼物})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
由于$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，说明该策略买到最低价的概率比直接在A处购买更高，因此小国父亲的想法是正确的。
【答案】
(1) $P(\mathrm{A处买到最低价格礼物})=\dfrac{1}{3}$；
(2) 他的想法是正确的，树状图如下：
由树状图可知，$P(\mathrm{购到最低价格礼物})=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$，$\because \dfrac{1}{2}＞\dfrac{1}{3}$，$\therefore$他的想法是正确的。
【知识点】
古典概型，树状图求概率
【点评】
本题结合旅游购物的生活化场景考查概率的实际应用，第一问难度较低，第二问需要严格按照给定策略枚举所有等可能结果，容易出现漏数符合条件情况的错误，通过树状图可以做到不重不漏枚举所有排列，验证了合理决策可以提升目标事件的发生概率，能帮助学生体会概率在生活决策中的实用价值。
【难度系数】
0.6
第一问：已知A、B、C三个地点的礼物价格互不相同，最低价格必然出现在三个地点中的某一处，且出现在任意一个地点的可能性完全均等，总共有3种等可能的结果，A处买到最低价仅为其中1种，直接用古典概型公式即可算出对应概率。
第二问：要验证该购买策略是否能提升买到最低价的概率，首先将三个不同价格的所有全排列情况全部枚举出来，三个不同价格的全排列共6种等可能结果，按照题目给出的规则：A处不买，若B比A便宜就买B，否则去C处购买，逐一判断每种排列下是否能买到最低价格，统计符合要求的结果数计算出对应概率，再和第一问的1/3比较大小即可验证结论，用树状图可以清晰不遗漏地列出所有排列情况，避免枚举出错。
【解析】
(1) 由于三个地点的价格互不相同，最低价格出现在A、B、C三个地点是等可能的，共3种等可能的情况，其中在A处买到最低价格的情况只有1种，因此：
$P(\mathrm{A处买到最低价格礼物})=\frac{1}{3}$
(2) 设三个地点的价格从低到高依次标记为1（最低）、2（中等）、3（最高），通过树状图可枚举A、B、C三处价格的所有排列情况，共6种等可能的排列：(1,2,3)、(1,3,2)、(2,1,3)、(2,3,1)、(3,1,2)、(3,2,1)。
按照给定的购买策略逐一判断：
排列(1,2,3)：A处价格1，B处价格2＞1，去C处购买，买到价格3，未拿到最低价；
排列(1,3,2)：A处价格1，B处价格3＞1，去C处购买，买到价格2，未拿到最低价；
排列(2,1,3)：A处价格2，B处价格1＜2，在B处购买，买到价格1，拿到最低价；
排列(2,3,1)：A处价格2，B处价格3＞2，去C处购买，买到价格1，拿到最低价；
排列(3,1,2)：A处价格3，B处价格1＜3，在B处购买，买到价格1，拿到最低价；
排列(3,2,1)：A处价格3，B处价格2＜3，在B处购买，买到价格2，未拿到最低价。
能买到最低价格礼物的情况共3种，因此：
$P(\mathrm{购到最低价格礼物})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
由于$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，说明该策略买到最低价的概率比直接在A处购买更高，因此小国父亲的想法是正确的。
【答案】
(1) $P(\mathrm{A处买到最低价格礼物})=\dfrac{1}{3}$；
(2) 他的想法是正确的，树状图如下：
由树状图可知，$P(\mathrm{购到最低价格礼物})=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$，$\because \dfrac{1}{2}＞\dfrac{1}{3}$，$\therefore$他的想法是正确的。
【知识点】
古典概型，树状图求概率
【点评】
本题结合旅游购物的生活化场景考查概率的实际应用，第一问难度较低，第二问需要严格按照给定策略枚举所有等可能结果，容易出现漏数符合条件情况的错误，通过树状图可以做到不重不漏枚举所有排列，验证了合理决策可以提升目标事件的发生概率，能帮助学生体会概率在生活决策中的实用价值。
【难度系数】
0.6
