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1. (2025·南通月考)$A,B,C$三名同学玩“抢凳子”游戏.他们所站的位置围成一个$△ ABC$,在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为保证游戏公平,则凳子应放的最适当的位置是在$△ ABC$的（
A.三边垂直平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三个内角角平分线的交点
D.三边高的交点
A
）A.三边垂直平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三个内角角平分线的交点
D.三边高的交点
答案
1.A
解析
【分析】
要保证游戏公平，核心要求是凳子到A、B、C三名同学的距离完全相等，这样三人跑动的路程一致，游戏才公平。接下来我们只需要找出△ABC中，到三个顶点距离相等的点对应的是什么线的交点即可：结合线段垂直平分线的性质，逐一匹配四个选项对应的三角形特殊点的性质，就能快速得到正确答案。
【解析】
解：要保证游戏公平，需凳子的位置点P满足PA=PB=PC，对各选项逐一分析：
1. 选项A：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三边垂直平分线的交点，到A、B的距离相等，到B、C的距离相等，到A、C的距离相等，即PA=PB=PC，完全符合要求；
2. 选项B：三边中线的交点是三角形的重心，性质为重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
3. 选项C：三个内角角平分线的交点是三角形的内心，性质为到三角形三边的距离相等，并非到三个顶点的距离相等，不符合要求；
4. 选项D：三边高的交点是三角形的垂心，没有到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
因此答案选A。
【答案】A
【知识点】
垂直平分线性质，三角形特殊点辨析
【点评】
本题结合生活中的抢凳子游戏场景，考察三角形不同特殊点的性质辨析，易错点是混淆内心（角平分线交点）到三边等距、外心（垂直平分线交点）到三顶点等距的性质，解题的关键是先把“游戏公平”的实际要求转化为数学上“点到三角形三个顶点距离相等”的条件，再对应匹配性质即可快速选出答案。
【难度系数】
0.8
要保证游戏公平，核心要求是凳子到A、B、C三名同学的距离完全相等，这样三人跑动的路程一致，游戏才公平。接下来我们只需要找出△ABC中，到三个顶点距离相等的点对应的是什么线的交点即可：结合线段垂直平分线的性质，逐一匹配四个选项对应的三角形特殊点的性质，就能快速得到正确答案。
【解析】
解：要保证游戏公平，需凳子的位置点P满足PA=PB=PC，对各选项逐一分析：
1. 选项A：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三边垂直平分线的交点，到A、B的距离相等，到B、C的距离相等，到A、C的距离相等，即PA=PB=PC，完全符合要求；
2. 选项B：三边中线的交点是三角形的重心，性质为重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
3. 选项C：三个内角角平分线的交点是三角形的内心，性质为到三角形三边的距离相等，并非到三个顶点的距离相等，不符合要求；
4. 选项D：三边高的交点是三角形的垂心，没有到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
因此答案选A。
【答案】A
【知识点】
垂直平分线性质，三角形特殊点辨析
【点评】
本题结合生活中的抢凳子游戏场景，考察三角形不同特殊点的性质辨析，易错点是混淆内心（角平分线交点）到三边等距、外心（垂直平分线交点）到三顶点等距的性质，解题的关键是先把“游戏公平”的实际要求转化为数学上“点到三角形三个顶点距离相等”的条件，再对应匹配性质即可快速选出答案。
【难度系数】
0.8
2. 小颖、小明两人做游戏,掷一枚硬币,双方约定:正面朝上小颖胜,反面朝上小明胜,则这个游戏 （
A.公平
B.对小颖有利
C.对小明有利
D.无法确定
A
）A.公平
B.对小颖有利
C.对小明有利
D.无法确定
答案
2.A
解析
【分析】
要判断这个游戏是否公平，核心思路是比较两人获胜的概率是否相等：第一步先确定掷一枚硬币所有等可能的结果，第二步分别计算小颖、小明各自获胜对应的概率，第三步对比两个概率的大小，若概率相等则游戏公平，若概率不相等则对概率更高的一方有利。本题中掷硬币仅会出现正面朝上、反面朝上两种等可能的结果，很容易算出两人获胜的概率均为1/2，因此可以直接判断游戏公平。
【解析】
解：掷一枚均匀的硬币，所有等可能的结果共2种：正面朝上、反面朝上。
其中小颖获胜（正面朝上）的结果有1种，因此小颖获胜的概率为：
$P_{小颖胜}=\frac{1}{2}$
小明获胜（反面朝上）的结果有1种，因此小明获胜的概率为：
$P_{小明胜}=\frac{1}{2}$
两人获胜的概率完全相等，因此这个游戏是公平的。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率，游戏公平性判断
【点评】
本题属于概率模块的基础应用题，考察对游戏公平性核心判断逻辑的掌握，只要明确“双方获胜概率相等时游戏公平”的规则，结合抛硬币的基础场景即可快速得出结论，难度较低，不易出错。
【难度系数】
0.9
要判断这个游戏是否公平，核心思路是比较两人获胜的概率是否相等：第一步先确定掷一枚硬币所有等可能的结果，第二步分别计算小颖、小明各自获胜对应的概率，第三步对比两个概率的大小，若概率相等则游戏公平，若概率不相等则对概率更高的一方有利。本题中掷硬币仅会出现正面朝上、反面朝上两种等可能的结果，很容易算出两人获胜的概率均为1/2，因此可以直接判断游戏公平。
【解析】
解：掷一枚均匀的硬币，所有等可能的结果共2种：正面朝上、反面朝上。
其中小颖获胜（正面朝上）的结果有1种，因此小颖获胜的概率为：
$P_{小颖胜}=\frac{1}{2}$
小明获胜（反面朝上）的结果有1种，因此小明获胜的概率为：
$P_{小明胜}=\frac{1}{2}$
两人获胜的概率完全相等，因此这个游戏是公平的。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率，游戏公平性判断
【点评】
本题属于概率模块的基础应用题，考察对游戏公平性核心判断逻辑的掌握，只要明确“双方获胜概率相等时游戏公平”的规则，结合抛硬币的基础场景即可快速得出结论，难度较低，不易出错。
【难度系数】
0.9
3. (2025·灌南县月考)甲、乙两人玩抽扑克牌游戏,游戏规则是:从牌面数字分别为5,6,7的三张扑克牌中,随机抽取一张,放回后,再随机抽取一张. 若所抽的两张牌面数字的积为奇数,则甲获胜;若所抽的两张牌面数字的积为偶数,则乙获胜. 这个游戏
不公平
.(填“公平”或“不公平”)答案
3.不公平
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，核心是比较甲、乙两人获胜的概率是否相等。首先明确该试验是有放回的两次抽取，所有结果都是等可能的，我们可以先列举出全部的等可能结果，再分别统计两张牌乘积为奇数、偶数的结果数量，计算出两人各自的获胜概率，对比概率是否相等即可得出结论。同时可以借助“只有两个数全为奇数时乘积才是奇数，只要有一个数为偶数乘积就为偶数”的规律，快速筛选符合条件的结果，提升解题效率。
【解析】
解：该试验为有放回的抽取，所有等可能出现的结果共有9种，分别为：
(5,5)、(5,6)、(5,7)、(6,5)、(6,6)、(6,7)、(7,5)、(7,6)、(7,7)。
其中两张牌面数字乘积为奇数的情况，只有两次抽取的数字均为奇数时才成立，符合条件的结果为(5,5)、(5,7)、(7,5)、(7,7)，共4种，因此甲获胜的概率$P_甲=\frac{4}{9}$。
剩余的5种结果对应的乘积均为偶数，因此乙获胜的概率$P_乙=\frac{5}{9}$。
由于$\frac{4}{9} ≠ \frac{5}{9}$，即甲乙两人获胜的概率不相等，因此这个游戏不公平。
【答案】
不公平
【知识点】
游戏公平性判断；列举法求概率
【点评】
本题属于概率的基础应用题型，解题关键是牢记游戏公平性的判定规则：双方获胜概率相等时游戏才公平。本题需要注意抽取是有放回的操作，避免误按不放回试验统计结果导致计算错误。
【难度系数】
0.7
要判断游戏是否公平，核心是比较甲、乙两人获胜的概率是否相等。首先明确该试验是有放回的两次抽取，所有结果都是等可能的，我们可以先列举出全部的等可能结果，再分别统计两张牌乘积为奇数、偶数的结果数量，计算出两人各自的获胜概率，对比概率是否相等即可得出结论。同时可以借助“只有两个数全为奇数时乘积才是奇数，只要有一个数为偶数乘积就为偶数”的规律，快速筛选符合条件的结果，提升解题效率。
【解析】
解：该试验为有放回的抽取，所有等可能出现的结果共有9种，分别为：
(5,5)、(5,6)、(5,7)、(6,5)、(6,6)、(6,7)、(7,5)、(7,6)、(7,7)。
其中两张牌面数字乘积为奇数的情况，只有两次抽取的数字均为奇数时才成立，符合条件的结果为(5,5)、(5,7)、(7,5)、(7,7)，共4种，因此甲获胜的概率$P_甲=\frac{4}{9}$。
剩余的5种结果对应的乘积均为偶数，因此乙获胜的概率$P_乙=\frac{5}{9}$。
由于$\frac{4}{9} ≠ \frac{5}{9}$，即甲乙两人获胜的概率不相等，因此这个游戏不公平。
【答案】
不公平
【知识点】
游戏公平性判断；列举法求概率
【点评】
本题属于概率的基础应用题型，解题关键是牢记游戏公平性的判定规则：双方获胜概率相等时游戏才公平。本题需要注意抽取是有放回的操作，避免误按不放回试验统计结果导致计算错误。
【难度系数】
0.7
4.(2025·连云港一模)现有两组相同的扑克牌,每组两张牌的牌面数字分别为2和3,从每组牌中各随机摸出一张牌.若摸到的牌面数字相同,则小红胜,否则小明胜,请用列表格或画树状图的方法说明这个游戏是否公平.
答案
4.解:游戏公平,理由如下:
根据题意画树状图如答图,
数字相同的情况有2种,则P(小红获胜)=P(数字相同)$=\dfrac{1}{2}$,
P(小明获胜)=P(数字不同)$=\dfrac{1}{2}$,
所以P(小红获胜)=P(小明获胜),即这个游戏公平.
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，核心是比较小红和小明两人获胜的概率是否相等。首先按照题目要求，我们可以通过画树状图的方式，把从两组牌中各摸一张的所有等可能结果全部枚举出来，之后分别统计“牌面数字相同”和“牌面数字不同”的结果数量，再根据概率公式分别计算两人的获胜概率，最后对比两个概率的大小，若相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
我们通过画树状图列举所有等可能的结果：
1. 第一组牌有2、3两种可能的抽取结果，作为树状图的第一层分支；
2. 无论第一组抽到的是2还是3，第二组牌都有2、3两种可能的抽取结果，对应第一层的每个节点延伸出第二层分支。
由此得到所有4种等可能的抽取结果分别为：(2,2)、(2,3)、(3,2)、(3,3)。
其中牌面数字相同的结果共有2种，因此小红获胜的概率为：
$P(\mathrm{小红获胜})=\frac{\mathrm{数字相同的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
牌面数字不同的结果共有2种，因此小明获胜的概率为：
$P(\mathrm{小明获胜})=\frac{\mathrm{数字不同的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
可得$P(\mathrm{小红获胜})=P(\mathrm{小明获胜})$，因此这个游戏是公平的。
【答案】
解:游戏公平,理由如下:
根据题意画树状图如答图,
数字相同的情况有2种,则P(小红获胜)=P(数字相同)$=\dfrac{1}{2}$,
P(小明获胜)=P(数字不同)$=\dfrac{1}{2}$,
所以P(小红获胜)=P(小明获胜),即这个游戏公平.
【知识点】
树状图求概率，游戏公平性判定，等可能事件概率
【点评】
本题是概率的基础应用题型，考查学生用树状图或列表法枚举所有等可能结果的能力，明确游戏公平的核心判定规则是双方获胜概率相等，本题总结果数少，不易出现枚举遗漏，属于基础送分类题型，只需注意计数时不要重复或漏算结果即可。
【难度系数】
0.8
要判断游戏是否公平，核心是比较小红和小明两人获胜的概率是否相等。首先按照题目要求，我们可以通过画树状图的方式，把从两组牌中各摸一张的所有等可能结果全部枚举出来，之后分别统计“牌面数字相同”和“牌面数字不同”的结果数量，再根据概率公式分别计算两人的获胜概率，最后对比两个概率的大小，若相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
我们通过画树状图列举所有等可能的结果：
1. 第一组牌有2、3两种可能的抽取结果，作为树状图的第一层分支；
2. 无论第一组抽到的是2还是3，第二组牌都有2、3两种可能的抽取结果，对应第一层的每个节点延伸出第二层分支。
由此得到所有4种等可能的抽取结果分别为：(2,2)、(2,3)、(3,2)、(3,3)。
其中牌面数字相同的结果共有2种，因此小红获胜的概率为：
$P(\mathrm{小红获胜})=\frac{\mathrm{数字相同的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
牌面数字不同的结果共有2种，因此小明获胜的概率为：
$P(\mathrm{小明获胜})=\frac{\mathrm{数字不同的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
可得$P(\mathrm{小红获胜})=P(\mathrm{小明获胜})$，因此这个游戏是公平的。
【答案】
解:游戏公平,理由如下:
根据题意画树状图如答图,
数字相同的情况有2种,则P(小红获胜)=P(数字相同)$=\dfrac{1}{2}$,
P(小明获胜)=P(数字不同)$=\dfrac{1}{2}$,
所以P(小红获胜)=P(小明获胜),即这个游戏公平.
【知识点】
树状图求概率，游戏公平性判定，等可能事件概率
【点评】
本题是概率的基础应用题型，考查学生用树状图或列表法枚举所有等可能结果的能力，明确游戏公平的核心判定规则是双方获胜概率相等，本题总结果数少，不易出现枚举遗漏，属于基础送分类题型，只需注意计数时不要重复或漏算结果即可。
【难度系数】
0.8
5. 甲、乙两支足球队比赛，如图，以下可以公平确定谁先开球的方式有 （
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
C
）A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案
5.C
解析
【分析】
要判断确定开球的方式是否公平，核心是验证甲、乙两队获得先开球的概率是否相等，我们逐个分析4种规则：
1. 先分析摸球规则：数出盒子里代表甲队的深色球共4个，代表乙队的白色球共4个，总球数为8个，甲乙抽到对应球的概率均为1/2，概率相等，规则公平。
2. 再分析掷骰子规则：普通骰子6个面的点数中，奇数有1、3、5共3个，偶数有2、4、6共3个，掷出奇数和偶数的概率均为1/2，概率相等，规则公平。
3. 接着分析转盘规则：转盘上甲队对应的阴影区域面积明显大于乙队对应的空白区域，指针停在甲队区域的概率大于停在乙队区域的概率，二者概率不相等，规则不公平。
4. 最后分析抛硬币规则：硬币只有正反两个面，抛出正面和反面的概率均为1/2，甲乙获得先开球的概率相等，规则公平。
最终统计可得公平的方式共有3种。
【解析】
我们逐一验证每种方式的公平性：
① 摸球：总共有8个球，甲队对应4个球，乙队对应4个球，$P(\mathrm{甲选中})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{乙选中})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，概率相等，规则公平；
② 掷骰子：6个点数中奇数、偶数各3个，$P(\mathrm{掷出奇数})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{掷出偶数})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，概率相等，规则公平；
③ 转转盘：甲队区域面积大于乙队区域面积，$P(\mathrm{指针指向甲})＞\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{指针指向乙})＜\frac{1}{2}$，二者概率不等，规则不公平；
④ 抛硬币：$P(\mathrm{正面朝上})=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{反面朝上})=\frac{1}{2}$，概率相等，规则公平。
因此公平的方式共3种，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
游戏公平性，古典概型概率计算
【点评】
本题考查游戏公平性的判断，核心逻辑是：游戏公平的本质是双方获胜的概率相等，解题时逐个排查每个规则的概率情况即可，注意不要漏数或多数符合条件的公平方式。
【难度系数】
0.7
要判断确定开球的方式是否公平，核心是验证甲、乙两队获得先开球的概率是否相等，我们逐个分析4种规则：
1. 先分析摸球规则：数出盒子里代表甲队的深色球共4个，代表乙队的白色球共4个，总球数为8个，甲乙抽到对应球的概率均为1/2，概率相等，规则公平。
2. 再分析掷骰子规则：普通骰子6个面的点数中，奇数有1、3、5共3个，偶数有2、4、6共3个，掷出奇数和偶数的概率均为1/2，概率相等，规则公平。
3. 接着分析转盘规则：转盘上甲队对应的阴影区域面积明显大于乙队对应的空白区域，指针停在甲队区域的概率大于停在乙队区域的概率，二者概率不相等，规则不公平。
4. 最后分析抛硬币规则：硬币只有正反两个面，抛出正面和反面的概率均为1/2，甲乙获得先开球的概率相等，规则公平。
最终统计可得公平的方式共有3种。
【解析】
我们逐一验证每种方式的公平性：
① 摸球：总共有8个球，甲队对应4个球，乙队对应4个球，$P(\mathrm{甲选中})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{乙选中})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，概率相等，规则公平；
② 掷骰子：6个点数中奇数、偶数各3个，$P(\mathrm{掷出奇数})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{掷出偶数})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，概率相等，规则公平；
③ 转转盘：甲队区域面积大于乙队区域面积，$P(\mathrm{指针指向甲})＞\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{指针指向乙})＜\frac{1}{2}$，二者概率不等，规则不公平；
④ 抛硬币：$P(\mathrm{正面朝上})=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{反面朝上})=\frac{1}{2}$，概率相等，规则公平。
因此公平的方式共3种，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
游戏公平性，古典概型概率计算
【点评】
本题考查游戏公平性的判断，核心逻辑是：游戏公平的本质是双方获胜的概率相等，解题时逐个排查每个规则的概率情况即可，注意不要漏数或多数符合条件的公平方式。
【难度系数】
0.7
6. 小晶和小红玩掷骰子游戏,每人将一个各面分别标有数字 1,2,3,4,5,6 的正方体骰子掷一次,把两人掷得的点数相加,并约定:若点数之和等于 6,则小晶赢;若点数之和等于 7,则小红赢;若点数之和是其他数,则两人不分胜负,那么（
A.小晶赢的机会大
B.小红赢的机会大
C.小晶、小红赢的机会一样大
D.不能确定
B
）A.小晶赢的机会大
B.小红赢的机会大
C.小晶、小红赢的机会一样大
D.不能确定
答案
6.B
解析
【分析】
这道题属于古典概型的概率比较问题，解题思路非常清晰：第一步先确定两人掷骰子所有等可能出现的总结果数，第二步分别枚举点数之和为6、点数之和为7的所有符合条件的结果数，第三步根据概率公式分别计算两人获胜的概率，最后比较两个概率的大小，就能判断谁赢的机会更大。要注意区分两人掷出的点数顺序，比如小晶掷1小红掷5，和小晶掷5小红掷1是两种不同的独立结果，不能合并计数。
【解析】
1. 计算总等可能结果数：
每人掷骰子都有6种不同的点数，两人掷骰子的组合总共有 $6 × 6 = 36$ 种，所有结果都是等可能发生的。
2. 计算小晶赢的概率：
点数之和等于6的所有组合为：(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)，共5种情况。
根据古典概型概率公式，小晶赢的概率 $P_{\mathrm{小晶}} = \frac{5}{36}$。
3. 计算小红赢的概率：
点数之和等于7的所有组合为：(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6种情况。
小红赢的概率 $P_{\mathrm{小红}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。
4. 比较概率大小：
因为 $\frac{5}{36} ＜ \frac{6}{36}$，即小红赢的概率更大，所以小红赢的机会大。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率，古典概型，概率大小比较
【点评】
本题是概率部分的基础题型，核心考点是用枚举法统计符合条件的事件数，易错点是容易忽略两个玩家掷出的点数顺序不同属于不同结果，导致漏算情况数，只要按顺序枚举所有符合点数和的组合，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.7
这道题属于古典概型的概率比较问题，解题思路非常清晰：第一步先确定两人掷骰子所有等可能出现的总结果数，第二步分别枚举点数之和为6、点数之和为7的所有符合条件的结果数，第三步根据概率公式分别计算两人获胜的概率，最后比较两个概率的大小，就能判断谁赢的机会更大。要注意区分两人掷出的点数顺序，比如小晶掷1小红掷5，和小晶掷5小红掷1是两种不同的独立结果，不能合并计数。
【解析】
1. 计算总等可能结果数：
每人掷骰子都有6种不同的点数，两人掷骰子的组合总共有 $6 × 6 = 36$ 种，所有结果都是等可能发生的。
2. 计算小晶赢的概率：
点数之和等于6的所有组合为：(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)，共5种情况。
根据古典概型概率公式，小晶赢的概率 $P_{\mathrm{小晶}} = \frac{5}{36}$。
3. 计算小红赢的概率：
点数之和等于7的所有组合为：(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6种情况。
小红赢的概率 $P_{\mathrm{小红}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。
4. 比较概率大小：
因为 $\frac{5}{36} ＜ \frac{6}{36}$，即小红赢的概率更大，所以小红赢的机会大。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率，古典概型，概率大小比较
【点评】
本题是概率部分的基础题型，核心考点是用枚举法统计符合条件的事件数，易错点是容易忽略两个玩家掷出的点数顺序不同属于不同结果，导致漏算情况数，只要按顺序枚举所有符合点数和的组合，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.7
