8. 现有四张正面分别标有数字$-1,1,2,3$的卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为$m,n$，则点$P(m,n)$在第二象限的概率为.

8.$\dfrac{3}{16}$

【分析】
本题属于古典概型的概率计算问题，解题思路如下：首先明确抽取规则是有放回抽取，两次抽取的结果互不影响，先计算所有等可能出现的点P(m,n)的总情况数；再回忆平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征，筛选出满足条件的点的数量；最后用符合要求的情况数除以总情况数，即可得到所求概率。需要注意不能将有放回抽样误判为不放回抽样，避免总情况数计算错误。
【解析】
1. 计算总情况数：由于是有放回抽取，第一次抽取数字m有4种等可能结果，放回洗匀后第二次抽取数字n也有4种等可能结果，因此所有可能的点P(m,n)的总情况数为 $4×4=16$ 种，所有结果出现的概率相等。
2. 筛选符合第二象限的点：第二象限内的点的坐标满足横坐标小于0，纵坐标大于0，即 $m＜0$ 且 $n＞0$。
给定的四个数字中，小于0的数字只有-1，即m只能取-1；大于0的数字有1、2、3共3个，即n可取1、2、3。
因此符合条件的点共有 $1×3=3$ 个，分别为$(-1,1)$、$(-1,2)$、$(-1,3)$。
3. 计算概率：根据古典概型概率公式，所求概率 $P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{3}{16}$。
【答案】
$\dfrac{3}{16}$
【知识点】
古典概型，象限点坐标特征，有放回抽样
【点评】
本题是概率与平面直角坐标系结合的基础题型，核心考点清晰，易错点主要是混淆有放回和不放回抽样的总样本数，记错不同象限点的横纵坐标正负规律，只要理清抽样规则、牢记象限坐标特征，就能顺利完成求解。
【难度系数】
0.7

9. 在一次郊游中,小民与小杰两位同学发现一个圆桌旁有4个座位,如图所示,两位同学想坐下休息一会(两人不能坐同一个座位).假设选择每一个座位的机会是均等的.
(1)小民恰好坐在①号座位的概率为；
(2)用画树状图或列表的方法求小民与小杰恰好相邻而坐的概率.

9.(1)$\dfrac{1}{4}$
(2)解:列表如下:
| | ① | ② | ③ | ④ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| ① | $-$ | ②① | ③① | ④① |
| ② | ①② | $-$ | ③② | ④② |
| ③ | ①③ | ②③ | $-$ | ④③ |
| ④ | ①④ | ②④ | ③④ | $-$ |
由表格可知一共有12种等可能的结果,其中小民与小杰恰好相邻而坐的结果有8种,
$\therefore$ 小民与小杰恰好相邻而坐的概率为$\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$.

【分析】
(1) 第一问中，小民独立选择座位，总共有4个等可能的可选座位，满足“恰好坐在①号座位”的情况仅1种，直接用古典概型公式即可算出对应概率。
(2) 第二问中，两人是不同个体且不能同坐一个座位，属于不放回的有序选取，我们可以通过列表法枚举所有两人选座的等可能结果，再从中筛选出两人座位恰好相邻的结果，最后用符合条件的结果数除以总等可能结果数，就能得到所求概率，注意环形排列的4个座位，每个座位都有2个相邻座位，枚举时不要漏数相邻情况。
【解析】
(1) 小民选座位的所有等可能结果共4种，分别对应①、②、③、④号座位，其中恰好选到①号的结果只有1种，因此小民恰好坐在①号座位的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 用列表法枚举所有选座情况，规定行代表小民选择的座位，列代表小杰选择的座位，排除两人选同一座位的无效情况，列表如下：
| | ① | ② | ③ | ④ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| ① | $-$ | 小民坐①小杰坐② | 小民坐①小杰坐③ | 小民坐①小杰坐④ |
| ② | 小民坐②小杰坐① | $-$ | 小民坐②小杰坐③ | 小民坐②小杰坐④ |
| ③ | 小民坐③小杰坐① | 小民坐③小杰坐② | $-$ | 小民坐③小杰坐④ |
| ④ | 小民坐④小杰坐① | 小民坐④小杰坐② | 小民坐④小杰坐③ | $-$ |
由表格可知，总共有12种等可能的有效结果，其中小民与小杰恰好相邻而坐的结果有8种，因此所求概率为$P=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$；(2) $\dfrac{2}{3}$
【知识点】
古典概型，列表法求概率
【点评】
本题是概率的基础应用题，易错点是忽略两个不同人选座位存在顺序，误将总情况数算为6种导致结果错误，同时要注意环形座位的相邻判定，能很好考察学生对枚举法求概率的掌握程度。
【难度系数】
0.7

10. 如图,有四张反面完全相同的纸牌 A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形,将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上.
(1)从四张纸牌中随机摸出一张,摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是.
(2)小明和小亮约定做一个游戏,其规则为:先由小明随机摸出一张,不放回.再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形既是轴对称又是中心对称图形,则小亮获胜,否则小明获胜. 这个游戏公平吗? 请用列表法(或画树状图法)说明理由;若不公平,请你帮忙修改一下游戏规则,使游戏公平.(纸牌用 A,B,C,D 表示)

10.(1)$\dfrac{3}{4}$
(2)解:游戏不公平.理由:列表如下:
| 小亮\结果\小明 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | $-$ | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | $-$ | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | $-$ | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | $-$ |
共有12种结果,每种结果出现的可能性相同,摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种,即(A,C),(C,A),
$\therefore P$(两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形)$=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}≠\dfrac{1}{2}$,$\therefore$游戏不公平.
修改规则:若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形(或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形),则小明获胜,否则小亮获胜.(答案不唯一)

【分析】
(1) 首先明确中心对称图形的定义：绕某一点旋转180°后能与自身完全重合的图形为中心对称图形。先逐个判断4张牌对应的图形：圆、矩形、平行四边形是中心对称图形，正五边形不是，符合条件的共3张，总共有4张牌，用符合条件的数量除以总数量即可得到对应概率。
(2) 首先先筛选出既是轴对称又是中心对称的图形：圆A和矩形C，共2个。由于是不放回抽取两次，通过列表法枚举所有等可能的结果，统计出两张牌都满足“既是轴对称又是中心对称”的结果数，计算出小亮获胜的概率，和1/2比较，若不相等则游戏不公平，修改规则时只要保证双方获胜的概率相等即可。
【解析】
(1) 四张牌对应的图形中，中心对称图形有圆、矩形、平行四边形，共3个，总共有4张牌，因此随机摸出一张是中心对称图形的概率为$\frac{3}{4}$。
(2) 该游戏不公平，理由如下：
根据题意列出所有可能的结果如下：
| 小亮\小明 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | $-$ | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | $-$ | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | $-$ | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | $-$ |
所有等可能的结果共12种，其中两张牌面图形既是轴对称又是中心对称图形的结果只有(A,C)、(C,A)这2种，因此小亮获胜的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，小明获胜的概率为$1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$，$\frac{1}{6}≠\frac{1}{2}$，双方获胜概率不相等，因此游戏不公平。
修改规则示例：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜（答案不唯一，保证双方获胜概率相等即可）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}$；(2) 游戏不公平，理由如上，修改规则合理即可。
【知识点】
中心对称图形判定，列表法求概率，游戏公平性
【点评】
本题将平面图形的性质和概率应用结合，解题的关键是先准确区分不同几何图形的对称性，再通过枚举所有等可能结果计算对应事件的概率，判断游戏公平性的核心是对比双方获胜的概率是否相等，修改获胜条件的方式不唯一，只要保证双方获胜概率一致就符合要求。
【难度系数】
0.6