20. 如图12,在矩形ABCD中,E,F分别是BC,AD边上的点,且AE=CF.
(1)求证:△ABE≅△CDF.
(2)当AC⊥EF时,四边形AECF是菱形吗?请说明理由.

20.(1)$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore ∠ B=∠ D=90°$，$AB=CD$，$AD=BC$，$AD// BC$. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases} AE=CF, \\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$.
$\therefore △ ABE≌△ CDF$. (2)当$AC⊥ EF$时，四边形$AECF$是菱形. 理由如下：$\because △ ABE≌△ CDF$，$\therefore BE=DF$. $\because BC=AD$，$\therefore CE=AF$. $\because CE// AF$，$\therefore$ 四边形$AECF$是平行四边形. 又$\because AC⊥ EF$，$\therefore$ 四边形$AECF$是菱形.

【分析】
(1) 要证明△ABE≅△CDF，首先结合矩形性质可知△ABE和△CDF都是直角三角形，且直角边AB=CD，题目已知斜边AE=CF，满足直角三角形全等的HL判定条件，即可完成证明。
(2) 判断四边形AECF是否为菱形，首先先推导四边形的形状：由(1)的全等结论可得BE=DF，结合矩形对边相等的性质可推出CE=AF，又因为矩形AD//BC即CE//AF，可证四边形AECF是平行四边形，再结合AC⊥EF的条件，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，AD//BC。
在$\mathrm{Rt}△ABE$和$\mathrm{Rt}△CDF$中，
$\begin{cases} AE=CF \\ AB=CD \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ABE≌\mathrm{Rt}△CDF(\mathrm{HL})$，即$△ABE≅△CDF$。
(2) 当$AC⊥EF$时，四边形AECF是菱形，理由如下：
∵ $△ABE≅△CDF$，
∴ $BE=DF$。
∵ $BC=AD$，
∴ $BC-BE=AD-DF$，即$CE=AF$。
又
∵ $CE// AF$，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
又
∵ $AC⊥EF$，
∴ 平行四边形AECF是菱形。
【答案】
(1) 已证$△ABE≅△CDF$；
(2) 四边形AECF是菱形，理由见解析。
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，围绕特殊四边形和全等三角形的核心考点设计，逻辑链条清晰，解题时需要按顺序推导，先证明全等，再推导平行四边形，最后结合菱形判定条件得到结论，要求熟练掌握相关定理的适用场景。
【难度系数】
0.75