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21. 有甲、乙两种客车,2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人,1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人.
(1)请问:1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人?
(2)某学校组织240名师生集体外出活动,拟租用甲、乙两种客车共6辆,一次将全部师生送到指定地点.若每辆甲种客车的租金为400元,每辆乙种客车的租金为280元,请给出最节省费用的租车方案,并求出最低费用.
(1)请问:1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人?
(2)某学校组织240名师生集体外出活动,拟租用甲、乙两种客车共6辆,一次将全部师生送到指定地点.若每辆甲种客车的租金为400元,每辆乙种客车的租金为280元,请给出最节省费用的租车方案,并求出最低费用.
答案
21.(1)设1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为a人、b人，根据题意，得
$\begin{cases} 2a+3b=180, \\ a+2b=105. \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=45, \\ b=30. \end{cases}$
答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人. (2)设租用甲种客车x辆，租车费用为y元，根据题意，得$y=400x+280(6-x)=120x+1680$. 由$45x+30(6-x)≥240$，得$x≥4$.$\because 120＞0$，$\therefore y$随$x$的增大而增大. $\therefore$ 当x为最小值4时，y值最小，此时$y=120×4+1680=2160$. 答：租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，费用最低，最低费用为2160元.
$\begin{cases} 2a+3b=180, \\ a+2b=105. \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=45, \\ b=30. \end{cases}$
答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人. (2)设租用甲种客车x辆，租车费用为y元，根据题意，得$y=400x+280(6-x)=120x+1680$. 由$45x+30(6-x)≥240$，得$x≥4$.$\because 120＞0$，$\therefore y$随$x$的增大而增大. $\therefore$ 当x为最小值4时，y值最小，此时$y=120×4+1680=2160$. 答：租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，费用最低，最低费用为2160元.
解析
【分析】
(1)第一问有两个待求未知量，可分别设为未知数，提取题干两个等量关系：2辆甲客车载客量+3辆乙客车载客量=180人，1辆甲客车载客量+2辆乙客车载客量=105人，列二元一次方程组即可求解。
(2)第二问求最优租车方案，先设租用甲种客车的数量为自变量，总租车费用为因变量，建立费用关于自变量的一次函数表达式；再根据总载客量不低于240人的要求，列一元一次不等式求出自变量的取值范围；最后结合一次函数的增减性，找到使总费用最小的自变量取值，即可得到最优方案和最低费用。
【解析】
(1)设1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为$a$人、$b$人，根据题意得：
$\begin{cases} 2a+3b=180 \\ a+2b=105 \end{cases}$
由第二个方程得$a=105-2b$，代入第一个方程得$2(105-2b)+3b=180$，解得$b=30$，将$b=30$代入$a=105-2b$得$a=45$，即方程组的解为$\begin{cases} a=45 \\ b=30 \end{cases}$。
(2)设租用甲种客车$x$辆，租车总费用为$y$元，则租用乙种客车$(6-x)$辆，根据题意得：
$y=400x+280(6-x)=120x+1680$
由总载客量要求列不等式：$45x+30(6-x)≥240$，解得$x≥4$。
$\because 120＞0$，$\therefore y$随$x$的增大而增大，因此当$x$取最小值4时，$y$最小，此时$y=120×4+1680=2160$，租用乙种客车$6-4=2$辆。
【答案】
(1)1辆甲种客车载客量为45人，1辆乙种客车载客量为30人；
(2)最节省费用的租车方案为租用甲种客车4辆、乙种客车2辆，最低费用为2160元。
【知识点】
二元一次方程组应用；一元一次不等式应用；一次函数最值
【点评】
本题是贴近生活的实际应用类题型，考查从题干提取等量关系、不等关系的列式能力，以及利用一次函数性质解决优化问题的能力，是方程、不等式与函数结合的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1)第一问有两个待求未知量，可分别设为未知数，提取题干两个等量关系：2辆甲客车载客量+3辆乙客车载客量=180人，1辆甲客车载客量+2辆乙客车载客量=105人，列二元一次方程组即可求解。
(2)第二问求最优租车方案，先设租用甲种客车的数量为自变量，总租车费用为因变量，建立费用关于自变量的一次函数表达式；再根据总载客量不低于240人的要求，列一元一次不等式求出自变量的取值范围；最后结合一次函数的增减性，找到使总费用最小的自变量取值，即可得到最优方案和最低费用。
【解析】
(1)设1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为$a$人、$b$人，根据题意得：
$\begin{cases} 2a+3b=180 \\ a+2b=105 \end{cases}$
由第二个方程得$a=105-2b$，代入第一个方程得$2(105-2b)+3b=180$，解得$b=30$，将$b=30$代入$a=105-2b$得$a=45$，即方程组的解为$\begin{cases} a=45 \\ b=30 \end{cases}$。
(2)设租用甲种客车$x$辆，租车总费用为$y$元，则租用乙种客车$(6-x)$辆，根据题意得：
$y=400x+280(6-x)=120x+1680$
由总载客量要求列不等式：$45x+30(6-x)≥240$，解得$x≥4$。
$\because 120＞0$，$\therefore y$随$x$的增大而增大，因此当$x$取最小值4时，$y$最小，此时$y=120×4+1680=2160$，租用乙种客车$6-4=2$辆。
【答案】
(1)1辆甲种客车载客量为45人，1辆乙种客车载客量为30人；
(2)最节省费用的租车方案为租用甲种客车4辆、乙种客车2辆，最低费用为2160元。
【知识点】
二元一次方程组应用；一元一次不等式应用；一次函数最值
【点评】
本题是贴近生活的实际应用类题型，考查从题干提取等量关系、不等关系的列式能力，以及利用一次函数性质解决优化问题的能力，是方程、不等式与函数结合的典型习题。
【难度系数】
0.7
22. 如图13,菱形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(1,0),点D(4,4)在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,直线$y=\frac{2}{3}x+b$经过点C,与y轴交于点E,连接AC,AE.
(1)求k,b的值；
(2)求△ACE的面积.
(1)求k,b的值；
(2)求△ACE的面积.
答案
22.(1)过点D作$DF⊥ x$轴于点F，则$AF=3$，$DF=4$. 在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$AD=\sqrt{AF^2+DF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$\therefore AB=BC=CD=AD$. $\therefore$ 点B的坐标为$(6,0)$，点C的坐标为$(9,4)$.$\because$ 点$D(4,4)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，$\therefore k=16$. $\because$ 直线$y=\frac{2}{3}x+b$经过点C，$\therefore$ 将点$C(9,4)$代入$y=\frac{2}{3}x+b$，即$4=\frac{2}{3}×9+b$. $\therefore b=-2$. (2)$\because$ 直线$y=\frac{2}{3}x+b$与y轴交于点E，$\therefore$ 点E的坐标为$(0,-2)$. 同理可求得直线$y=\frac{2}{3}x-2$与x轴的交点坐标为$(3,0)$. $\therefore △ ACE$的面积为$\frac{1}{2}×2×(2+4)=6$.
解析
【分析】
(1) 求k值可直接将反比例函数图象上的点D坐标代入解析式计算；求b值需要先得到点C的坐标：先根据A、D的坐标，用勾股定理求出菱形的边长AD，再利用菱形对边平行且相等的性质，结合CD与x轴平行（AB在x轴上），即可推出点C的坐标，最后将点C坐标代入一次函数解析式就能求出b。
(2) 求△ACE的面积时，先求出一次函数与y轴交点E的坐标，再求出一次函数与x轴的交点，用分割法将△ACE拆分为两个同底的三角形，分别计算面积再求和即可得到结果。
【解析】
(1) 过点D作$DF⊥ x$轴于点F，
已知$A(1,0)$，$D(4,4)$，则$AF=4-1=3$，$DF=4$，
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AF^2+DF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB=BC=CD=AD=5$，且$CD// AB$，
∵AB在x轴上，
∴CD平行于x轴，点C的纵坐标与D相同为4，
∴点B坐标为$(1+5,0)=(6,0)$，点C坐标为$(4+5,4)=(9,4)$，
将$D(4,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$4=\frac{k}{4}$，解得$k=16$，
将$C(9,4)$代入直线$y=\frac{2}{3}x+b$，得$4=\frac{2}{3}×9+b$，解得$b=-2$。
(2) 对于直线$y=\frac{2}{3}x-2$：
令$x=0$，得$y=-2$，即点E坐标为$(0,-2)$；
令$y=0$，得$0=\frac{2}{3}x-2$，解得$x=3$，即直线与x轴交点为$(3,0)$，记该点为M，则$AM=3-1=2$，
△ACE的面积等于△AEM与△ACM的面积和：
$S_{△ACE}=S_{△AEM}+S_{△ACM}=\frac{1}{2}×AM×|y_E|+\frac{1}{2}×AM×y_C=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4=6$。
【答案】
(1) $k=16$，$b=-2$；
(2) $△ ACE$的面积为$6$。
【知识点】
菱形的性质，反比例函数与一次函数综合，坐标系内面积计算
【点评】
本题属于函数与几何结合的常规综合题，解题核心是先利用菱形的性质求出关键点C的坐标，再结合函数的性质求解参数和图形面积，对学生的几何性质应用和函数计算能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求k值可直接将反比例函数图象上的点D坐标代入解析式计算；求b值需要先得到点C的坐标：先根据A、D的坐标，用勾股定理求出菱形的边长AD，再利用菱形对边平行且相等的性质，结合CD与x轴平行（AB在x轴上），即可推出点C的坐标，最后将点C坐标代入一次函数解析式就能求出b。
(2) 求△ACE的面积时，先求出一次函数与y轴交点E的坐标，再求出一次函数与x轴的交点，用分割法将△ACE拆分为两个同底的三角形，分别计算面积再求和即可得到结果。
【解析】
(1) 过点D作$DF⊥ x$轴于点F，
已知$A(1,0)$，$D(4,4)$，则$AF=4-1=3$，$DF=4$，
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AF^2+DF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB=BC=CD=AD=5$，且$CD// AB$，
∵AB在x轴上，
∴CD平行于x轴，点C的纵坐标与D相同为4，
∴点B坐标为$(1+5,0)=(6,0)$，点C坐标为$(4+5,4)=(9,4)$，
将$D(4,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$4=\frac{k}{4}$，解得$k=16$，
将$C(9,4)$代入直线$y=\frac{2}{3}x+b$，得$4=\frac{2}{3}×9+b$，解得$b=-2$。
(2) 对于直线$y=\frac{2}{3}x-2$：
令$x=0$，得$y=-2$，即点E坐标为$(0,-2)$；
令$y=0$，得$0=\frac{2}{3}x-2$，解得$x=3$，即直线与x轴交点为$(3,0)$，记该点为M，则$AM=3-1=2$，
△ACE的面积等于△AEM与△ACM的面积和：
$S_{△ACE}=S_{△AEM}+S_{△ACM}=\frac{1}{2}×AM×|y_E|+\frac{1}{2}×AM×y_C=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4=6$。
【答案】
(1) $k=16$，$b=-2$；
(2) $△ ACE$的面积为$6$。
【知识点】
菱形的性质，反比例函数与一次函数综合，坐标系内面积计算
【点评】
本题属于函数与几何结合的常规综合题，解题核心是先利用菱形的性质求出关键点C的坐标，再结合函数的性质求解参数和图形面积，对学生的几何性质应用和函数计算能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
