23. 如图14①,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)概念理解:如图14②,在四边形ABCD中,AB = AD,CB = CD,问:四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由.
(2)性质探究:如图14①,四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.试证明$:AD^2+BC^2=AB^2+CD^2.$
(3)解决问题:如图14③,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE,CE分别交BG,AB于点N,M.已知AC=4,AB=5,求GE的长.

23.(1)四边形ABCD是垂美四边形. 理由如下：连接AC，BD. $\because AB=AD$，$\therefore$ 点A在线段BD的垂直平分线上. $\because CB=CD$，$\therefore$ 点C在线段BD的垂直平分线上. $\therefore$ 直线AC是线段BD的垂直平分线. $\therefore AC⊥ BD$，即四边形ABCD是垂美四边形. (2)$\because AC⊥ BD$，$\therefore ∠ AOD=∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=90°$. 由勾股定理，得$AD^2+BC^2=AO^2+DO^2+BO^2+CO^2$，$AB^2+CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2$. $\therefore AD^2+BC^2 = AB^2 + CD^2$. (3)如，连接CG，BE，$\because ∠ CAG=∠ BAE=90°$，$\therefore ∠ CAG+∠ BAC=∠ BAE+∠ BAC$，即$∠ GAB=∠ CAE$. 在$△ GAB$和$△ CAE$ 中，
$\begin{cases} AG=AC, \\ ∠ GAB=∠ CAE, \\ AB=AE, \end{cases}$
$\therefore △ GAB ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$. $\therefore ∠ ABG=∠ AEC$. 又$\because ∠ AEC+∠ AME=90°$，$\therefore ∠ ABG+∠ AME=90°$. $\therefore ∠ ABG+∠ BMN=90°$. $\therefore ∠ BNM=90°$，即$CE⊥ BG$. $\therefore$ 四边形CGEB是垂美四边形. 由(2)，得$CG^2+BE^2 = CB^2+GE^2$. 又$\because AC=4$，$AB=5$，$\therefore CB^2=9$，$CG^2=32$，$BE^2 = 50$. $\therefore GE^2 = CG^2 + BE^2 - CB^2 = 73$. $\therefore GE=\sqrt{73}$.

【分析】
本题为新定义类几何综合题，按三个小问逐步思考即可：
(1) 判断四边形是否为垂美四边形，只需根据定义证明对角线互相垂直。已知AB=AD、CB=CD，根据垂直平分线的判定，点A、C都在线段BD的垂直平分线上，两点确定一条直线，因此AC垂直BD，即可判定符合垂美四边形定义。
(2) 要证明对边平方和相等，已知对角线互相垂直，四个交角均为直角，利用勾股定理分别把四个边的平方表示为对角线被交点分成的线段的平方和，左右两边分别相加即可证明相等。
(3) 求GE的长，需要先联系前两问的结论：首先证明CE⊥BG，得到四边形CGEB是垂美四边形，即可套用第二问的性质。先通过SAS证明△GAB≌△CAE，推导得到CE⊥BG，再计算出CB、CG、BE的平方，代入垂美四边形的性质公式即可求出GE的长度。
【解析】
(1) 四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：
连接AC、BD。
∵ AB=AD，
∴ 点A在线段BD的垂直平分线上。
∵ CB=CD，
∴ 点C在线段BD的垂直平分线上。
∴ 直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴ AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形。
(2) 证明：
∵ AC⊥BD，
∴ ∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°。
由勾股定理得：
$AD^2 = AO^2 + DO^2$，$BC^2 = BO^2 + CO^2$，
∴ $AD^2 + BC^2 = AO^2 + DO^2 + BO^2 + CO^2$，
又
∵ $AB^2 = AO^2 + BO^2$，$CD^2 = CO^2 + DO^2$，
∴ $AB^2 + CD^2 = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$，
∴ $AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2$。
(3) 如，连接CG、BE。
∵ ∠CAG=∠BAE=90°，
∴ ∠CAG + ∠BAC = ∠BAE + ∠BAC，即∠GAB=∠CAE。
在△GAB和△CAE中：
$\begin{cases} AG=AC, \\ ∠GAB=∠CAE, \\ AB=AE, \end{cases}$
∴ △GAB ≌ △CAE（SAS），
∴ ∠ABG=∠AEC。
∵ ∠AEC + ∠AME=90°，
∴ ∠ABG + ∠AME=90°，
又
∵ ∠AME=∠BMN，
∴ ∠ABG + ∠BMN=90°，
∴ ∠BNM=90°，即CE⊥BG，
∴ 四边形CGEB是垂美四边形。
由(2)的结论可得：$CG^2 + BE^2 = CB^2 + GE^2$。
在Rt△ACB中，AC=4，AB=5，由勾股定理得$CB^2=AB^2 - AC^2=25 - 16=9$。
∵ 四边形ACFG是正方形，AC=4，
∴ $CG^2=AC^2 + AG^2=16 + 16=32$。
∵ 四边形ABDE是正方形，AB=5，
∴ $BE^2=AB^2 + AE^2=25 + 25=50$。
代入得：$GE^2 = CG^2 + BE^2 - CB^2 = 32 + 50 - 9 =73$，
∴ $GE=\sqrt{73}$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：连接AC，BD. $\because AB=AD$，$\therefore$ 点A在线段BD的垂直平分线上. $\because CB=CD$，$\therefore$ 点C在线段BD的垂直平分线上. $\therefore$ 直线AC是线段BD的垂直平分线. $\therefore AC⊥ BD$，即四边形ABCD是垂美四边形.
(2) $\because AC⊥ BD$，$\therefore ∠ AOD=∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=90°$. 由勾股定理，得$AD^2+BC^2=AO^2+DO^2+BO^2+CO^2$，$AB^2+CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2$. $\therefore AD^2+BC^2 = AB^2 + CD^2$.
(3) 如，连接CG，BE，$\because ∠ CAG=∠ BAE=90°$，$\therefore ∠ CAG+∠ BAC=∠ BAE+∠ BAC$，即$∠ GAB=∠ CAE$. 在$△ GAB$和$△ CAE$ 中，
$\begin{cases} AG=AC, \\ ∠ GAB=∠ CAE, \\ AB=AE, \end{cases}$
$\therefore △ GAB ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$. $\therefore ∠ ABG=∠ AEC$. 又$\because ∠ AEC+∠ AME=90°$，$\therefore ∠ ABG+∠ AME=90°$. $\therefore ∠ ABG+∠ BMN=90°$. $\therefore ∠ BNM=90°$，即$CE⊥ BG$. $\therefore$ 四边形CGEB是垂美四边形. 由(2)，得$CG^2+BE^2 = CB^2+GE^2$. 又$\because AC=4$，$AB=5$，$\therefore CB^2=9$，$CG^2=32$，$BE^2 = 50$. $\therefore GE^2 = CG^2 + BE^2 - CB^2 = 73$. $\therefore GE=\sqrt{73}$.
【知识点】
1. 垂直平分线的判定
2. 勾股定理
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的新定义类几何题，按照定义理解、性质探究、拓展应用的逻辑递进设置，既考查对新概念的迁移运用能力，也考查核心几何知识点的综合掌握程度，解题的关键是建立第三问与前两问结论的关联，合理运用已证性质简化计算。
【难度系数】
0.4