9.如图,在$□ ABCD$中,O为BD的中点,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F.若$AE=10$,则CF的长为.

9.10

10.如图,小华剪了两条宽均为$\sqrt{3}$的纸条,交叉叠放在一起,若它们的交角为$60°$,则它们重叠部分的面积为.

10.2√3

11.如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：

a.两组对边分别相等
b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等
d.一个角是直角

解：
符合要求的顺次添加条件的组合不唯一，典型正确组合如下：
组合1：顺次添加a、d、c
1. 由条件a：两组对边分别相等，可判定该四边形是平行四边形；
2. 再添加条件d：一个角是直角，有一个角是直角的平行四边形是矩形；
3. 最后添加条件c：一组邻边相等，有一组邻边相等的矩形是正方形。
组合2：顺次添加b、c、d
1. 由条件b：一组对边平行且相等，可判定该四边形是平行四边形；
2. 再添加条件c：一组邻边相等，有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
3. 最后添加条件d：一个角是直角，有一个角是直角的菱形是正方形。
其余合法组合还有顺次添加a、c、d，顺次添加b、d、c，均可以从任意四边形出发最终得到正方形。

顺次添加的条件如下：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c，则正确的是.（填序号）

11.①②

三、综合运用
12.如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF＝DE.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AB＝$\sqrt{2}$，BE＝$\frac{1}{2}$，求四边形AECF的面积.

12.(1)证明:连接AC交BD于点O，如图所示，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ OA=OC=OB=OD,AC⊥BD.
∵ BF=DE,
∴ BF-OB=DE-OD,
∴ OF=OE.
在四边形AECF中,OA=OC,OF=OE,
∴ 四边形AECF是平行四边形.
又
∵ AC⊥EF,
∴ 平行四边形AECF是菱形.
(2)解:
∵ AC⊥BD,OA=OB,
∴ 在Rt△OAB中，
AB=√2，
由勾股定理得,AB²=OA²+OB²=2，
∴2OA²=2，
∴ OA=OB=1,
∴ OC=1，
∴ AC=OA+OC=2.
∵ BE=1/2,
∴ OE=OB-BE=1/2，
∴ OF=OE=1/2，
∴ EF=OF+OE=1，
∴ 菱形AECF的面积为1/2 AC·EF
=1/2 ×2×1=1.

13.如图，ABCD是一个正方形花园，E,F是它的两个门，且$DE=CF$.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？

【探究】
若去掉“$DE=CF$”这一条件.将两个结论中的一个作为条件，能否推出另一个结论成立？
（1）若已知$BE=AF$，则$BE⊥ AF$成立吗？
（2）若已知$BE⊥ AF$，则$BE=AF$成立吗？

13.解:这两条路等长,且相互垂直.
理由如下:
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD=CD,∠BAD=∠D=90°.
又
∵ DE=CF,
∴ AE=DF.
∴ △ABE≌△DAF(SAS)，
∴ BE=AF,∠ABE=∠DAF.
∵ ∠DAF+∠BAF=90°，
∴ ∠ABE+∠BAF=90°，
∴ ∠AGB=90°,即BE⊥AF.
【探究】(1)成立.理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BAD=∠D=90°,AB=AD.
在Rt△ABE和Rt△DAF中,
{BE=AF,
AB=DA,
∴ Rt△ABE≌Rt△DAF(HL).
∴ ∠ABE=∠DAF.
∵ ∠DAF+∠BAF=90°，
∴ ∠ABE+∠BAF=90°.
∴ ∠AGB=90°,即BE⊥AF.
(2)成立.理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD,∠BAD=∠D=90°.
又
∵ BE⊥AF,
∴ ∠AGB=90°.
∴ ∠ABE+∠BAF=90°.
∵ ∠DAF+∠BAF=90°，
∴ ∠ABE=∠DAF.
∴ △ABE≌△DAF(ASA),
∴ BE=AF.