23. 先阅读下列材料：
分解因式：$(a+b)^2 - 2(a+b)+1$.
解：将“$a+b$”看成整体，设$M=a+b$，则原式$=M^2 -2M +1=(M-1)^2$，再将$M$还原，得原式$=(a+b-1)^2$.
上述解题用到的是“整体思想”，请你仿照上面的方法解答下列问题：
(1) 分解因式：$(a^2+2a+2)(a^2+2a)+1$.
(2) 化简：$\dfrac{(n+1)(n+2)(n^2+3n)+1}{n(n+3)+1}$.

23.(1)设$a^2 + 2a = M,$
原式$=(M + 2)M + 1 = M^2 + 2M + 1 = (M + 1)^2,$
将$M$还原得,原式$=(a^2 + 2a + 1)^2 = (a + 1)^4.$
(2)设$n^2 + 3n = M,$
原式$=\frac{(n^2 + 3n + 2)(n^2 + 3n) + 1}{n^2 + 3n + 1}=\frac{(M + 2)M + 1}{M + 1}$
$=\frac{M^2 + 2M + 1}{M + 1}=\frac{(M + 1)^2}{M + 1}=M + 1,$
将$M$还原,得原式$=n^2 + 3n + 1.$

【分析】
本题运用整体换元思想解题：
(1) 观察待分解的式子，两个因式中都含有公共部分$a^2+2a$，因此将$a^2+2a$设为整体$M$，代入原式展开后可得到完全平方式，还原$M$后要继续分解，直到不能再分解为止。
(2) 先整理分子分母的结构：计算$(n+1)(n+2)=n^2+3n+2$，可发现分子中含有公共部分$n^2+3n$，分母展开后也可用$n^2+3n$表示，将公共部分设为整体$M$，代入后分子可因式分解为完全平方式，再和分母约分即可化简，最后还原$M$得到结果。
【解析】
(1) 设$a^2 + 2a = M$，
原式$=(M + 2)M + 1 = M^2 + 2M + 1 = (M + 1)^2$，
将$M=a^2+2a$还原得，原式$=(a^2 + 2a + 1)^2 = (a + 1)^4$。
(2) 设$n^2 + 3n = M$，
先变形得：$(n+1)(n+2)=n^2+3n+2$，分母$n(n+3)+1=n^2+3n+1$，
则原式$=\frac{(M + 2)M + 1}{M + 1}=\frac{M^2 + 2M + 1}{M + 1}=\frac{(M + 1)^2}{M + 1}=M + 1$，
将$M=n^2+3n$还原，得原式$=n^2 + 3n + 1$。
【答案】
(1) $(a+1)^4$
(2) $n^2+3n+1$
【知识点】
换元法因式分解，完全平方公式，分式化简
【点评】
本题核心考查整体思想在代数运算中的应用，通过换元可简化复杂的多项式结构，降低运算难度，解题时需注意换元后要还原回原式的字母，且因式分解要做到彻底。
【难度系数】
0.7

24.在学习《公式法》时，某数学学习小组发现：
已知$a+b=5,ab=3$，可以在不求$a,b$的值的情况下，求出$a^2+b^2$的值.具体做法如下：
$a^2+b^2=a^2+2ab+b^2-2ab=(a+b)^2-2ab=5^2-2×3=19.$
(1)若$a+b=6,ab=1.5$，则$a^2+b^2=$；
(2)若$m$满足$(8-m)(m-3)=3$，求$(8-m)^2+(m-3)^2$的值，
同样可以应用上述方法解决问题，具体操作如下：
解:设$8-m=a,m-3=b,$
则$a+b=(8-m)+(m-3)=5,ab=(8-m)(m-3)=3,$
所以$(8-m)^2+(m-3)^2=a^2+b^2=a^2+2ab+b^2-2ab=(a+b)^2-2ab=5^2-2×3=19.$
请参照上述方法解决下列问题:若$(5x-2)(9-5x)=4$，求$(5x-2)^2+(9-5x)^2$的值；
(3)现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图(1)，已知点$H$为$AE$的中点，连接$DH,FH$，将乙纸片放到甲的内部得到图(2)，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图(2)的阴影部分面积为2，请求出图(1)的阴影部分面积.

24.(1)33 [解析]$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 36 - 2×1.5 = 33.$
(2)设$5x - 2 = a,9 - 5x = b,$则$a + b = (5x - 2) + (9 - 5x) = 7,ab = (5x - 2)(9 - 5x) = 4,$
$\therefore (5x - 2)^2 + (9 - 5x)^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 7^2 - 2×4 = 41.$
(3)设甲正方形边长为$x$,乙正方形边长为$y$,则$AD = x,$
$EF = y,AE = x + y = 8,$
$\therefore (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 64.$
$\because$点$H$ 为 $AE$ 的中点,$\therefore AH = EH = 4.$
$\because$图(2)的阴影部分面积$=(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 2,$
$\therefore (x + y)^2 + (x - y)^2 = 64 + 2 = 66,$
$\therefore x^2 + y^2 = 33,$
$\therefore$图(1)的阴影部分面积$=x^2 + y^2 - \frac{1}{2}×4· x - \frac{1}{2}×4· y = x^2 + y^2 - 2(x + y) = 33 - 2×8 = 17.$

【分析】
(1) 直接利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，将已知的$a+b$和$ab$的值代入即可计算出结果。
(2) 参照题目给出的换元方法，把两个多项式分别设为$a$和$b$，先求出$a+b$和$ab$的值，再代入完全平方变形公式求解，换元法可以简化多项式的运算过程。
(3) 先设甲正方形边长为$x$，乙正方形边长为$y$，根据题意可得$x+y=8$，图(2)阴影面积对应$(x-y)^2=2$，利用完全平方公式的变形求出$x^2+y^2$的值；再分析图(1)阴影面积：等于两个正方形的总面积减去两个空白直角三角形的面积，结合$H$是$AE$中点得到三角形的边长，代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据完全平方公式变形：
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，代入$a+b=6$，$ab=1.5$，
原式$=6^2 - 2×1.5 = 36 - 3 = 33$。
(2) 设$5x - 2 = a$，$9 - 5x = b$，
则$a + b = (5x - 2) + (9 - 5x) = 7$，$ab = (5x - 2)(9 - 5x) = 4$，
$\therefore (5x - 2)^2 + (9 - 5x)^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 7^2 - 2×4 = 49 - 8 = 41$。
(3) 设甲正方形边长为$x$，乙正方形边长为$y$，
由题意得$x + y = 8$，$\therefore (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 64$，
图(2)的阴影部分面积为$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = 2$，
将两式相加得$2(x^2 + y^2) = 64 + 2 = 66$，即$x^2 + y^2 = 33$，
$\because$点$H$为$AE$的中点，$\therefore AH = EH = \frac{1}{2}(x + y) = 4$，
图(1)阴影部分面积 = 甲、乙正方形面积和 - $S_{△ ADH}$ - $S_{△ EFH}$，
即$S_{阴影} = x^2 + y^2 - \frac{1}{2}·AH·AD - \frac{1}{2}·EH·EF$
$= x^2 + y^2 - \frac{1}{2}×4x - \frac{1}{2}×4y = x^2 + y^2 - 2(x + y)$，
代入$x^2 + y^2=33$，$x+y=8$，得$S_{阴影}=33 - 2×8 = 17$。
【答案】
(1) $\boxed{33}$；(2) $\boxed{41}$；(3) $\boxed{17}$
【知识点】
完全平方公式，换元思想，面积计算
【点评】
本题从基础公式应用出发，层层递进，既考查了完全平方公式变形的灵活应用，也考查了代数与几何的综合转化能力，需要学生学会用换元法简化运算，同时能准确分析几何图形的面积关系，将几何问题转化为代数计算。
【难度系数】
0.6