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1. 不改变分式的$\frac{2x - \frac{5}{3}y}{\frac{2}{3}x + y}$值，把分子、分母各项系数化为整数，结果为（
A.$\frac{2x - 15y}{4x + y}$
B.$\frac{6x - 5y}{2x + 3y}$
C.$\frac{6x - 5y}{4x - 2y}$
D.$\frac{12x - 15y}{4x + 2y}$
B
）。A.$\frac{2x - 15y}{4x + y}$
B.$\frac{6x - 5y}{2x + 3y}$
C.$\frac{6x - 5y}{4x - 2y}$
D.$\frac{12x - 15y}{4x + 2y}$
答案
1.B
解析
【分析】
要在不改变分式值的前提下将分子、分母各项系数化为整数，需依据分式的基本性质求解。首先观察分子、分母中各项系数的分数分母，这里分母都是3，所以确定分子、分母需要同时乘以3（注意3≠0，符合分式基本性质的要求），计算时要保证分子、分母的每一项都乘以3，不能漏乘任何一项，最后化简得到结果后对应选项即可。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
观察原式$\frac{2x - \frac{5}{3}y}{\frac{2}{3}x + y}$，各项系数的分母最小公倍数为3，将分子、分母同时乘以3：
分子：$3×(2x - \frac{5}{3}y)=3×2x - 3×\frac{5}{3}y=6x - 5y$
分母：$3×(\frac{2}{3}x + y)=3×\frac{2}{3}x + 3× y=2x + 3y$
因此化简后的分式为$\frac{6x - 5y}{2x + 3y}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质；分式系数化整
【点评】
本题是分式性质应用的基础题，解题核心是找准分子分母所有项系数分母的最小公倍数，计算时需注意给每一项都乘这个公倍数，避免出现漏乘单独字母项的错误。
【难度系数】
0.8
要在不改变分式值的前提下将分子、分母各项系数化为整数，需依据分式的基本性质求解。首先观察分子、分母中各项系数的分数分母，这里分母都是3，所以确定分子、分母需要同时乘以3（注意3≠0，符合分式基本性质的要求），计算时要保证分子、分母的每一项都乘以3，不能漏乘任何一项，最后化简得到结果后对应选项即可。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
观察原式$\frac{2x - \frac{5}{3}y}{\frac{2}{3}x + y}$，各项系数的分母最小公倍数为3，将分子、分母同时乘以3：
分子：$3×(2x - \frac{5}{3}y)=3×2x - 3×\frac{5}{3}y=6x - 5y$
分母：$3×(\frac{2}{3}x + y)=3×\frac{2}{3}x + 3× y=2x + 3y$
因此化简后的分式为$\frac{6x - 5y}{2x + 3y}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质；分式系数化整
【点评】
本题是分式性质应用的基础题，解题核心是找准分子分母所有项系数分母的最小公倍数，计算时需注意给每一项都乘这个公倍数，避免出现漏乘单独字母项的错误。
【难度系数】
0.8
2.若$a≠b$,则下列分式化简正确的是(
A.$\frac{a+2}{b+2}=\frac{a}{b}$
B.$\frac{a-2}{b-2}=\frac{a}{b}$
C.$\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}$
D.$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}b}=\frac{a}{b}$
D
).A.$\frac{a+2}{b+2}=\frac{a}{b}$
B.$\frac{a-2}{b-2}=\frac{a}{b}$
C.$\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}$
D.$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}b}=\frac{a}{b}$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查分式的化简判断，解题核心是熟练掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先明确性质的适用条件（仅适用于同乘除同一个非零整式，加减运算不适用），再逐一判断每个选项的变形是否符合性质要求，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
根据分式的基本性质逐一分析选项：
A. 该选项是分子、分母同时加2，不属于同乘除同一个非零整式的变形，不符合分式基本性质，例如取a=1，b=3，左边$\frac{1+2}{3+2}=\frac{3}{5}$，右边$\frac{1}{3}$，显然不相等，故A错误；
B. 该选项是分子、分母同时减2，不属于同乘除同一个非零整式的变形，不符合分式基本性质，例如取a=3，b=1，左边$\frac{3-2}{1-2}=-1$，右边$\frac{3}{1}=3$，显然不相等，故B错误；
C. $\frac{a^2}{b^2}$是分子乘a、分母乘b得到的，因为$a≠b$，乘的不是同一个整式，不符合分式基本性质，例如取a=2，b=1，左边$\frac{2^2}{1^2}=4$，右边$\frac{2}{1}=2$，显然不相等，故C错误；
D. 该选项的分子、分母同时乘2（2为非零常数），符合分式基本性质：$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}b}=\frac{\frac{1}{2}a×2}{\frac{1}{2}b×2}=\frac{a}{b}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、分式化简
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是准确把握分式基本性质的适用前提，注意区分分式的乘除变形和加减变形，不要混淆分式运算与等式的加减变形规律。
【难度系数】
0.9
本题考查分式的化简判断，解题核心是熟练掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先明确性质的适用条件（仅适用于同乘除同一个非零整式，加减运算不适用），再逐一判断每个选项的变形是否符合性质要求，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
根据分式的基本性质逐一分析选项：
A. 该选项是分子、分母同时加2，不属于同乘除同一个非零整式的变形，不符合分式基本性质，例如取a=1，b=3，左边$\frac{1+2}{3+2}=\frac{3}{5}$，右边$\frac{1}{3}$，显然不相等，故A错误；
B. 该选项是分子、分母同时减2，不属于同乘除同一个非零整式的变形，不符合分式基本性质，例如取a=3，b=1，左边$\frac{3-2}{1-2}=-1$，右边$\frac{3}{1}=3$，显然不相等，故B错误；
C. $\frac{a^2}{b^2}$是分子乘a、分母乘b得到的，因为$a≠b$，乘的不是同一个整式，不符合分式基本性质，例如取a=2，b=1，左边$\frac{2^2}{1^2}=4$，右边$\frac{2}{1}=2$，显然不相等，故C错误；
D. 该选项的分子、分母同时乘2（2为非零常数），符合分式基本性质：$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}b}=\frac{\frac{1}{2}a×2}{\frac{1}{2}b×2}=\frac{a}{b}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、分式化简
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是准确把握分式基本性质的适用前提，注意区分分式的乘除变形和加减变形，不要混淆分式运算与等式的加减变形规律。
【难度系数】
0.9
3. 下列判断中，正确的是(
A.分式的分子中一定含有字母
B.对于任意有理数$x$，分式$\frac{5}{2+x^2}$总有意义
C.分数一定是分式
D.当$A=0$时，分式$\frac{A}{B}$的值为$0(A,B$为整式$)$
B
).A.分式的分子中一定含有字母
B.对于任意有理数$x$，分式$\frac{5}{2+x^2}$总有意义
C.分数一定是分式
D.当$A=0$时，分式$\frac{A}{B}$的值为$0(A,B$为整式$)$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查分式的相关基础概念，解题时需先回忆分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件，再逐一核对每个选项，排除不符合概念的错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 分式的定义是分母中含有字母的整式，对分子没有必须含字母的要求，例如分式$\frac{1}{x}$的分子是常数1，不含字母，因此A错误。
B. 分式有意义的条件是分母不为0。对于分母$2+x^2$，由于任意有理数的平方都是非负数，即$x^2≥0$，因此$2+x^2≥2＞0$，分母永远不为0，所以对任意有理数$x$，该分式总有意义，因此B正确。
C. 分数的分母是固定的常数，不含字母，属于整式，不属于分式，因此C错误。
D. 分式$\frac{A}{B}$的值为0的前提是：分子$A=0$且分母$B≠0$，若缺少$B≠0$的条件，当$B=0$时分式无意义，无法讨论值为0，因此D错误。
综上，正确选项是B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义；分式有意义的条件；分式值为0的条件
【点评】
本题属于基础概念类习题，易错点在于容易忽略分式有意义的前提是分母不为0，判断相关结论时要牢记分母含字母是分式的核心特征，涉及分式值为0的问题必须同时满足分子为0、分母不为0两个条件。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的相关基础概念，解题时需先回忆分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件，再逐一核对每个选项，排除不符合概念的错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 分式的定义是分母中含有字母的整式，对分子没有必须含字母的要求，例如分式$\frac{1}{x}$的分子是常数1，不含字母，因此A错误。
B. 分式有意义的条件是分母不为0。对于分母$2+x^2$，由于任意有理数的平方都是非负数，即$x^2≥0$，因此$2+x^2≥2＞0$，分母永远不为0，所以对任意有理数$x$，该分式总有意义，因此B正确。
C. 分数的分母是固定的常数，不含字母，属于整式，不属于分式，因此C错误。
D. 分式$\frac{A}{B}$的值为0的前提是：分子$A=0$且分母$B≠0$，若缺少$B≠0$的条件，当$B=0$时分式无意义，无法讨论值为0，因此D错误。
综上，正确选项是B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义；分式有意义的条件；分式值为0的条件
【点评】
本题属于基础概念类习题，易错点在于容易忽略分式有意义的前提是分母不为0，判断相关结论时要牢记分母含字母是分式的核心特征，涉及分式值为0的问题必须同时满足分子为0、分母不为0两个条件。
【难度系数】
0.7
4. 计算$\dfrac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{4xy}$的结果为(
A.$1$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$0$
A
)。A.$1$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$0$
答案
4.A
解析
【分析】
要化简该分式，核心是先处理分子部分，有两种符合学段要求的解题思路：①利用完全平方公式把分子的两个平方项展开，合并同类项后再和分母约分；②将分子看作两个数的平方差，用平方差公式因式分解后再化简，计算时注意遵守去括号的符号规则即可。
【解析】
方法一：用完全平方公式计算
根据完全平方公式可得：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
代入分子得：
$\begin{aligned}\mathrm{分子}&=(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2)\\&=x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2\\&=4xy\end{aligned}$
由分式有意义可知$x≠0$且$y≠0$，因此原式$=\dfrac{4xy}{4xy}=1$。
方法二：用平方差公式计算
把$(x+y)$、$(x-y)$看作整体，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$可得：
$\begin{aligned}\mathrm{分子}&=(x+y+x-y)·[x+y-(x-y)]\\&=2x· 2y\\&=4xy\end{aligned}$
因此原式$=\dfrac{4xy}{4xy}=1$。
综上答案选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查整式乘法公式的应用和分式化简的规则，熟练掌握常用乘法公式、注意去括号的符号变化即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要化简该分式，核心是先处理分子部分，有两种符合学段要求的解题思路：①利用完全平方公式把分子的两个平方项展开，合并同类项后再和分母约分；②将分子看作两个数的平方差，用平方差公式因式分解后再化简，计算时注意遵守去括号的符号规则即可。
【解析】
方法一：用完全平方公式计算
根据完全平方公式可得：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
代入分子得：
$\begin{aligned}\mathrm{分子}&=(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2)\\&=x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2\\&=4xy\end{aligned}$
由分式有意义可知$x≠0$且$y≠0$，因此原式$=\dfrac{4xy}{4xy}=1$。
方法二：用平方差公式计算
把$(x+y)$、$(x-y)$看作整体，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$可得：
$\begin{aligned}\mathrm{分子}&=(x+y+x-y)·[x+y-(x-y)]\\&=2x· 2y\\&=4xy\end{aligned}$
因此原式$=\dfrac{4xy}{4xy}=1$。
综上答案选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查整式乘法公式的应用和分式化简的规则，熟练掌握常用乘法公式、注意去括号的符号变化即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5. 若$\frac{a+b}{ab}=\frac{A}{a^2b}$，则A应为（
A.$a$
B.$a^2+ab$
C.$a^2-ab$
D.$a+b$
B
）。A.$a$
B.$a^2+ab$
C.$a^2-ab$
D.$a+b$
答案
5.B
解析
【分析】
本题考查分式的恒等变形，解题时先观察等式两边的分母：左侧分母为$ab$，右侧分母为$a^2b$，可知右侧分母是左侧分母乘$a$得到的，根据分式的基本性质，要使分式的值不变，分子也需乘相同的$a$，将左侧分子$(a+b)$乘$a$即可求出$A$的值。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
首先看分母的变形：$a^2b = ab × a$，结合分式有意义的条件可知$a≠0$，$b≠0$，因此左侧分子也需要乘$a$才能保证等式成立，即：
$A=(a+b)× a=a^2+ab$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质，单项式乘多项式
【点评】
本题属于分式基础题型，解题关键是先明确分母的变形规律，再对分子做相同的恒等变形，熟练掌握分式基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的恒等变形，解题时先观察等式两边的分母：左侧分母为$ab$，右侧分母为$a^2b$，可知右侧分母是左侧分母乘$a$得到的，根据分式的基本性质，要使分式的值不变，分子也需乘相同的$a$，将左侧分子$(a+b)$乘$a$即可求出$A$的值。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
首先看分母的变形：$a^2b = ab × a$，结合分式有意义的条件可知$a≠0$，$b≠0$，因此左侧分子也需要乘$a$才能保证等式成立，即：
$A=(a+b)× a=a^2+ab$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质，单项式乘多项式
【点评】
本题属于分式基础题型，解题关键是先明确分母的变形规律，再对分子做相同的恒等变形，熟练掌握分式基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6. 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是$x$元，所得方程正确的是(
A.$\frac{240}{x} - \frac{240}{x+2}=10$
B.$\frac{240}{x} - \frac{240}{x-2}=10$
C.$\frac{240}{x-2} - \frac{240}{x}=10$
D.$\frac{240}{x+2} - \frac{240}{x}=10$
C
).A.$\frac{240}{x} - \frac{240}{x+2}=10$
B.$\frac{240}{x} - \frac{240}{x-2}=10$
C.$\frac{240}{x-2} - \frac{240}{x}=10$
D.$\frac{240}{x+2} - \frac{240}{x}=10$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先明确销售问题的基本数量关系：总价=单价×数量，变形可得数量=总价÷单价。首先设原价为x元，可得降价后的单价为(x-2)元，分别表示出降价前后240元可购买的粽子数量；再根据核心等量关系“降价后购买的数量 - 降价前购买的数量 = 10袋”，即可列出对应的方程。
【解析】
设每袋粽子的原价是x元，则降价后每袋粽子的售价为(x-2)元。
降价前240元可购买的粽子数量为：$\frac{240}{x}$ 袋；
降价后240元可购买的粽子数量为：$\frac{240}{x-2}$ 袋；
根据“降价后比降价前多购买10袋”的数量关系，可列方程：
$\frac{240}{x-2} - \frac{240}{x}=10$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 销售问题数量关系
【点评】
本题属于分式方程应用的基础题型，解题的核心是找准等量关系，注意区分降价前后的单价对应的购买数量，避免因混淆大小关系列反方程。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确销售问题的基本数量关系：总价=单价×数量，变形可得数量=总价÷单价。首先设原价为x元，可得降价后的单价为(x-2)元，分别表示出降价前后240元可购买的粽子数量；再根据核心等量关系“降价后购买的数量 - 降价前购买的数量 = 10袋”，即可列出对应的方程。
【解析】
设每袋粽子的原价是x元，则降价后每袋粽子的售价为(x-2)元。
降价前240元可购买的粽子数量为：$\frac{240}{x}$ 袋；
降价后240元可购买的粽子数量为：$\frac{240}{x-2}$ 袋；
根据“降价后比降价前多购买10袋”的数量关系，可列方程：
$\frac{240}{x-2} - \frac{240}{x}=10$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 销售问题数量关系
【点评】
本题属于分式方程应用的基础题型，解题的核心是找准等量关系，注意区分降价前后的单价对应的购买数量，避免因混淆大小关系列反方程。
【难度系数】
0.7
7. 分式方程$\frac{2}{x-1}=1-\frac{m}{x-1}$的解为正数，则$m$的取值范围为(
A.$m＞-3$
B.$m＞-3$且$m≠-2$
C.$m＜3$
D.$m＜3$且$m≠-2$
B
).A.$m＞-3$
B.$m＞-3$且$m≠-2$
C.$m＜3$
D.$m＜3$且$m≠-2$
答案
7.B
解析
【分析】
要确定m的取值范围，首先需要解这个分式方程，用含m的代数式表示出方程的解x，再根据“解为正数”列不等式求出m的初步范围，同时注意分式方程分母不能为0，要排除使分母为0的m的取值，最终得到正确的范围。
【解析】
解：第一步，去分母，方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（注意$x≠1$），得：
$2 = (x - 1) - m$
第二步，解关于x的一元一次方程：
移项整理得$x = 2 + 1 + m$，即$x = m + 3$
第三步，根据“方程的解为正数”列不等式：
$x ＞ 0$，即$m + 3 ＞ 0$，解得$m ＞ -3$
第四步，结合分式有意义的条件：分母$x-1≠0$，即$x≠1$
代入$x=m+3$得：$m + 3 ≠ 1$，解得$m ≠ -2$
综上，m的取值范围是$m＞-3$且$m≠-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程相关的典型题型，解题的关键是不要遗漏分式分母不为0的限制条件，很多同学容易只考虑解为正数的要求，忽略增根的情况导致错选。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值范围，首先需要解这个分式方程，用含m的代数式表示出方程的解x，再根据“解为正数”列不等式求出m的初步范围，同时注意分式方程分母不能为0，要排除使分母为0的m的取值，最终得到正确的范围。
【解析】
解：第一步，去分母，方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（注意$x≠1$），得：
$2 = (x - 1) - m$
第二步，解关于x的一元一次方程：
移项整理得$x = 2 + 1 + m$，即$x = m + 3$
第三步，根据“方程的解为正数”列不等式：
$x ＞ 0$，即$m + 3 ＞ 0$，解得$m ＞ -3$
第四步，结合分式有意义的条件：分母$x-1≠0$，即$x≠1$
代入$x=m+3$得：$m + 3 ≠ 1$，解得$m ≠ -2$
综上，m的取值范围是$m＞-3$且$m≠-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程相关的典型题型，解题的关键是不要遗漏分式分母不为0的限制条件，很多同学容易只考虑解为正数的要求，忽略增根的情况导致错选。
【难度系数】
0.7
8. 若$x$取整数，则使分式$\dfrac{6x+3}{2x-1}$的值为整数的$x$的值有（
A.3个
B.4个
C.6个
D.7个
B
）.A.3个
B.4个
C.6个
D.7个
答案
8.B
解析
【分析】
要解决分式值为整数的问题，我们可以用分离常数法对分式变形：先将分子用含分母的式子表示，把分式拆成“整数+分子为常数的分式”的形式，此时要让整个分式的值为整数，只需拆分后得到的小分式的值为整数即可，也就是分母是小分式分子的整数约数，再结合x是整数的条件筛选解，同时注意分母不能为0。
【解析】
首先对分式分离常数：
$\begin{aligned}\frac{6x+3}{2x-1}&=\frac{3(2x-1)+6}{2x-1}\\&=\frac{3(2x-1)}{2x-1}+\frac{6}{2x-1}\\&=3+\frac{6}{2x-1}\end{aligned}$
要使分式的值为整数，且x为整数，则$\frac{6}{2x-1}$必须为整数，即$2x-1$是6的整数约数。
6的所有整数约数为$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$，又因为$2x-1$是奇数（2x为偶数，偶数减1为奇数），所以符合条件的约数只有$\pm1,\pm3$：
1. 当$2x-1=1$时，解得$x=1$，是整数，符合要求；
2. 当$2x-1=-1$时，解得$x=0$，是整数，符合要求；
3. 当$2x-1=3$时，解得$x=2$，是整数，符合要求；
4. 当$2x-1=-3$时，解得$x=-1$，是整数，符合要求；
其余约数代入后x均不是整数，舍去。
综上，符合条件的x的值共有4个。
【答案】
B
【知识点】
分式化简，约数应用，分式值为整数的条件
【点评】
本题是分式相关的典型题型，核心解题方法是分离常数法，将复杂分式拆分为整式与简单分式的和后，结合约数性质即可快速求解，解题时要注意结合x为整数的条件筛选，避免漏算负约数或多算不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
要解决分式值为整数的问题，我们可以用分离常数法对分式变形：先将分子用含分母的式子表示，把分式拆成“整数+分子为常数的分式”的形式，此时要让整个分式的值为整数，只需拆分后得到的小分式的值为整数即可，也就是分母是小分式分子的整数约数，再结合x是整数的条件筛选解，同时注意分母不能为0。
【解析】
首先对分式分离常数：
$\begin{aligned}\frac{6x+3}{2x-1}&=\frac{3(2x-1)+6}{2x-1}\\&=\frac{3(2x-1)}{2x-1}+\frac{6}{2x-1}\\&=3+\frac{6}{2x-1}\end{aligned}$
要使分式的值为整数，且x为整数，则$\frac{6}{2x-1}$必须为整数，即$2x-1$是6的整数约数。
6的所有整数约数为$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$，又因为$2x-1$是奇数（2x为偶数，偶数减1为奇数），所以符合条件的约数只有$\pm1,\pm3$：
1. 当$2x-1=1$时，解得$x=1$，是整数，符合要求；
2. 当$2x-1=-1$时，解得$x=0$，是整数，符合要求；
3. 当$2x-1=3$时，解得$x=2$，是整数，符合要求；
4. 当$2x-1=-3$时，解得$x=-1$，是整数，符合要求；
其余约数代入后x均不是整数，舍去。
综上，符合条件的x的值共有4个。
【答案】
B
【知识点】
分式化简，约数应用，分式值为整数的条件
【点评】
本题是分式相关的典型题型，核心解题方法是分离常数法，将复杂分式拆分为整式与简单分式的和后，结合约数性质即可快速求解，解题时要注意结合x为整数的条件筛选，避免漏算负约数或多算不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
二、填空题
9. 化简：$\frac{x+1}{x^2 + 2x + 1} =$
9. 化简：$\frac{x+1}{x^2 + 2x + 1} =$
$\frac{1}{x+1}$
.答案
9.$\frac{1}{x+1}$
解析
【分析】
要化简该分式，首先观察分母的结构，分母是二次三项式，符合完全平方公式的形式，解题思路如下：第一步先对分母进行因式分解，第二步找出分子和分母的公因式，第三步在保证原分式有意义（即公因式不为0）的前提下，根据分式的基本性质约去公因式，即可得到最简结果。
【解析】
解：首先利用完全平方公式对分母因式分解，可得：
$x^2+2x+1=(x+1)^2$
代入原式得：
$\frac{x+1}{x^2 + 2x + 1}=\frac{x+1}{(x+1)^2}$
由原分式有意义可知$x+1≠0$，根据分式的基本性质，分子、分母同时除以公因式$x+1$，得：
$\frac{x+1÷(x+1)}{(x+1)^2÷(x+1)}=\frac{1}{x+1}$
【答案】
$\frac{1}{x+1}$
【知识点】
完全平方公式、分式约分、分式基本性质
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题核心是先将分子、分母中的多项式因式分解，再约去公因式，熟练掌握因式分解的常用方法和分式的约分规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要化简该分式，首先观察分母的结构，分母是二次三项式，符合完全平方公式的形式，解题思路如下：第一步先对分母进行因式分解，第二步找出分子和分母的公因式，第三步在保证原分式有意义（即公因式不为0）的前提下，根据分式的基本性质约去公因式，即可得到最简结果。
【解析】
解：首先利用完全平方公式对分母因式分解，可得：
$x^2+2x+1=(x+1)^2$
代入原式得：
$\frac{x+1}{x^2 + 2x + 1}=\frac{x+1}{(x+1)^2}$
由原分式有意义可知$x+1≠0$，根据分式的基本性质，分子、分母同时除以公因式$x+1$，得：
$\frac{x+1÷(x+1)}{(x+1)^2÷(x+1)}=\frac{1}{x+1}$
【答案】
$\frac{1}{x+1}$
【知识点】
完全平方公式、分式约分、分式基本性质
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题核心是先将分子、分母中的多项式因式分解，再约去公因式，熟练掌握因式分解的常用方法和分式的约分规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
10. 新考法 新定义问题 设※表示一种运算符号，规定$x※y=\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{(x+1)(y+a)}$，且$2※1=\dfrac{2}{3}$，则$a=$
1
，$9※8=$$\frac{1}{40}$
。答案
10.$1\quad\frac{1}{40}$
解析
【分析】
这是新定义运算类题目，解题分两步进行：第一步，先利用已知条件$2※1=\frac{2}{3}$，将$x=2$、$y=1$代入新定义的运算公式，得到关于$a$的分式方程，解分式方程并检验即可求出$a$的值；第二步，将求得的$a$代回运算公式，再把$x=9$、$y=8$代入，通过分式加减运算即可求出$9※8$的结果，计算时可通过通分或裂项技巧简化运算。
【解析】
1. 求$a$的值：
根据新定义的运算规则$x※y=\frac{1}{xy}+\frac{1}{(x+1)(y+a)}$，将$x=2$、$y=1$代入得：
$2※1=\frac{1}{2×1}+\frac{1}{(2+1)(1+a)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3(1+a)}$
已知$2※1=\frac{2}{3}$，可列方程：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3(1+a)}=\frac{2}{3}$
移项计算得：$\frac{1}{3(1+a)}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
两边同乘$3(1+a)$去分母得：$1=\frac{1+a}{2}$，解得$a=1$
检验：当$a=1$时，分母$3(1+a)=6≠0$，故$a=1$是原方程的解。
2. 计算$9※8$的值：
将$a=1$代回运算公式得$x※y=\frac{1}{xy}+\frac{1}{(x+1)(y+1)}$，代入$x=9$、$y=8$：
$9※8=\frac{1}{9×8}+\frac{1}{(9+1)(8+1)}=\frac{1}{72}+\frac{1}{90}$
通分计算：$\frac{1}{72}=\frac{5}{360}$，$\frac{1}{90}=\frac{4}{360}$，相加得$\frac{5+4}{360}=\frac{9}{360}=\frac{1}{40}$
【答案】
$1$；$\frac{1}{40}$
【知识点】
新定义运算，分式方程解法，分式加减运算
【点评】
本题核心是将新定义运算转化为熟悉的分式运算问题，解题关键是准确理解运算规则、正确代入数值，计算时要注意分式分母不为0的隐含条件，灵活运用运算技巧可提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
这是新定义运算类题目，解题分两步进行：第一步，先利用已知条件$2※1=\frac{2}{3}$，将$x=2$、$y=1$代入新定义的运算公式，得到关于$a$的分式方程，解分式方程并检验即可求出$a$的值；第二步，将求得的$a$代回运算公式，再把$x=9$、$y=8$代入，通过分式加减运算即可求出$9※8$的结果，计算时可通过通分或裂项技巧简化运算。
【解析】
1. 求$a$的值：
根据新定义的运算规则$x※y=\frac{1}{xy}+\frac{1}{(x+1)(y+a)}$，将$x=2$、$y=1$代入得：
$2※1=\frac{1}{2×1}+\frac{1}{(2+1)(1+a)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3(1+a)}$
已知$2※1=\frac{2}{3}$，可列方程：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3(1+a)}=\frac{2}{3}$
移项计算得：$\frac{1}{3(1+a)}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
两边同乘$3(1+a)$去分母得：$1=\frac{1+a}{2}$，解得$a=1$
检验：当$a=1$时，分母$3(1+a)=6≠0$，故$a=1$是原方程的解。
2. 计算$9※8$的值：
将$a=1$代回运算公式得$x※y=\frac{1}{xy}+\frac{1}{(x+1)(y+1)}$，代入$x=9$、$y=8$：
$9※8=\frac{1}{9×8}+\frac{1}{(9+1)(8+1)}=\frac{1}{72}+\frac{1}{90}$
通分计算：$\frac{1}{72}=\frac{5}{360}$，$\frac{1}{90}=\frac{4}{360}$，相加得$\frac{5+4}{360}=\frac{9}{360}=\frac{1}{40}$
【答案】
$1$；$\frac{1}{40}$
【知识点】
新定义运算，分式方程解法，分式加减运算
【点评】
本题核心是将新定义运算转化为熟悉的分式运算问题，解题关键是准确理解运算规则、正确代入数值，计算时要注意分式分母不为0的隐含条件，灵活运用运算技巧可提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
11. 若去分母解方程$\frac{x}{x-3}=2-\frac{3}{3-x}$时，出现增根，则增根为
$x=3$
。答案
11.$x=3$
解析
【分析】
要确定分式方程的增根，首先明确增根的两个核心判定条件：一是增根会使原分式方程的最简公分母为0，导致原分式无意义；二是增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根。解题时先找到原方程的最简公分母，令其为0得到可能的增根，再验证该值是否为去分母后整式方程的根即可。
【解析】
首先确定原分式方程的分母为$x-3$和$3-x=-(x-3)$，因此最简公分母为$x-3$。
根据增根的性质，令最简公分母为0，即$x-3=0$，解得$x=3$，这是可能的增根。
接下来验证：给原方程两边同时乘最简公分母$x-3$去分母，得：
$x = 2(x-3) + 3$
将$x=3$代入上述整式方程，左边$=3$，右边$=2×(3-3)+3=3$，左边=右边，说明$x=3$是去分母后整式方程的根，同时它使原分式方程的分母为0，因此是原方程的增根。
【答案】
$x=3$
【知识点】
分式方程的增根；分式有意义的条件；解分式方程
【点评】
本题是分式方程部分的基础常考题，核心考查对增根概念的理解，解题关键是熟练掌握增根的两个判定条件，按步骤推导即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要确定分式方程的增根，首先明确增根的两个核心判定条件：一是增根会使原分式方程的最简公分母为0，导致原分式无意义；二是增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根。解题时先找到原方程的最简公分母，令其为0得到可能的增根，再验证该值是否为去分母后整式方程的根即可。
【解析】
首先确定原分式方程的分母为$x-3$和$3-x=-(x-3)$，因此最简公分母为$x-3$。
根据增根的性质，令最简公分母为0，即$x-3=0$，解得$x=3$，这是可能的增根。
接下来验证：给原方程两边同时乘最简公分母$x-3$去分母，得：
$x = 2(x-3) + 3$
将$x=3$代入上述整式方程，左边$=3$，右边$=2×(3-3)+3=3$，左边=右边，说明$x=3$是去分母后整式方程的根，同时它使原分式方程的分母为0，因此是原方程的增根。
【答案】
$x=3$
【知识点】
分式方程的增根；分式有意义的条件；解分式方程
【点评】
本题是分式方程部分的基础常考题，核心考查对增根概念的理解，解题关键是熟练掌握增根的两个判定条件，按步骤推导即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
12.若$m$人$a$天可完成某项工程，且每个人的工作效率是相同的，则这样的$(m+n)$人完成这项工程所需的天数为
$\frac{am}{m+n}$
。答案
12.$\frac{am}{m+n}$
解析
【分析】
本题属于工程问题，解题核心是利用工作总量、工作效率、工作时间三者的关系推导。首先将总工作量设为单位“1”，先根据已知的人数和天数求出单人的日工作效率，再计算(m+n)人的总日工作效率，最后用总工作量除以总工作效率即可求出所需天数。
【解析】
解：设该项工程的总工作量为单位“1”。
1. 求单人日工作效率：
已知m人a天可完成工程，则m人1天完成的工作量为$\frac{1}{a}$，因此1人1天的工作效率为：
$\frac{1}{a} ÷ m = \frac{1}{am}$
2. 求(m+n)人的日总工作效率：
(m+n)人1天可完成的工作量为：
$(m+n) × \frac{1}{am} = \frac{m+n}{am}$
3. 求完成工程所需天数：
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，可得所需天数为：
$1 ÷ \frac{m+n}{am} = \frac{am}{m+n}$
【答案】
$\frac{am}{m+n}$
【知识点】
1. 工程问题基本公式
2. 分式的运算
3. 列代数式
【点评】
本题是工程问题的典型应用，解题关键是抓住单人工作效率不变的特点，结合三个工作量的关系列式求解，计算时要注意分式除法的运算规则，避免分子分母位置颠倒出错。
【难度系数】
0.7
本题属于工程问题，解题核心是利用工作总量、工作效率、工作时间三者的关系推导。首先将总工作量设为单位“1”，先根据已知的人数和天数求出单人的日工作效率，再计算(m+n)人的总日工作效率，最后用总工作量除以总工作效率即可求出所需天数。
【解析】
解：设该项工程的总工作量为单位“1”。
1. 求单人日工作效率：
已知m人a天可完成工程，则m人1天完成的工作量为$\frac{1}{a}$，因此1人1天的工作效率为：
$\frac{1}{a} ÷ m = \frac{1}{am}$
2. 求(m+n)人的日总工作效率：
(m+n)人1天可完成的工作量为：
$(m+n) × \frac{1}{am} = \frac{m+n}{am}$
3. 求完成工程所需天数：
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，可得所需天数为：
$1 ÷ \frac{m+n}{am} = \frac{am}{m+n}$
【答案】
$\frac{am}{m+n}$
【知识点】
1. 工程问题基本公式
2. 分式的运算
3. 列代数式
【点评】
本题是工程问题的典型应用，解题关键是抓住单人工作效率不变的特点，结合三个工作量的关系列式求解，计算时要注意分式除法的运算规则，避免分子分母位置颠倒出错。
【难度系数】
0.7
13. 已知关于$x$的方程$\frac{2x+m}{x-2}=3$的解是正数，则$m$的取值范围为
$m＞-6$且$m≠-4$
。答案
13.$m＞-6$且$m≠-4$
解析
【分析】
要确定m的取值范围，首先需要解这个分式方程，用含m的代数式表示出x，再根据“解是正数”列出关于m的不等式，同时要注意分式方程的分母不能为0，避免出现增根，最后结合两个条件得到m的取值范围。
【解析】
解：首先对分式方程去分母，两边同乘最简公分母$(x-2)$（注意$x≠2$，否则分式无意义），得：
$2x + m = 3(x - 2)$
展开右边得：$2x + m = 3x - 6$
移项合并同类项得：$x = m + 6$
因为方程的解是正数，所以$x＞0$，即：
$m + 6 ＞ 0$，解得$m ＞ -6$
又因为分母不能为0，所以$x≠2$，即：
$m + 6 ≠ 2$，解得$m ≠ -4$
综上可得m的取值范围。
【答案】
$m＞-6$且$m≠-4$
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程含参问题的常考题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，漏掉$m≠-4$的限制，解题时求出方程的解后，一定要结合增根的限制条件筛选参数的取值范围。
【难度系数】
0.65
要确定m的取值范围，首先需要解这个分式方程，用含m的代数式表示出x，再根据“解是正数”列出关于m的不等式，同时要注意分式方程的分母不能为0，避免出现增根，最后结合两个条件得到m的取值范围。
【解析】
解：首先对分式方程去分母，两边同乘最简公分母$(x-2)$（注意$x≠2$，否则分式无意义），得：
$2x + m = 3(x - 2)$
展开右边得：$2x + m = 3x - 6$
移项合并同类项得：$x = m + 6$
因为方程的解是正数，所以$x＞0$，即：
$m + 6 ＞ 0$，解得$m ＞ -6$
又因为分母不能为0，所以$x≠2$，即：
$m + 6 ≠ 2$，解得$m ≠ -4$
综上可得m的取值范围。
【答案】
$m＞-6$且$m≠-4$
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程含参问题的常考题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，漏掉$m≠-4$的限制，解题时求出方程的解后，一定要结合增根的限制条件筛选参数的取值范围。
【难度系数】
0.65
14. 将分式$\frac{x^3 + y^3}{2x + 3y}$（$x$，$y$均为正数）中的字母$x$，$y$都扩大为原来的2倍，则分式的值
扩大为原来的4倍
。答案
14.扩大为原来的4倍
解析
【分析】
解决这类字母扩大倍数的分式变化问题，核心思路是先将扩大后的字母代入原分式，再利用运算法则化简新分式，最后将化简结果和原分式对比，就能得到分式值的变化情况。具体步骤为：①把x、y替换为扩大后的2x、2y；②分别计算新分式的分子、分母，利用积的乘方、提取公因式等方法化简；③对比新分式与原分式的倍数关系。
【解析】
将x、y都扩大为原来的2倍，即把原分式中的x替换为2x，y替换为2y，代入得新分式：
分子部分：$(2x)^3 + (2y)^3 = 8x^3 + 8y^3 = 8(x^3 + y^3)$
分母部分：$2×(2x) + 3×(2y) = 4x + 6y = 2(2x + 3y)$
则新分式为：
$\frac{8(x^3 + y^3)}{2(2x + 3y)} = 4×\frac{x^3 + y^3}{2x + 3y}$
对比原分式可知，新分式的值是原分式值的4倍。
【答案】
扩大为原来的4倍
【知识点】
分式的化简、积的乘方运算、分式基本性质
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，考查对代数式变化规律的掌握，解题时要注意分别计算分子和分母的变化倍数，不能直接想当然判断整体的扩缩倍数，准确代入、正确化简是得分关键。
【难度系数】
0.7
解决这类字母扩大倍数的分式变化问题，核心思路是先将扩大后的字母代入原分式，再利用运算法则化简新分式，最后将化简结果和原分式对比，就能得到分式值的变化情况。具体步骤为：①把x、y替换为扩大后的2x、2y；②分别计算新分式的分子、分母，利用积的乘方、提取公因式等方法化简；③对比新分式与原分式的倍数关系。
【解析】
将x、y都扩大为原来的2倍，即把原分式中的x替换为2x，y替换为2y，代入得新分式：
分子部分：$(2x)^3 + (2y)^3 = 8x^3 + 8y^3 = 8(x^3 + y^3)$
分母部分：$2×(2x) + 3×(2y) = 4x + 6y = 2(2x + 3y)$
则新分式为：
$\frac{8(x^3 + y^3)}{2(2x + 3y)} = 4×\frac{x^3 + y^3}{2x + 3y}$
对比原分式可知，新分式的值是原分式值的4倍。
【答案】
扩大为原来的4倍
【知识点】
分式的化简、积的乘方运算、分式基本性质
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，考查对代数式变化规律的掌握，解题时要注意分别计算分子和分母的变化倍数，不能直接想当然判断整体的扩缩倍数，准确代入、正确化简是得分关键。
【难度系数】
0.7
15.某市在旧城改造的过程中，需要整修一段全长2400m的道路.为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8h完成任务.求原计划每小时修路的长度.若设原计划每小时修路x m，则根据题意可得方程
$\frac{2400}{x}-\frac{2400}{(1+20\%)x}=8$
.答案
15.$\frac{2400}{x}-\frac{2400}{(1+20\%)x}=8$
解析
【分析】
这是一道工程类分式方程列写题，解题核心是找准题目中的等量关系。首先回忆工程问题的基本公式：工作时间=工作总量÷工作效率，本题的核心等量关系为“原计划工作时间 - 实际工作时间 = 提前的8小时”。解题时第一步先根据原计划的工作效率，用含x的式子表示原计划完成任务的总时间；第二步根据实际工作效率和原计划的关系，表示出实际工作效率，再写出实际的工作时间；第三步将两个时间代入时间差的等量关系，即可得到对应的方程。
【解析】
解：工程问题的基本数量关系为：$\mathrm{工作时间}=\frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$
1. 求原计划工作时间：
已知道路全长2400m，原计划每小时修路$x\ \mathrm{m}$，因此原计划完成任务的时间为$\frac{2400}{x}\ \mathrm{h}$。
2. 求实际工作时间：
实际工作效率比原计划提高20%，因此实际每小时修路长度为$(1+20\%)x\ \mathrm{m}$，实际完成任务的时间为$\frac{2400}{(1+20\%)x}\ \mathrm{h}$。
3. 代入等量关系列方程：
已知实际比原计划提前8h完成，即原计划用时减去实际用时等于8h，代入得：
$\frac{2400}{x}-\frac{2400}{(1+20\%)x}=8$
【答案】
$\frac{2400}{x}-\frac{2400}{(1+20\%)x}=8$
【知识点】
1. 工程问题数量关系
2. 分式方程的实际应用
【点评】
本题是工程类应用题的基础典型题，主要考察梳理题目条件、提取等量关系的能力，解题时要注意区分原计划和实际的工作效率，避免混淆两个时间的大小关系导致列反减式。
【难度系数】
0.7
这是一道工程类分式方程列写题，解题核心是找准题目中的等量关系。首先回忆工程问题的基本公式：工作时间=工作总量÷工作效率，本题的核心等量关系为“原计划工作时间 - 实际工作时间 = 提前的8小时”。解题时第一步先根据原计划的工作效率，用含x的式子表示原计划完成任务的总时间；第二步根据实际工作效率和原计划的关系，表示出实际工作效率，再写出实际的工作时间；第三步将两个时间代入时间差的等量关系，即可得到对应的方程。
【解析】
解：工程问题的基本数量关系为：$\mathrm{工作时间}=\frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$
1. 求原计划工作时间：
已知道路全长2400m，原计划每小时修路$x\ \mathrm{m}$，因此原计划完成任务的时间为$\frac{2400}{x}\ \mathrm{h}$。
2. 求实际工作时间：
实际工作效率比原计划提高20%，因此实际每小时修路长度为$(1+20\%)x\ \mathrm{m}$，实际完成任务的时间为$\frac{2400}{(1+20\%)x}\ \mathrm{h}$。
3. 代入等量关系列方程：
已知实际比原计划提前8h完成，即原计划用时减去实际用时等于8h，代入得：
$\frac{2400}{x}-\frac{2400}{(1+20\%)x}=8$
【答案】
$\frac{2400}{x}-\frac{2400}{(1+20\%)x}=8$
【知识点】
1. 工程问题数量关系
2. 分式方程的实际应用
【点评】
本题是工程类应用题的基础典型题，主要考察梳理题目条件、提取等量关系的能力，解题时要注意区分原计划和实际的工作效率，避免混淆两个时间的大小关系导致列反减式。
【难度系数】
0.7
