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三、解答题
19. 把下列式分解因式：
(1)$2x^3 - 8x$；
(2)$5a^2b - 20ab^2 + 20b^3$；
(3)$(x^2 + 1)^2 - (x^2 - 9)^2$。
19. 把下列式分解因式：
(1)$2x^3 - 8x$；
(2)$5a^2b - 20ab^2 + 20b^3$；
(3)$(x^2 + 1)^2 - (x^2 - 9)^2$。
答案
19.(1)原式$=2x(x^2 - 4) = 2x(x + 2)(x - 2).$
(2)原式$=5b(a^2 - 4ab + 4b^2) = 5b(a - 2b)^2.$
(3)原式$=(x^2 + 1 - x^2 + 9)(x^2 + 1 + x^2 - 9) = 10(2x^2 - 8) = 20(x^2 - 4) = 20(x + 2)(x - 2).$
(2)原式$=5b(a^2 - 4ab + 4b^2) = 5b(a - 2b)^2.$
(3)原式$=(x^2 + 1 - x^2 + 9)(x^2 + 1 + x^2 - 9) = 10(2x^2 - 8) = 20(x^2 - 4) = 20(x + 2)(x - 2).$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的解题步骤：第一步先提取多项式的公因式，第二步观察提取公因式后的式子是否符合平方差公式或完全平方公式的特征，套用对应公式继续分解，第三步检查最终结果是否分解到每个因式都不能再分解为止。
(1) 先观察到两项都含公因式2x，先提取公因式，剩余的$x^2-4$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，继续分解即可；
(2) 三项都含公因式5b，先提取公因式，剩余的$a^2-4ab+4b^2$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，套用公式分解即可；
(3) 原式是两个整式的平方差，先直接套用平方差公式分解，化简得到的因式后，还要继续检查是否能提取公因式、套用公式，直到分解彻底为止。
【解析】
(1) 先提取公因式，再用平方差公式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2x(x^2 - 4)\\&=2x(x + 2)(x - 2)\end{aligned}$
(2) 先提取公因式，再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=5b(a^2 - 4ab + 4b^2)\\&=5b(a - 2b)^2\end{aligned}$
(3) 先用平方差公式分解，再化简、继续分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2 + 1 - x^2 + 9)(x^2 + 1 + x^2 - 9)\\&=10(2x^2 - 8)\\&=20(x^2 - 4)\\&=20(x + 2)(x - 2)\end{aligned}$
【答案】
(1)$2x(x + 2)(x - 2)$；
(2)$5b(a - 2b)^2$；
(3)$20(x + 2)(x - 2)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的操作顺序，解题时要注意必须分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提二套三查”的解题步骤：第一步先提取多项式的公因式，第二步观察提取公因式后的式子是否符合平方差公式或完全平方公式的特征，套用对应公式继续分解，第三步检查最终结果是否分解到每个因式都不能再分解为止。
(1) 先观察到两项都含公因式2x，先提取公因式，剩余的$x^2-4$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，继续分解即可；
(2) 三项都含公因式5b，先提取公因式，剩余的$a^2-4ab+4b^2$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，套用公式分解即可；
(3) 原式是两个整式的平方差，先直接套用平方差公式分解，化简得到的因式后，还要继续检查是否能提取公因式、套用公式，直到分解彻底为止。
【解析】
(1) 先提取公因式，再用平方差公式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2x(x^2 - 4)\\&=2x(x + 2)(x - 2)\end{aligned}$
(2) 先提取公因式，再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=5b(a^2 - 4ab + 4b^2)\\&=5b(a - 2b)^2\end{aligned}$
(3) 先用平方差公式分解，再化简、继续分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2 + 1 - x^2 + 9)(x^2 + 1 + x^2 - 9)\\&=10(2x^2 - 8)\\&=20(x^2 - 4)\\&=20(x + 2)(x - 2)\end{aligned}$
【答案】
(1)$2x(x + 2)(x - 2)$；
(2)$5b(a - 2b)^2$；
(3)$20(x + 2)(x - 2)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的操作顺序，解题时要注意必须分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
20. 先阅读，再分解因式：
$x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2$
$= (x^2 + 2)^2 - (2x)^2$
$= (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$
仿照这种方法把多项式 $x^4 + 64$ 分解因式。
$x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2$
$= (x^2 + 2)^2 - (2x)^2$
$= (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$
仿照这种方法把多项式 $x^4 + 64$ 分解因式。
答案
20.$x^4 + 64 = (x^4 + 16x^2 + 64) - 16x^2$
$=(x^2 + 8)^2 - (4x)^2$
$=(x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8).$
$=(x^2 + 8)^2 - (4x)^2$
$=(x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8).$
解析
【分析】
这是一道材料模仿类的因式分解题，解题思路可参照给出的例题：首先对四次二项式采用添项法，先添加合适的二次项将原式凑成完全平方形式，再减去添加的项保证原式值不变，此时原式转化为平方差的结构，最后用平方差公式完成分解。对于$x^4+64$，$x^4=(x^2)^2$，$64=8^2$，对应完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，缺少的中间项为$2· x^2·8=16x^2$，因此我们添$16x^2$再减$16x^2$即可按上述思路分解。
【解析】
解：
$x^4 + 64$
$= (x^4 + 16x^2 + 64) - 16x^2$
$=(x^2 + 8)^2 - (4x)^2$
$=(x^2 + 8 - 4x)(x^2 + 8 + 4x)$
$=(x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8)$
【答案】
$(x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8)$
【知识点】
添项法因式分解；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题考查阅读迁移能力，关键是读懂例题中“添项构造完全平方，转化为平方差分解”的方法，解题时要注意添项后必须减去相同的项以保证原式的值不变，分解后要检查因式是否能继续分解，确保分解彻底。
【难度系数】
0.7
这是一道材料模仿类的因式分解题，解题思路可参照给出的例题：首先对四次二项式采用添项法，先添加合适的二次项将原式凑成完全平方形式，再减去添加的项保证原式值不变，此时原式转化为平方差的结构，最后用平方差公式完成分解。对于$x^4+64$，$x^4=(x^2)^2$，$64=8^2$，对应完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，缺少的中间项为$2· x^2·8=16x^2$，因此我们添$16x^2$再减$16x^2$即可按上述思路分解。
【解析】
解：
$x^4 + 64$
$= (x^4 + 16x^2 + 64) - 16x^2$
$=(x^2 + 8)^2 - (4x)^2$
$=(x^2 + 8 - 4x)(x^2 + 8 + 4x)$
$=(x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8)$
【答案】
$(x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8)$
【知识点】
添项法因式分解；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题考查阅读迁移能力，关键是读懂例题中“添项构造完全平方，转化为平方差分解”的方法，解题时要注意添项后必须减去相同的项以保证原式的值不变，分解后要检查因式是否能继续分解，确保分解彻底。
【难度系数】
0.7
21.已知整式$A=x(x+3)+5$，整式$B=ax-1$.
(1)若$A+B=(x-2)^2$，求$a$的值；
(2)若$A-B$可以分解为$(x-2)(x-3)$，求$a$的值.
(1)若$A+B=(x-2)^2$，求$a$的值；
(2)若$A-B$可以分解为$(x-2)(x-3)$，求$a$的值.
答案
21.(1)$\because A = x(x + 3) + 5 = x^2 + 3x + 5,$
$\therefore A + B = x^2 + 3x + 5 + ax - 1 = x^2 + (3 + a)x + 4.$
$\because A + B = (x - 2)^2,$
$\therefore x^2 - 4x + 4 = x^2 + (3 + a)x + 4,$
$\therefore 3 + a = -4,\therefore a = -7.$
(2)$\because A = x^2 + 3x + 5,B = ax - 1,$
$\therefore A - B = x^2 + 3x + 5 - (ax - 1) = x^2 + (3 - a)x + 6.$
$\because A - B$ 可以分解为$(x - 2)(x - 3),$
$\therefore x^2 + (3 - a)x + 6 = (x - 2)(x - 3) = x^2 - 5x + 6,$
$\therefore 3 - a = -5,\therefore a = 8.$
$\therefore A + B = x^2 + 3x + 5 + ax - 1 = x^2 + (3 + a)x + 4.$
$\because A + B = (x - 2)^2,$
$\therefore x^2 - 4x + 4 = x^2 + (3 + a)x + 4,$
$\therefore 3 + a = -4,\therefore a = -7.$
(2)$\because A = x^2 + 3x + 5,B = ax - 1,$
$\therefore A - B = x^2 + 3x + 5 - (ax - 1) = x^2 + (3 - a)x + 6.$
$\because A - B$ 可以分解为$(x - 2)(x - 3),$
$\therefore x^2 + (3 - a)x + 6 = (x - 2)(x - 3) = x^2 - 5x + 6,$
$\therefore 3 - a = -5,\therefore a = 8.$
解析
【分析】
本题两小问均围绕整式运算与多项式相等的性质求解。解题思路：①先将整式A化简为标准的二次三项式形式；②根据题目要求分别计算A+B、A-B，合并同类项后也整理为标准二次三项式；③将等式右侧的多项式展开为标准形式，根据两个多项式相等时对应项的系数相等，列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
(1) 先化简整式$A$：
$A = x(x + 3) + 5 = x^2 + 3x + 5$
计算$A+B$：
$A + B = x^2 + 3x + 5 + ax - 1 = x^2 + (3 + a)x + 4$
将右侧$(x-2)^2$展开得：$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$
由$A+B=(x-2)^2$可得：
$x^2 + (3 + a)x + 4 = x^2 - 4x + 4$
两个多项式相等则对应项系数相等，即$3 + a = -4$，解得$a = -7$。
(2) 计算$A-B$：
$A - B = x^2 + 3x + 5 - (ax - 1) = x^2 + 3x + 5 - ax + 1 = x^2 + (3 - a)x + 6$
将右侧$(x-2)(x-3)$展开得：$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$
由$A-B$可分解为$(x-2)(x-3)$可得：
$x^2 + (3 - a)x + 6 = x^2 - 5x + 6$
两个多项式相等则对应项系数相等，即$3 - a = -5$，解得$a = 8$。
【答案】
(1)$a=-7$；(2)$a=8$
【知识点】
整式的加减运算；多项式相等的条件；因式分解的意义
【点评】
本题属于整式运算与因式分解的综合基础题，核心考查多项式相等时对应项系数相等的性质，解题时需注意去括号的符号问题，正确化简整式是求解的关键。
【难度系数】
0.75
本题两小问均围绕整式运算与多项式相等的性质求解。解题思路：①先将整式A化简为标准的二次三项式形式；②根据题目要求分别计算A+B、A-B，合并同类项后也整理为标准二次三项式；③将等式右侧的多项式展开为标准形式，根据两个多项式相等时对应项的系数相等，列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
(1) 先化简整式$A$：
$A = x(x + 3) + 5 = x^2 + 3x + 5$
计算$A+B$：
$A + B = x^2 + 3x + 5 + ax - 1 = x^2 + (3 + a)x + 4$
将右侧$(x-2)^2$展开得：$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$
由$A+B=(x-2)^2$可得：
$x^2 + (3 + a)x + 4 = x^2 - 4x + 4$
两个多项式相等则对应项系数相等，即$3 + a = -4$，解得$a = -7$。
(2) 计算$A-B$：
$A - B = x^2 + 3x + 5 - (ax - 1) = x^2 + 3x + 5 - ax + 1 = x^2 + (3 - a)x + 6$
将右侧$(x-2)(x-3)$展开得：$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$
由$A-B$可分解为$(x-2)(x-3)$可得：
$x^2 + (3 - a)x + 6 = x^2 - 5x + 6$
两个多项式相等则对应项系数相等，即$3 - a = -5$，解得$a = 8$。
【答案】
(1)$a=-7$；(2)$a=8$
【知识点】
整式的加减运算；多项式相等的条件；因式分解的意义
【点评】
本题属于整式运算与因式分解的综合基础题，核心考查多项式相等时对应项系数相等的性质，解题时需注意去括号的符号问题，正确化简整式是求解的关键。
【难度系数】
0.75
22. 若$m^2 + 2mn + 2n^2 -6n +9=0$，求$\frac{m}{n^2}$的值.
解:因为$m^2 +2mn +2n^2 -6n +9=0$，
所以$(m+n)^2 + (n-3)^2=0$，
即$(m+n)^2=0,(n-3)^2=0$，
所以$n=3,m=-3$，
所以$\frac{m}{n^2}=\frac{-3}{9}=-\frac{1}{3}$.
根据你的观察,探究下面的问题.
(1)若$x^2 +4x +4 + y^2 -8y +16=0$,求$\frac{y}{x}$的值;
(2)已知$x^2 +2y^2 -2xy +2y +1=0$,求$x +2y$的值;
(3)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,且满足$a^2 +b^2 -8b -10a +41=0$,求$△ ABC$中最长边$c$的取值范围.
解:因为$m^2 +2mn +2n^2 -6n +9=0$，
所以$(m+n)^2 + (n-3)^2=0$，
即$(m+n)^2=0,(n-3)^2=0$，
所以$n=3,m=-3$，
所以$\frac{m}{n^2}=\frac{-3}{9}=-\frac{1}{3}$.
根据你的观察,探究下面的问题.
(1)若$x^2 +4x +4 + y^2 -8y +16=0$,求$\frac{y}{x}$的值;
(2)已知$x^2 +2y^2 -2xy +2y +1=0$,求$x +2y$的值;
(3)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,且满足$a^2 +b^2 -8b -10a +41=0$,求$△ ABC$中最长边$c$的取值范围.
答案
22.(1)因为$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = 0,$
所以$(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 0,$
所以$(x + 2)^2 = 0,(y - 4)^2 = 0,$
所以$x = -2,y = 4,$所以$\frac{y}{x} = -2.$
(2)因为$x^2 + 2y^2 - 2xy + 2y + 1 = 0,$
所以$x^2 - 2xy + y^2 + y^2 + 2y + 1 = 0.$
所以$(x - y)^2 + (y + 1)^2 = 0,$
所以$(x - y)^2 = 0,(y + 1)^2 = 0,$
所以$x = -1,y = -1,$所以$x + 2y = -3.$
(3)因为$a^2 + b^2 - 8b - 10a + 41 = 0,$
所以$(a - 5)^2 + (b - 4)^2 = 0,$
所以$(a - 5)^2 = 0,(b - 4)^2 = 0,$所以$a = 5,b = 4,$
所以$△ ABC$ 中最长边 $c$ 的取值范围是 $5≤ c＜9.$
所以$(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 0,$
所以$(x + 2)^2 = 0,(y - 4)^2 = 0,$
所以$x = -2,y = 4,$所以$\frac{y}{x} = -2.$
(2)因为$x^2 + 2y^2 - 2xy + 2y + 1 = 0,$
所以$x^2 - 2xy + y^2 + y^2 + 2y + 1 = 0.$
所以$(x - y)^2 + (y + 1)^2 = 0,$
所以$(x - y)^2 = 0,(y + 1)^2 = 0,$
所以$x = -1,y = -1,$所以$x + 2y = -3.$
(3)因为$a^2 + b^2 - 8b - 10a + 41 = 0,$
所以$(a - 5)^2 + (b - 4)^2 = 0,$
所以$(a - 5)^2 = 0,(b - 4)^2 = 0,$所以$a = 5,b = 4,$
所以$△ ABC$ 中最长边 $c$ 的取值范围是 $5≤ c＜9.$
解析
【分析】
这三道题均为配方法的应用题型，解题核心思路为：先将原式通过拆分、重组，转化为几个完全平方式相加等于0的形式，再利用平方的非负性（任意实数的平方≥0），若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，求出对应未知数的值，最后结合各题要求计算结果，第三题还需结合三角形三边关系、最长边的限制条件求解。
【解析】
(1) 对已知等式左边配方：
因为$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = 0,$
所以$(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 0,$
根据平方的非负性可得$(x + 2)^2 = 0,(y - 4)^2 = 0,$
解得$x = -2,y = 4,$
代入得$\frac{y}{x} = \frac{4}{-2}=-2$。
(2) 对已知等式拆分配方：
因为$x^2 + 2y^2 - 2xy + 2y + 1 = 0,$
将$2y^2$拆分为$y^2+y^2$，重组得$x^2 - 2xy + y^2 + y^2 + 2y + 1 = 0,$
所以$(x - y)^2 + (y + 1)^2 = 0,$
根据平方的非负性可得$(x - y)^2 = 0,(y + 1)^2 = 0,$
解得$y=-1,x=y=-1,$
代入得$x + 2y = -1+2×(-1)=-3$。
(3) 对已知等式左边配方：
因为$a^2 + b^2 - 8b - 10a + 41 = 0,$
拆分重组得$a^2-10a+25 + b^2-8b+16=0,$
所以$(a - 5)^2 + (b - 4)^2 = 0,$
根据平方的非负性可得$(a - 5)^2 = 0,(b - 4)^2 = 0,$
解得$a = 5,b = 4,$
因为$c$是$△ ABC$的最长边，所以$c≥ a=5$，
结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”得$c ＜ a+b=5+4=9$，
故最长边$c$的取值范围是$5≤ c＜9$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$
(2) $\boldsymbol{-3}$
(3) $\boldsymbol{5≤ c ＜9}$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题重点考查配方法的灵活使用，解题关键是将多项式合理拆分组合为完全平方式，再结合非负数性质求解未知量，最后一问需注意“最长边”的限制条件，避免漏写$c≥5$的要求。
【难度系数】
0.7
这三道题均为配方法的应用题型，解题核心思路为：先将原式通过拆分、重组，转化为几个完全平方式相加等于0的形式，再利用平方的非负性（任意实数的平方≥0），若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，求出对应未知数的值，最后结合各题要求计算结果，第三题还需结合三角形三边关系、最长边的限制条件求解。
【解析】
(1) 对已知等式左边配方：
因为$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = 0,$
所以$(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 0,$
根据平方的非负性可得$(x + 2)^2 = 0,(y - 4)^2 = 0,$
解得$x = -2,y = 4,$
代入得$\frac{y}{x} = \frac{4}{-2}=-2$。
(2) 对已知等式拆分配方：
因为$x^2 + 2y^2 - 2xy + 2y + 1 = 0,$
将$2y^2$拆分为$y^2+y^2$，重组得$x^2 - 2xy + y^2 + y^2 + 2y + 1 = 0,$
所以$(x - y)^2 + (y + 1)^2 = 0,$
根据平方的非负性可得$(x - y)^2 = 0,(y + 1)^2 = 0,$
解得$y=-1,x=y=-1,$
代入得$x + 2y = -1+2×(-1)=-3$。
(3) 对已知等式左边配方：
因为$a^2 + b^2 - 8b - 10a + 41 = 0,$
拆分重组得$a^2-10a+25 + b^2-8b+16=0,$
所以$(a - 5)^2 + (b - 4)^2 = 0,$
根据平方的非负性可得$(a - 5)^2 = 0,(b - 4)^2 = 0,$
解得$a = 5,b = 4,$
因为$c$是$△ ABC$的最长边，所以$c≥ a=5$，
结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”得$c ＜ a+b=5+4=9$，
故最长边$c$的取值范围是$5≤ c＜9$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$
(2) $\boldsymbol{-3}$
(3) $\boldsymbol{5≤ c ＜9}$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题重点考查配方法的灵活使用，解题关键是将多项式合理拆分组合为完全平方式，再结合非负数性质求解未知量，最后一问需注意“最长边”的限制条件，避免漏写$c≥5$的要求。
【难度系数】
0.7
