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14. 如图，已知∠1=∠2=∠3=62°，则∠4=
118°
。答案
14. 118°
解析
【分析】
解题时先观察已知角的位置关系：∠1和∠3是两条水平直线被左侧斜线截得的同位角，已知二者相等，可先判定两条水平直线平行；再利用平行线的性质，可得∠2与∠4的邻补角相等，最后结合邻补角和为180°即可求出∠4的度数。
【解析】
解：
∵∠1=∠3=62°（已知）
∴两条水平直线互相平行（同位角相等，两直线平行）
∴∠4的邻补角=∠2=62°（两直线平行，同位角相等）
∴∠4=180°-62°=118°
【答案】
118°
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；邻补角
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础综合题，解题关键是准确识别同位角，先判断直线平行再利用平行线性质推导角的关系，是相交线与平行线章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.75
解题时先观察已知角的位置关系：∠1和∠3是两条水平直线被左侧斜线截得的同位角，已知二者相等，可先判定两条水平直线平行；再利用平行线的性质，可得∠2与∠4的邻补角相等，最后结合邻补角和为180°即可求出∠4的度数。
【解析】
解：
∵∠1=∠3=62°（已知）
∴两条水平直线互相平行（同位角相等，两直线平行）
∴∠4的邻补角=∠2=62°（两直线平行，同位角相等）
∴∠4=180°-62°=118°
【答案】
118°
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；邻补角
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础综合题，解题关键是准确识别同位角，先判断直线平行再利用平行线性质推导角的关系，是相交线与平行线章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.75
15. 将两张长方形纸片如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则$∠ 1 + ∠ 2 =$
90°
。答案
15. 90°
解析
【分析】
首先观察图形可知，摆放的两个图形都是长方形，长方形具有对边互相平行、四个内角均为直角的性质。要求∠1+∠2的度数，我们可以利用平行线的内错角相等的性质，将∠1转化到与∠2、长方形直角共线的平角位置，再结合平角为180°的性质即可推导求解。
【解析】
解：根据长方形对边平行的性质，可得∠1与它下方的内错角相等，记该角为∠3，即∠1=∠3。
由于下方长方形的边为直线，因此∠3、上方长方形的直角、∠2共同构成平角，即：
$∠ 3 + 90° + ∠ 2 = 180°$
将$∠ 3=∠ 1$代入上式，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - 90° = 90°$
【答案】
$90°$
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 平角、直角的定义
【点评】
本题属于几何基础应用题型，解题的关键是挖掘长方形隐含的平行和直角条件，通过角的等量转化建立待求角的关系，是平行线章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知，摆放的两个图形都是长方形，长方形具有对边互相平行、四个内角均为直角的性质。要求∠1+∠2的度数，我们可以利用平行线的内错角相等的性质，将∠1转化到与∠2、长方形直角共线的平角位置，再结合平角为180°的性质即可推导求解。
【解析】
解：根据长方形对边平行的性质，可得∠1与它下方的内错角相等，记该角为∠3，即∠1=∠3。
由于下方长方形的边为直线，因此∠3、上方长方形的直角、∠2共同构成平角，即：
$∠ 3 + 90° + ∠ 2 = 180°$
将$∠ 3=∠ 1$代入上式，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - 90° = 90°$
【答案】
$90°$
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 平角、直角的定义
【点评】
本题属于几何基础应用题型，解题的关键是挖掘长方形隐含的平行和直角条件，通过角的等量转化建立待求角的关系，是平行线章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
16. 如图，AB//CD，则∠1+∠3−∠2的度数等于
180°
。答案
16. 180°
解析
【分析】
解题时首先利用平行线的性质得到相关角的等量关系，再结合邻补角、对顶角的性质，将所求的角关联到三角形的内角中，最后利用三角形内角和定理建立等式，化简后即可求出∠1+∠3−∠2的度数。具体思考步骤：1. 由AB//CD得内错角∠BAF=∠AFD，结合∠1与∠BAF是邻补角，推出∠EFC=180°−∠1；2. 由∠3与∠ECF是邻补角，得∠ECF=180°−∠3；3. 将上述两个角代入△ECF的内角和公式，整理即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠BAF=∠AFD（两直线平行，内错角相等），
∵∠1 + ∠BAF=180°（邻补角的定义），
∴∠BAF=180°−∠1，即∠AFD=180°−∠1，
又
∵∠AFD=∠EFC（对顶角相等），
∴∠EFC=180°−∠1，
∵∠3 + ∠ECF=180°（邻补角的定义），
∴∠ECF=180°−∠3，
在△ECF中，根据三角形内角和为180°可得：
∠2 + ∠ECF + ∠EFC=180°，
将∠EFC=180°−∠1、∠ECF=180°−∠3代入上式：
∠2 + (180°−∠3) + (180°−∠1) = 180°，
移项整理得：∠1 + ∠3 − ∠2 = 180°。
【答案】
180°
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；角的等量代换
【点评】
本题是平行线与三角形角度计算的典型综合题，核心考查角的等量代换能力，解题的关键是通过平行线、邻补角、对顶角的性质，将分散的角集中到同一个三角形中，利用内角和公式建立关系。
【难度系数】
0.65
解题时首先利用平行线的性质得到相关角的等量关系，再结合邻补角、对顶角的性质，将所求的角关联到三角形的内角中，最后利用三角形内角和定理建立等式，化简后即可求出∠1+∠3−∠2的度数。具体思考步骤：1. 由AB//CD得内错角∠BAF=∠AFD，结合∠1与∠BAF是邻补角，推出∠EFC=180°−∠1；2. 由∠3与∠ECF是邻补角，得∠ECF=180°−∠3；3. 将上述两个角代入△ECF的内角和公式，整理即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠BAF=∠AFD（两直线平行，内错角相等），
∵∠1 + ∠BAF=180°（邻补角的定义），
∴∠BAF=180°−∠1，即∠AFD=180°−∠1，
又
∵∠AFD=∠EFC（对顶角相等），
∴∠EFC=180°−∠1，
∵∠3 + ∠ECF=180°（邻补角的定义），
∴∠ECF=180°−∠3，
在△ECF中，根据三角形内角和为180°可得：
∠2 + ∠ECF + ∠EFC=180°，
将∠EFC=180°−∠1、∠ECF=180°−∠3代入上式：
∠2 + (180°−∠3) + (180°−∠1) = 180°，
移项整理得：∠1 + ∠3 − ∠2 = 180°。
【答案】
180°
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；角的等量代换
【点评】
本题是平行线与三角形角度计算的典型综合题，核心考查角的等量代换能力，解题的关键是通过平行线、邻补角、对顶角的性质，将分散的角集中到同一个三角形中，利用内角和公式建立关系。
【难度系数】
0.65
17. 一大门的栏杆如图所示，BA 垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD=
270°
.答案
17. 270°
解析
【分析】
要求∠ABC与∠BCD的和，已知BA垂直地面AE，CD平行地面AE，无法直接计算角度和，因此需要通过作辅助线构造平行线，结合平行线的性质和垂线的性质求解：首先过点B作平行于AE的直线，利用平行公理推论可得该直线也平行于CD，再分别根据垂线性质和平行线同旁内角互补的性质，将所求的两个角拆分后求和即可。
【解析】
过点B作$BG// AE$，
$\because CD// AE$，
$\therefore BG// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\because BA⊥ AE$，$BG// AE$，
$\therefore BA⊥ BG$，即$∠ ABG=90°$，
$\because BG// CD$，
$\therefore ∠ GBC + ∠ BCD=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又$\because ∠ ABC=∠ ABG + ∠ GBC$，
$\therefore ∠ ABC+∠ BCD=∠ ABG+∠ GBC+∠ BCD=90°+180°=270°$。
【答案】
$270°$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；垂线的定义
【点评】
本题是典型的平行线角度计算问题，解题的核心是合理构造辅助线，将分散的角通过平行线的性质建立联系，再结合角度的和差关系计算结果，需要熟练掌握平行线的相关性质和辅助线的常用构造方法。
【难度系数】
0.7
要求∠ABC与∠BCD的和，已知BA垂直地面AE，CD平行地面AE，无法直接计算角度和，因此需要通过作辅助线构造平行线，结合平行线的性质和垂线的性质求解：首先过点B作平行于AE的直线，利用平行公理推论可得该直线也平行于CD，再分别根据垂线性质和平行线同旁内角互补的性质，将所求的两个角拆分后求和即可。
【解析】
过点B作$BG// AE$，
$\because CD// AE$，
$\therefore BG// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\because BA⊥ AE$，$BG// AE$，
$\therefore BA⊥ BG$，即$∠ ABG=90°$，
$\because BG// CD$，
$\therefore ∠ GBC + ∠ BCD=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又$\because ∠ ABC=∠ ABG + ∠ GBC$，
$\therefore ∠ ABC+∠ BCD=∠ ABG+∠ GBC+∠ BCD=90°+180°=270°$。
【答案】
$270°$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；垂线的定义
【点评】
本题是典型的平行线角度计算问题，解题的核心是合理构造辅助线，将分散的角通过平行线的性质建立联系，再结合角度的和差关系计算结果，需要熟练掌握平行线的相关性质和辅助线的常用构造方法。
【难度系数】
0.7
18. 如图，在四边形ABCD中，∠B=126°，∠B与∠ADC互为补角，点E在BC上，将△DCE沿DE翻折得到△DC'E，若AB//C'E，DC'平分∠ADE，则∠A的度数为
81
°。答案
18. 81 [解析]
∵∠B=126°,∠B与∠ADC互为补角,
∴∠ADC=54°.由折叠的性质,得∠CDE=∠C'DE,∠CED=∠C'ED.
∵DC'平分∠ADE,
∴∠ADC'=∠C'DE,
∴∠CDE=∠ADC'=∠C'DE=18°.
∵AB//C'E,
∴∠CEC'=∠B=126°,
∴∠CED=63°,
∴∠C=180°-63°-18°=99°,
∴∠A=360°-∠B-∠C-∠ADC=81°.
∵∠B=126°,∠B与∠ADC互为补角,
∴∠ADC=54°.由折叠的性质,得∠CDE=∠C'DE,∠CED=∠C'ED.
∵DC'平分∠ADE,
∴∠ADC'=∠C'DE,
∴∠CDE=∠ADC'=∠C'DE=18°.
∵AB//C'E,
∴∠CEC'=∠B=126°,
∴∠CED=63°,
∴∠C=180°-63°-18°=99°,
∴∠A=360°-∠B-∠C-∠ADC=81°.
解析
【分析】
解题时首先利用已知的∠B度数以及∠B与∠ADC互补的条件，先求出∠ADC的度数；再结合折叠的性质和DC'平分∠ADE的条件，得到三个相等的小角，算出每个小角的度数；接着利用AB//C'E的平行线性质求出∠CEC'的度数，结合折叠性质得到∠CED的度数；之后用三角形内角和求出∠C的度数；最后根据四边形内角和为360°，即可算出∠A的度数。
【解析】
∵∠B=126°，∠B与∠ADC互为补角，
∴∠ADC=180°-126°=54°。
由折叠的性质可得：∠CDE=∠C'DE，∠CED=∠C'ED。
∵DC'平分∠ADE，
∴∠ADC'=∠C'DE，
∴∠CDE=∠ADC'=∠C'DE=54°÷3=18°。
∵AB//C'E，
∴∠CEC'=∠B=126°，
∴∠CED=∠C'ED=126°÷2=63°。
在△CDE中，根据三角形内角和为180°：
∠C=180°-∠CED-∠CDE=180°-63°-18°=99°。
∵四边形内角和为360°，
∴∠A=360°-∠B-∠C-∠ADC=360°-126°-99°-54°=81°。
【答案】
81
【知识点】
折叠的性质、平行线的性质、多边形内角和
【点评】
本题综合考查了几何中常见的角的等量关系推导，解题关键是抓住折叠前后对应角相等、角平分线的定义、平行线的性质这些核心知识点，逐步梳理角的数量关系，最终结合多边形内角和公式求解。
【难度系数】
0.65
解题时首先利用已知的∠B度数以及∠B与∠ADC互补的条件，先求出∠ADC的度数；再结合折叠的性质和DC'平分∠ADE的条件，得到三个相等的小角，算出每个小角的度数；接着利用AB//C'E的平行线性质求出∠CEC'的度数，结合折叠性质得到∠CED的度数；之后用三角形内角和求出∠C的度数；最后根据四边形内角和为360°，即可算出∠A的度数。
【解析】
∵∠B=126°，∠B与∠ADC互为补角，
∴∠ADC=180°-126°=54°。
由折叠的性质可得：∠CDE=∠C'DE，∠CED=∠C'ED。
∵DC'平分∠ADE，
∴∠ADC'=∠C'DE，
∴∠CDE=∠ADC'=∠C'DE=54°÷3=18°。
∵AB//C'E，
∴∠CEC'=∠B=126°，
∴∠CED=∠C'ED=126°÷2=63°。
在△CDE中，根据三角形内角和为180°：
∠C=180°-∠CED-∠CDE=180°-63°-18°=99°。
∵四边形内角和为360°，
∴∠A=360°-∠B-∠C-∠ADC=360°-126°-99°-54°=81°。
【答案】
81
【知识点】
折叠的性质、平行线的性质、多边形内角和
【点评】
本题综合考查了几何中常见的角的等量关系推导，解题关键是抓住折叠前后对应角相等、角平分线的定义、平行线的性质这些核心知识点，逐步梳理角的数量关系，最终结合多边形内角和公式求解。
【难度系数】
0.65
三、解答题
19. 下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
(1)同角的余角相等；
(2)在三角形中，两边之和小于第三边；
(3)平行于同一条直线的两直线平行；
(4)内错角相等。
19. 下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
(1)同角的余角相等；
(2)在三角形中，两边之和小于第三边；
(3)平行于同一条直线的两直线平行；
(4)内错角相等。
答案
19. (1)(3)是真命题，(2)(4)是假命题.
解析
【分析】
判断命题真假的核心是：当命题的题设成立时，对应的结论是否一定成立。若结论一定成立则为真命题，若结论不成立或不一定成立则为假命题。解题时可结合已学的基础几何性质，逐个分析4个命题的正误即可。
【解析】
（1）若两个角是同一个角的余角，则这两个角都等于90°减去这个角，因此二者一定相等，该命题是真命题；
（2）根据三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，该命题的结论与正确性质相悖，是假命题；
（3）根据平行线的传递性，平行于同一条直线的两条直线互相平行，该命题是真命题；
（4）只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，缺少“两直线平行”的前提时，内错角不一定相等，该命题是假命题。
【答案】
(1)(3)是真命题，(2)(4)是假命题.
【知识点】
真假命题判定、余角与平行线性质、三角形三边关系
【点评】
本题考查基础几何概念和命题真假的判断，解题时需注意部分几何性质成立的前提条件，避免遗漏前提直接判断导致错误，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
判断命题真假的核心是：当命题的题设成立时，对应的结论是否一定成立。若结论一定成立则为真命题，若结论不成立或不一定成立则为假命题。解题时可结合已学的基础几何性质，逐个分析4个命题的正误即可。
【解析】
（1）若两个角是同一个角的余角，则这两个角都等于90°减去这个角，因此二者一定相等，该命题是真命题；
（2）根据三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，该命题的结论与正确性质相悖，是假命题；
（3）根据平行线的传递性，平行于同一条直线的两条直线互相平行，该命题是真命题；
（4）只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，缺少“两直线平行”的前提时，内错角不一定相等，该命题是假命题。
【答案】
(1)(3)是真命题，(2)(4)是假命题.
【知识点】
真假命题判定、余角与平行线性质、三角形三边关系
【点评】
本题考查基础几何概念和命题真假的判断，解题时需注意部分几何性质成立的前提条件，避免遗漏前提直接判断导致错误，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
20. 阅读材料，解决问题：
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设但不满足结论就可以了.例如要判断命题“同位角相等”是假命题，可以结合图形举出如下反例：
如图，$∠ 1$和$∠ 2$是直线$a$，$b$被直线$c$所截而成的同位角，但它们一个是锐角，一个是钝角，明显不相等.
请你举出一个反例说明命题“相等的角是对顶角”是假命题(要求:画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例).
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设但不满足结论就可以了.例如要判断命题“同位角相等”是假命题，可以结合图形举出如下反例：
如图，$∠ 1$和$∠ 2$是直线$a$，$b$被直线$c$所截而成的同位角，但它们一个是锐角，一个是钝角，明显不相等.
请你举出一个反例说明命题“相等的角是对顶角”是假命题(要求:画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例).
答案
20. 如图，∠1=∠2，但是∠1与∠2不是对顶角。
故相等的角是对顶角是假命题.解析
【分析】
构造反例证明假命题的核心是：例子需满足命题的题设，但不满足命题的结论。首先拆解命题“相等的角是对顶角”：题设为两个角相等，结论为这两个角是对顶角。对顶角的特征是有公共顶点，且两角的两边互为反向延长线，因此我们只需要找到两个大小相等、但不符合对顶角特征的角，即可作为反例。
【解析】
1. 拆分命题：命题“相等的角是对顶角”中，题设是“两个角相等”，结论是“这两个角是对顶角”。
2. 观察参考图形：图中的∠1和∠2是两个独立的角，二者大小相等，满足题设要求；但∠1和∠2没有公共顶点，也不满足两边互为反向延长线的特征，因此不是对顶角，不满足结论要求。
3. 验证：该例子符合反例的要求，可证明原命题为假命题。
【答案】
如图，∠1=∠2，但是∠1与∠2不是对顶角。 故相等的角是对顶角是假命题.
【知识点】
对顶角的定义，假命题的判断，反例的构造
【点评】
本题重点考查反例的构造方法，解题关键是准确拆分命题的题设和结论，同时牢记对顶角的特征，这类题目能有效提升逻辑推理和概念辨析能力。
【难度系数】
0.8
构造反例证明假命题的核心是：例子需满足命题的题设，但不满足命题的结论。首先拆解命题“相等的角是对顶角”：题设为两个角相等，结论为这两个角是对顶角。对顶角的特征是有公共顶点，且两角的两边互为反向延长线，因此我们只需要找到两个大小相等、但不符合对顶角特征的角，即可作为反例。
【解析】
1. 拆分命题：命题“相等的角是对顶角”中，题设是“两个角相等”，结论是“这两个角是对顶角”。
2. 观察参考图形：图中的∠1和∠2是两个独立的角，二者大小相等，满足题设要求；但∠1和∠2没有公共顶点，也不满足两边互为反向延长线的特征，因此不是对顶角，不满足结论要求。
3. 验证：该例子符合反例的要求，可证明原命题为假命题。
【答案】
如图，∠1=∠2，但是∠1与∠2不是对顶角。
故相等的角是对顶角是假命题.【知识点】
对顶角的定义，假命题的判断，反例的构造
【点评】
本题重点考查反例的构造方法，解题关键是准确拆分命题的题设和结论，同时牢记对顶角的特征，这类题目能有效提升逻辑推理和概念辨析能力。
【难度系数】
0.8
