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21. 用反证法证明:已知直线$a// c,b// c$,则$a// b$.
答案
21. 假设a与b相交于点M，
则过点M有两条直线平行于直线c，这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾，故假设不成立，所以a//b.解析
【分析】
使用反证法证明该题时，首先遵循反证法的解题逻辑：第一步先反设，即假设待证结论“a//b”不成立，可得a与b相交；第二步推导矛盾，结合已知a//c、b//c，可推出过交点有两条直线都平行于c，这和学过的平行公理矛盾；第三步判定假设不成立，即可得到原结论正确。
【解析】
证明：假设$a$与$b$不平行，则$a$与$b$相交，设交点为$M$。
$\because a// c$，$b// c$，
$\therefore$过点$M$有两条直线$a$、$b$都与直线$c$平行，
这与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”的平行公理矛盾，
因此假设不成立，故$a// b$。
【答案】
假设a与b相交于点M， 则过点M有两条直线平行于直线c，这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾，故假设不成立，所以a//b.
【知识点】
反证法，平行公理
【点评】
本题考查反证法的应用，解题核心是熟练掌握反证法的三步证明流程：反设、推矛盾、得原结论，同时要准确记忆平行公理的内容，才能快速找到推导过程中的矛盾点。
【难度系数】
0.8
使用反证法证明该题时，首先遵循反证法的解题逻辑：第一步先反设，即假设待证结论“a//b”不成立，可得a与b相交；第二步推导矛盾，结合已知a//c、b//c，可推出过交点有两条直线都平行于c，这和学过的平行公理矛盾；第三步判定假设不成立，即可得到原结论正确。
【解析】
证明：假设$a$与$b$不平行，则$a$与$b$相交，设交点为$M$。
$\because a// c$，$b// c$，
$\therefore$过点$M$有两条直线$a$、$b$都与直线$c$平行，
这与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”的平行公理矛盾，
因此假设不成立，故$a// b$。
【答案】
假设a与b相交于点M，
则过点M有两条直线平行于直线c，这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾，故假设不成立，所以a//b.【知识点】
反证法，平行公理
【点评】
本题考查反证法的应用，解题核心是熟练掌握反证法的三步证明流程：反设、推矛盾、得原结论，同时要准确记忆平行公理的内容，才能快速找到推导过程中的矛盾点。
【难度系数】
0.8
22. 如图(1),点 D 是$△ ABC$外的一点,易知$∠ BDC+∠ 2=∠ 1+∠ BAC$.
(1)如图(2),点 D 是$△ ABC$外的一点,$∠ BDC+∠ 2=∠ 1+∠ BAC$还成立吗?如果成立,请说明理由;如果不成立,请你探索$∠ BDC,∠ BAC,∠ 1$和$∠ 2$之间的关系,并证明.
(2)如图(3),点 D 是$△ ABC$外的一点,请你直接写出$∠ BDC,∠ BAC,∠ 1$和$∠ 2$之间的关系.
(1)如图(2),点 D 是$△ ABC$外的一点,$∠ BDC+∠ 2=∠ 1+∠ BAC$还成立吗?如果成立,请说明理由;如果不成立,请你探索$∠ BDC,∠ BAC,∠ 1$和$∠ 2$之间的关系,并证明.
(2)如图(3),点 D 是$△ ABC$外的一点,请你直接写出$∠ BDC,∠ BAC,∠ 1$和$∠ 2$之间的关系.
答案
22. (1)不成立.
关系为∠BAC=∠BDC+∠2+∠1.证明如下：
因为∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
所以∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB).
因为∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°,
所以∠BDC+∠1+∠2+∠ABC+∠ACB=180°.
所以 ∠BDC + ∠1 + ∠2 = 180°-(∠ABC+∠ACB).所以∠BAC=∠BDC+∠2+∠1.
(2)∠BDC+∠BAC+∠1+∠2=360°.
关系为∠BAC=∠BDC+∠2+∠1.证明如下：
因为∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
所以∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB).
因为∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°,
所以∠BDC+∠1+∠2+∠ABC+∠ACB=180°.
所以 ∠BDC + ∠1 + ∠2 = 180°-(∠ABC+∠ACB).所以∠BAC=∠BDC+∠2+∠1.
(2)∠BDC+∠BAC+∠1+∠2=360°.
解析
【分析】
（1）要判断原式是否成立，可借助三角形内角和为180°的性质分析：先分别写出△ABC和△DBC的内角和等式，再观察图2中∠DBC=∠1+∠ABC、∠DCB=∠2+∠ACB，将这两个角的和差关系代入△DBC的内角和等式，再和△ABC的内角和等式做等量代换，就能推导得到四个角的正确关系。
（2）观察图3可知四边形ABDC的内角和为360°，结合图中角的组成即可直接得到四个角的关系。
【解析】
(1) 不成立，四个角的关系为$\boldsymbol{∠BAC=∠BDC+∠1+∠2}$，证明如下：
根据三角形内角和定理，在$△ ABC$中：
$∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°$，
变形得：$∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)$ ①。
在$△ DBC$中：
$∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°$，
由图可知$∠DBC=∠1+∠ABC$，$∠DCB=∠2+∠ACB$，代入上式得：
$∠BDC+∠1+∠ABC+∠2+∠ACB=180°$，
变形得：$∠BDC+∠1+∠2=180°-(∠ABC+∠ACB)$ ②。
对比①②可得：$∠BAC=∠BDC+∠1+∠2$。
(2) 观察图3，四边形ABDC的内角和为$360°$，其中$∠ABC=∠1$，$∠ACB=∠2$，因此可得：
$∠BDC+∠BAC+∠1+∠2=360°$。
【答案】
(1) 不成立，关系为$\boldsymbol{∠BAC=∠BDC+∠1+∠2}$；
(2) $\boldsymbol{∠BDC+∠BAC+∠1+∠2=360°}$。
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差计算，四边形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形内角和的应用展开，需要结合图形准确识别角的和差关系，通过建立内角和等式完成等量代换推导角的关系，是角度关系探究类的典型题目，对图形观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
（1）要判断原式是否成立，可借助三角形内角和为180°的性质分析：先分别写出△ABC和△DBC的内角和等式，再观察图2中∠DBC=∠1+∠ABC、∠DCB=∠2+∠ACB，将这两个角的和差关系代入△DBC的内角和等式，再和△ABC的内角和等式做等量代换，就能推导得到四个角的正确关系。
（2）观察图3可知四边形ABDC的内角和为360°，结合图中角的组成即可直接得到四个角的关系。
【解析】
(1) 不成立，四个角的关系为$\boldsymbol{∠BAC=∠BDC+∠1+∠2}$，证明如下：
根据三角形内角和定理，在$△ ABC$中：
$∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°$，
变形得：$∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)$ ①。
在$△ DBC$中：
$∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°$，
由图可知$∠DBC=∠1+∠ABC$，$∠DCB=∠2+∠ACB$，代入上式得：
$∠BDC+∠1+∠ABC+∠2+∠ACB=180°$，
变形得：$∠BDC+∠1+∠2=180°-(∠ABC+∠ACB)$ ②。
对比①②可得：$∠BAC=∠BDC+∠1+∠2$。
(2) 观察图3，四边形ABDC的内角和为$360°$，其中$∠ABC=∠1$，$∠ACB=∠2$，因此可得：
$∠BDC+∠BAC+∠1+∠2=360°$。
【答案】
(1) 不成立，关系为$\boldsymbol{∠BAC=∠BDC+∠1+∠2}$；
(2) $\boldsymbol{∠BDC+∠BAC+∠1+∠2=360°}$。
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差计算，四边形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形内角和的应用展开，需要结合图形准确识别角的和差关系，通过建立内角和等式完成等量代换推导角的关系，是角度关系探究类的典型题目，对图形观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
23. 中考新考法 满足条件的结论开放 已知直线AB//CD，点E，F分别在AB，CD上，O是平面内一点（不在直线AB，CD，EF上），连接OE，OF，OG平分∠EOF，射线OH//AB，交EF于点H.
(1) 如图(1)，若∠AEO=45°，∠CFO=75°，求∠HOG的度数.
(2) 如图(2)，若∠AEO=150°，∠HOG=20°，求∠CFO的度数.
(3) 当点O在直线AB，CD之外，且在直线EF的左侧时，∠AEO，∠CFO和∠HOG之间有何数量关系？请说明理由.
备用图
(1) 如图(1)，若∠AEO=45°，∠CFO=75°，求∠HOG的度数.
(2) 如图(2)，若∠AEO=150°，∠HOG=20°，求∠CFO的度数.
(3) 当点O在直线AB，CD之外，且在直线EF的左侧时，∠AEO，∠CFO和∠HOG之间有何数量关系？请说明理由.
备用图
答案
23. (1)
∵AB//CD,OH//AB，
∴AB//OH//CD，
∴∠AEO=∠EOH,∠CFO=∠FOH，
∴∠AEO+∠CFO=∠EOH+∠FOH，
即∠AEO+∠CFO=∠EOF.
∵∠AEO=45°,∠CFO=75°,
∴∠EOF=120°.
∵OG 平分∠EOF,
∴∠EOG=60°,
∴∠HOG=∠EOG-∠EOH=∠EOG-∠AEO=15°.
(2)
∵AB//CD,OH//AB，
∴AB//OH//CD，
∴∠AEO+∠EOH=180°,
∠CFO+∠FOH=180°,
∴∠AEO+∠CFO+∠EOH+∠FOH=360°,
即∠AEO+∠CFO+∠EOF=360°.
∵∠AEO=150°,
∴∠EOH=30°.
∵∠HOG=20°,
∴∠EOG=∠EOH+∠HOG=30°+20°=50°.
∵OG 平分∠EOF，
∴∠EOF=2∠EOG=100°.
∵∠AEO+∠CFO+∠EOF=360°,
∴∠CFO=360°-150°-100°=110°.
(3)若点O在直线AB与CD之外,且在直线EF的左侧,则有∠AEO+∠CFO=2∠HOG.理由如下：
如图。
∵AB//CD,OH//AB，
∴AB//OH//CD，
∴∠AEO=∠EOH,∠CFO=∠FOH，
∴∠EOH+∠FOH=∠AEO+∠CFO.
∵OG 平分∠EOF，
∴∠GOF=∠EOG，
∴∠AEO+∠CFO=∠EOH+∠FOH=∠EOG+∠HOG+∠FOH=∠FOG+∠HOG+∠FOH=2∠HOG.
解析
【分析】
本题围绕平行线性质与角平分线定义展开，解题思路清晰可寻：
(1) 首先利用平行线的传递性得到AB//OH//CD，结合平行线内错角相等的性质，将∠EOH、∠FOH分别转化为已知的∠AEO、∠CFO，求和得到∠EOF的度数；再根据角平分线定义求出∠EOG，最后通过角的差运算即可得到∠HOG的度数。
(2) 同样先得到AB//OH//CD，此时点O位置变化，平行线构成同旁内角互补，先求出∠EOH，结合已知的∠HOG得到∠EOG，再由角平分线定义算出∠EOF，最后利用∠AEO、∠CFO、∠EOF三者和为360°的关系求解∠CFO。
(3) 依旧借助平行线内错角相等的性质，将∠AEO、∠CFO分别转化为∠EOH、∠FOH，再结合角平分线定义对角进行拆分合并，最终推导得出三个角的数量关系。
【解析】
(1)
∵AB//CD，OH//AB，
∴AB//OH//CD，
∴∠AEO=∠EOH，∠CFO=∠FOH，
∴∠AEO+∠CFO=∠EOH+∠FOH，
即∠AEO+∠CFO=∠EOF。
∵∠AEO=45°，∠CFO=75°，
∴∠EOF=120°。
∵OG平分∠EOF，
∴∠EOG=60°，
∴∠HOG=∠EOG-∠EOH=∠EOG-∠AEO=15°。
(2)
∵AB//CD，OH//AB，
∴AB//OH//CD，
∴∠AEO+∠EOH=180°，
∠CFO+∠FOH=180°，
∴∠AEO+∠CFO+∠EOH+∠FOH=360°，
即∠AEO+∠CFO+∠EOF=360°。
∵∠AEO=150°，
∴∠EOH=30°。
∵∠HOG=20°，
∴∠EOG=∠EOH+∠HOG=30°+20°=50°。
∵OG平分∠EOF，
∴∠EOF=2∠EOG=100°。
∵∠AEO+∠CFO+∠EOF=360°，
∴∠CFO=360°-150°-100°=110°。
(3)若点O在直线AB与CD之外，且在直线EF的左侧，则有∠AEO+∠CFO=2∠HOG。理由如下：
如图。
∵AB//CD，OH//AB，
∴AB//OH//CD，
∴∠AEO=∠EOH，∠CFO=∠FOH，
∴∠EOH+∠FOH=∠AEO+∠CFO。
∵OG平分∠EOF，
∴∠GOF=∠EOG，
∴∠AEO+∠CFO=∠EOH+∠FOH=∠EOG+∠HOG+∠FOH=∠FOG+∠HOG+∠FOH=2∠HOG。
【答案】
(1) ∠HOG=15°；
(2) ∠CFO=110°；
(3) 数量关系为$\boldsymbol{∠AEO+∠CFO=2∠HOG}$，理由如下：
如图。
∵AB//CD,OH//AB，
∴AB//OH//CD，
∴∠AEO=∠EOH,∠CFO=∠FOH，
∴∠EOH+∠FOH=∠AEO+∠CFO。
∵OG 平分∠EOF，
∴∠GOF=∠EOG，
∴∠AEO+∠CFO=∠EOH+∠FOH=∠EOG+∠HOG+∠FOH=∠FOG+∠HOG+∠FOH=2∠HOG。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是平行线与角平分线的综合应用题型，需要结合点的位置判断平行线形成的角的关系，既考查基础几何定理的运用能力，也锻炼分类讨论思维和逻辑推导能力，结论开放的设置也能有效提升归纳总结的思维水平。
【难度系数】
0.6
本题围绕平行线性质与角平分线定义展开，解题思路清晰可寻：
(1) 首先利用平行线的传递性得到AB//OH//CD，结合平行线内错角相等的性质，将∠EOH、∠FOH分别转化为已知的∠AEO、∠CFO，求和得到∠EOF的度数；再根据角平分线定义求出∠EOG，最后通过角的差运算即可得到∠HOG的度数。
(2) 同样先得到AB//OH//CD，此时点O位置变化，平行线构成同旁内角互补，先求出∠EOH，结合已知的∠HOG得到∠EOG，再由角平分线定义算出∠EOF，最后利用∠AEO、∠CFO、∠EOF三者和为360°的关系求解∠CFO。
(3) 依旧借助平行线内错角相等的性质，将∠AEO、∠CFO分别转化为∠EOH、∠FOH，再结合角平分线定义对角进行拆分合并，最终推导得出三个角的数量关系。
【解析】
(1)
∵AB//CD，OH//AB，
∴AB//OH//CD，
∴∠AEO=∠EOH，∠CFO=∠FOH，
∴∠AEO+∠CFO=∠EOH+∠FOH，
即∠AEO+∠CFO=∠EOF。
∵∠AEO=45°，∠CFO=75°，
∴∠EOF=120°。
∵OG平分∠EOF，
∴∠EOG=60°，
∴∠HOG=∠EOG-∠EOH=∠EOG-∠AEO=15°。
(2)
∵AB//CD，OH//AB，
∴AB//OH//CD，
∴∠AEO+∠EOH=180°，
∠CFO+∠FOH=180°，
∴∠AEO+∠CFO+∠EOH+∠FOH=360°，
即∠AEO+∠CFO+∠EOF=360°。
∵∠AEO=150°，
∴∠EOH=30°。
∵∠HOG=20°，
∴∠EOG=∠EOH+∠HOG=30°+20°=50°。
∵OG平分∠EOF，
∴∠EOF=2∠EOG=100°。
∵∠AEO+∠CFO+∠EOF=360°，
∴∠CFO=360°-150°-100°=110°。
(3)若点O在直线AB与CD之外，且在直线EF的左侧，则有∠AEO+∠CFO=2∠HOG。理由如下：
如图。
∵AB//CD，OH//AB，
∴AB//OH//CD，
∴∠AEO=∠EOH，∠CFO=∠FOH，
∴∠EOH+∠FOH=∠AEO+∠CFO。
∵OG平分∠EOF，
∴∠GOF=∠EOG，
∴∠AEO+∠CFO=∠EOH+∠FOH=∠EOG+∠HOG+∠FOH=∠FOG+∠HOG+∠FOH=2∠HOG。
【答案】
(1) ∠HOG=15°；
(2) ∠CFO=110°；
(3) 数量关系为$\boldsymbol{∠AEO+∠CFO=2∠HOG}$，理由如下：
如图。
∵AB//CD,OH//AB，
∴AB//OH//CD，
∴∠AEO=∠EOH,∠CFO=∠FOH，
∴∠EOH+∠FOH=∠AEO+∠CFO。
∵OG 平分∠EOF，
∴∠GOF=∠EOG，
∴∠AEO+∠CFO=∠EOH+∠FOH=∠EOG+∠HOG+∠FOH=∠FOG+∠HOG+∠FOH=2∠HOG。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是平行线与角平分线的综合应用题型，需要结合点的位置判断平行线形成的角的关系，既考查基础几何定理的运用能力，也锻炼分类讨论思维和逻辑推导能力，结论开放的设置也能有效提升归纳总结的思维水平。
【难度系数】
0.6
