23. (6分)如图,在等腰梯形$ABCD$中,$AD// BC$,$AB = DC$,连接$AC$,$BD$.
(1)求证:$∠ ABC = ∠ DCB$,$∠ BAD = ∠ ADC$.
(2)求证:$AC = BD$.

23. 【点拨】本题考查梯形的性质,全等三角形的性质.
【解析】(1)证明:如图,作$DE// AB$交$BC$于点$E$,则$∠ DEC=∠ ABC$,四边形$ABED$是平行四边形,
$\therefore AB=DE$,$DE=DC$,
$\therefore ∠ DEC=∠ DCB$,
$\therefore ∠ ABC=∠ DCB$.
$\because AD// BC$,
$\therefore ∠ BAD=180°-∠ ABC$,$∠ ADC=180°-∠ DCB$,
$\therefore ∠ BAD=∠ ADC$.
(2)证明:在$△ ABC$和$△ DCB$中,$\begin{cases} AB=DC, \\ ∠ ABC=∠ DCB, \\ BC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ △ DCB(SAS)$,$\therefore AC=BD$.

【分析】
本题是等腰梯形性质的证明题，分为两小问。第(1)问要证明两组角相等，通过作辅助线$DE // AB$构造平行四边形，利用平行四边形对边相等结合等腰梯形的腰相等，得到等腰三角形，进而推出一组角相等，再由平行线的同旁内角互补性质得到另一组角相等；第(2)问利用第(1)问得到的角相等，结合等腰梯形的腰和公共边，用SAS证明两个三角形全等，从而得到对角线相等。解题关键是合理构造辅助线，利用平行四边形和全等三角形的性质推导。
【解析】
(1) 证明：如图，作$DE // AB$交$BC$于点$E$，
$\because AD // BC$，$DE // AB$，
$\therefore$ 四边形$ABED$是平行四边形，
$\therefore AB = DE$，
又$\because AB = DC$，
$\therefore DE = DC$，
$\therefore △ DEC$为等腰三角形，
$\therefore ∠ DEC = ∠ DCB$，
$\because DE // AB$，
$\therefore ∠ DEC = ∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ DCB$。
$\because AD // BC$，
$\therefore ∠ BAD + ∠ ABC = 180°$，$∠ ADC + ∠ DCB = 180°$，
$\therefore ∠ BAD = 180° - ∠ ABC$，$∠ ADC = 180° - ∠ DCB$，
又$\because ∠ ABC = ∠ DCB$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ ADC$。
(2) 证明：在$△ ABC$和$△ DCB$中，
$\begin{cases}AB = DC \\∠ ABC = ∠ DCB \\BC = CB\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DCB(SAS)$，
$\therefore AC = BD$。
【答案】
(1) 证明成立，$∠ ABC = ∠ DCB$，$∠ BAD = ∠ ADC$；(2) 证明成立，$AC = BD$。
【知识点】
等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查等腰梯形的核心性质，通过构造辅助线转化为平行四边形和全等三角形问题，是几何证明的典型题型，需掌握辅助线的构造技巧及全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.5

24. (7分)如图,在$△ ABC$中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F,且$AF = BD$,连接BF.
(1)求证:D是BC的中点;
(2)如果$AB = AC$,试判断四边形AFBD的形状,并说明理由;
(3)若四边形AFBD为菱形,则$△ ABC$需满足________(添加合适的条件).

24. 【点拨】本题考查平行四边形的判定及性质,菱形的判定,全等三角形的判定与性质,直角三角形的性质.
【解析】(1)证明:$\because AF// BC$,$\therefore ∠ AFE=∠ DCE$.
$\because E$是$AD$的中点,$\therefore AE=DE$.
又$\because ∠ AEF=∠ DEC$,$\therefore △ AEF≌ △ DEC(AAS)$,$\therefore AF=DC$.
又$\because AF=BD$,$\therefore DC=BD$,即$D$是$BC$的中点.
(2)四边形$AFBD$是矩形. 理由如下:
$\because AB=AC$,$D$是$BC$的中点,$\therefore AD⊥ BC$,$\therefore ∠ ADB=90°$.
$\because AF// BC$,$AF=BD$,$\therefore$ 四边形$AFBD$是平行四边形.
又$\because ∠ ADB=90°$,$\therefore □ AFBD$是矩形.
(3)当$∠ BAC=90°$时,四边形$AFBD$是菱形.
证明:$\because AF=BD$,$AF// BD$,$\therefore$ 四边形$AFBD$是平行四边形.
$\because ∠ BAC=90°$,$BD=CD$,$\therefore AD=BD=DC$,$\therefore □ AFBD$是菱形.
故答案为$∠ BAC=90°$(合理即可).

【分析】
要解决本题，第(1)问需利用平行线性质和中点条件，通过AAS证明三角形全等，得到AF=DC，结合已知AF=BD推出D是BC中点；第(2)问在(1)的基础上，利用等腰三角形三线合一得AD⊥BC，再结合一组对边平行且相等证平行四边形，加直角得矩形；第(3)问要使平行四边形AFBD为菱形，需邻边相等，结合直角三角形斜边中线性质，添加∠BAC=90°即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ AF//BC，
∴ ∠AFE=∠DCE。
∵ E是AD中点，
∴ AE=DE。
又∠AEF=∠DEC，
∴ △AEF≌△DEC（AAS），
∴ AF=DC。
∵ AF=BD，
∴ DC=BD，即D是BC的中点。
(2) 四边形AFBD是矩形，理由：
∵ AB=AC，D是BC中点，
∴ AD⊥BC，即∠ADB=90°。
∵ AF//BC且AF=BD，
∴ 四边形AFBD是平行四边形。
又∠ADB=90°，
∴ 平行四边形AFBD是矩形。
(3) 当∠BAC=90°时，四边形AFBD为菱形，理由：
∵ AF//BD且AF=BD，
∴ 四边形AFBD是平行四边形。
∵ ∠BAC=90°，D是BC中点，
∴ AD=BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ 平行四边形AFBD是菱形。
故答案为：∠BAC=90°（合理即可）。
【答案】
(1) D是BC的中点；(2) 四边形AFBD是矩形；(3) ∠BAC=90°（合理即可）
【知识点】
全等三角形判定，平行四边形判定，菱形判定
【点评】
本题是几何综合题，融合了三角形全等、特殊四边形的判定与性质，需逐步推导，逻辑要求较高，属于中等难度题目。
【难度系数】
0.5

25. (8分)如图,P是线段AB上一动点,AB=8,以PA、PB为对角线分别作出菱形ADPC和菱形PFBE且∠ACP=∠PEB=60°.
(1)求证:DE长度为定值;
(2)连接CE,若AP=2,求△PCE的面积;
(3)若再连接DF,分别取六边形ADFBEC各边中点,当点P从点A运动到点B时,各边中点运动路径的总长度为.

25. 【点拨】本题考查菱形的性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理.
【解析】(1)证明:在菱形$ADPC$和菱形$PFBE$中,$AC=PC=AD=PD$,$EP=BE$.
$\because ∠ ACP=∠ PEB=60°$,
$\therefore △ ACP$和$△ BEP$都是等边三角形,
$\therefore AC=AP=PD$,$PB=PE$,
$\therefore DE=EP+PD=BP+AP=AB=8$,即$DE$长度为定值8.
(2)在题图中,过点$C$作$CG⊥ PE$于点$G$.
$\because △ ACP$和$△ BEP$都是等边三角形.
$\therefore ∠ APC=∠ BPE=60°$,$PC=AP=2$,
$PE=PB=AB-AP=8-2=6$,
$\therefore ∠ CPE=60°$,在$\mathrm{Rt}△ CGP$中,$∠ PCG=30°$,
$\therefore PG=\frac{1}{2}PC=1$,$CG=\sqrt{CP^2-PG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
$\therefore S_{△ PCE}=\frac{1}{2}PE· CG=\frac{1}{2}×6×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$.
(3)如图,延长$AD$,$BF$交于点$Q$,取$AD$中点$M$,取$DF$中点$N$,取$AQ$中点$T$,取$BQ$中点$K$,连接$PQ$,$TK$.
$\because$ 在菱形$ADPC$和菱形$PFBE$中,$∠ ADP=∠ ACP=60°$,$∠ PFB=∠ PEB=60°$,$AD=PD$,$PF=BF$,
$\therefore △ APD$和$△ PFB$都是等边三角形,
$\therefore ∠ PAD=∠ PBF=60°$,
$\therefore △ AQB$是等边三角形,
$\therefore AQ=BQ=AB=8$,
$\therefore QF=DP$,$DQ=PF$.
$\therefore$ 四边形$PDQF$是平行四边形,$\therefore QN=PN$.
当点$P$在起点$A$时,$DF$中点$N$与$AQ$中点$T$重合,当$P$在终点$B$时,$DF$中点$N$与$BQ$中点$K$重合,点$N$在线段$TK$上运动,
$\therefore$ 点$N$运动路径的长度$TK=\frac{1}{2}AB=4$.
当点$P$在起点$A$时,点$M$与点$A$重合,点$P$在终点$B$时,点$M$与$AQ$中点$T$重合,$\therefore$ 点$M$运动的路径的长度为$\frac{1}{2}AQ=\frac{1}{2}AB=4$.
同理$BF$,$BE$,$EC$,$AC$的中点运动路径的长度均为4.
综上所述,当点$P$从点$A$运动到点$B$时,各边中点运动的路径总长度为$4×6=24$. 故答案为24.

【分析】
1. 第(1)问：利用菱形的性质，结合已知60°角，可判定△ACP和△BEP为等边三角形，进而将DE转化为PD+PE，而PD=AP、PE=PB，故DE=AB，得定值；
2. 第(2)问：由AP=2，先确定等边△ACP和△BEP的边长，再作高求出△PCE的高，利用三角形面积公式计算面积；
3. 第(3)问：通过构造等边三角形，分析各边中点的运动轨迹，利用中点连线的性质，计算每个中点的路径长度，再求和得到总长度。
【解析】
(1) 证明：在菱形ADPC和菱形PFBE中，AC=PC，EP=BE，
∵∠ACP=∠PEB=60°，
∴△ACP和△BEP都是等边三角形，
∴AC=AP=PD，PB=PE，
∴DE=PD+PE=AP+PB=AB=8，即DE长度为定值8；
(2) 解：过点C作CG⊥PE于点G，
∵△ACP和△BEP都是等边三角形，
∴∠APC=∠BPE=60°，PC=AP=2，PE=PB=AB-AP=8-2=6，
∴∠CPE=180°-∠APC-∠BPE=60°，
在Rt△CGP中，∠PCG=30°，
∴PG=1/2 PC=1，CG=√(PC²-PG²)=√(2²-1²)=√3，
∴S△PCE=1/2 × PE × CG=1/2 ×6×√3=3√3；
(3) 解：延长AD、BF交于点Q，取AD中点M、DF中点N、AQ中点T、BQ中点K，连接PQ、TK，
∵菱形ADPC和PFBE中，∠ADP=∠ACP=60°，∠PFB=∠PEB=60°，AD=PD，PF=BF，
∴△APD和△PFB都是等边三角形，
∴∠PAD=∠PBF=60°，故△AQB是等边三角形，AQ=BQ=AB=8，
∴QF=DP，DQ=PF，四边形PDQF是平行四边形，得QN=PN；
当P从A到B时，各边中点运动路径：AD中点M路径长为1/2 AQ=4，DF中点N路径长为TK=1/2 AB=4，同理BF、BE、EC、AC中点路径各为4，总长度=4×6=24；
【答案】24
【知识点】菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理
【点评】本题综合考查菱形、等边三角形的性质及动点路径问题，需熟练掌握几何图形的判定与性质，运用转化思想解决线段定值和动点轨迹问题，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】0.5