20.（6分）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小李做摸球试验. 她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程. 如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图.
(1)请估计:当$n$(摸球次数)足够大时,摸到白球的频率将会接近________(结果精确到0.1),假如小李摸一次球,小李摸到白球的概率为________;
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个;
(3)如果要使摸到白球的频率稳定在$\dfrac{3}{5}$,需要往盒子里再放________个白球.

20. 【点拨】本题考查利用频率估计概率,概率公式的运用.
【解析】(1)根据题意得,当$n$很大时,摸到白球的频率会接近0.5,假如小李摸一次球,小李摸到白球的概率为0.5. 故答案为0.5;0.5.
(2)$40×0.5=20$(个),$40-20=20$(个).
答:估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个.
(3)设需要往盒子里再放入$x$个白球,根据题意得$\frac{20+x}{40+x}=\frac{3}{5}$,解得$x=10$. 经检验,$x=10$是分式方程的解,故需要往盒子里再放入10个白球. 故答案为10.

【分析】
本题考查利用频率估计概率、概率公式及分式方程的应用。解题思路：（1）当摸球次数足够多时，频率会稳定在某一数值附近，该数值即为对应事件的概率，观察折线图可知频率稳定在0.5，由此得到摸到白球的概率；（2）根据“白球数量=总球数×摸到白球的概率”计算白球数，再用总球数减去白球数得到黑球数；（3）设加入白球的数量为x，根据加入后摸到白球的频率为$\frac{3}{5}$，结合此时白球数和总球数列方程求解。
【解析】
（1）观察“摸到白球”的频率折线统计图，当摸球次数足够大时，摸到白球的频率逐渐稳定在0.5附近，根据频率估计概率的知识，可知摸一次球摸到白球的概率约为0.5，故两空分别填0.5、0.5。
（2）已知盒子里总球数为40个，白球数量为$40×0.5=20$（个），黑球数量为$40-20=20$（个）。
（3）设需要往盒子里再放$x$个白球，此时盒子里白球数量为$20+x$，总球数为$40+x$，根据题意列方程：$\frac{20+x}{40+x}=\frac{3}{5}$，
解方程：两边同乘$5(40+x)$得$5(20+x)=3(40+x)$，
展开得$100+5x=120+3x$，
移项得$5x-3x=120-100$，即$2x=20$，解得$x=10$，
经检验，$x=10$是原方程的解，故需要再放10个白球。
【答案】
(1)0.5；0.5 (2)白球20个，黑球20个 (3)10
【知识点】
利用频率估计概率；概率公式；分式方程的应用
【点评】
本题结合实际摸球试验的频率折线图，考查频率与概率的关系，以及概率在实际问题中的应用，需要理解大量重复试验下频率稳定于概率的核心知识点，通过列方程解决数量变化的概率问题，题目难度适中，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5

21. (6分)证明文字命题:对角线互相垂直的矩形是正方形.(画出图形、写出已知、求证与证明)

21. 【点拨】本题考查正方形的判定,矩形的性质,全等三角形的判定和性质.
【解析】已知:如图,在矩形$ABCD$中,$AC⊥ BD$.
求证:矩形$ABCD$是正方形.
证明:如图,设对角线$AC$,$BD$相交于点$O$.
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,$\therefore AD// BC$,$AD=BC$,$∠ ABC=∠ ADC=∠ BCD=∠ DAB=90°$.
$\because AC=BD$,$AO=CO=\frac{1}{2}AC$,$BO=DO=\frac{1}{2}BD$,
$\therefore AO=OD=OC=OB$.
$\because AC⊥ BD$,$\therefore ∠ AOD=∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=90°$.
$\therefore △ AOB≌ △ BOC≌ △ COD≌ △ DOA(SAS)$.
$\therefore AB=BC=CD=AD$,$\therefore$ 矩形$ABCD$是正方形.

【分析】要证明“对角线互相垂直的矩形是正方形”，需先明确命题的条件（四边形是矩形且对角线互相垂直）和结论（该四边形是正方形）。解题思路为：1. 画出对应图形，标注矩形及互相垂直的对角线；2. 利用矩形对角线互相平分且相等的性质，结合对角线垂直的条件，通过全等三角形推出矩形的一组邻边相等；3. 根据“邻边相等的矩形是正方形”的判定定理完成证明。
【解析】已知：如图，在矩形$ABCD$中，$AC⊥ BD$。
求证：矩形$ABCD$是正方形。
证明：设对角线$AC$、$BD$相交于点$O$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，$AC=BD$，
$\therefore OA=OB=OC=OD$。
又$\because AC⊥ BD$，
$\therefore ∠ AOB=90°$，
在$△ AOB$和$△ COB$中，
$\begin{cases} OA=OC \\ ∠ AOB=∠ COB=90° \\ OB=OB \end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ COB(SAS)$，
$\therefore AB=BC$，
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，且$AB=BC$，
$\therefore$ 矩形$ABCD$是正方形。
【答案】已知：如图，在矩形$ABCD$中，$AC⊥ BD$。
求证：矩形$ABCD$是正方形。
证明：设对角线$AC$、$BD$相交于点$O$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，$AC=BD$，
$\therefore OA=OB=OC=OD$。
又$\because AC⊥ BD$，
$\therefore ∠ AOB=90°$，
在$△ AOB$和$△ COB$中，
$\begin{cases} OA=OC \\ ∠ AOB=∠ COB=90° \\ OB=OB \end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ COB(SAS)$，
$\therefore AB=BC$，
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，且$AB=BC$，
$\therefore$ 矩形$ABCD$是正方形。

【知识点】正方形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定
【点评】本题是正方形判定的基础证明题，结合矩形性质与全等三角形知识，考查几何逻辑推理能力，属于初中几何核心考点，难度适中。
【难度系数】0.5

22. (6分)如图,在$△ ABC$中,$AB,BC,AC$均不相等,点$D,E,F$分别是$AC,AB,BC$的中点.
(1)求证:四边形$EFCD$是平行四边形；
(2)用反证法证明:线段$EC$与$FD$不垂直.

22. 【点拨】本题考查三角形的中位线定理,反证法,平行四边形的判定.
【解析】(1)证明:$\because$ 点$D$,$E$,$F$分别是$AC$,$AB$,$BC$的中点,
$\therefore DE$,$EF$都是$△ ABC$的中位线,
$\therefore DE// BC$,$EF// AC$,即$DE// FC$,$EF// DC$,
$\therefore$ 四边形$EFCD$是平行四边形.
(2)证明:如题图,连接$EC$,$FD$. 假设$EC⊥ FD$,由(1)知四边形$EFCD$是平行四边形,$\therefore □ EFCD$是菱形,$\therefore EF=DE$.
$\because DE$,$EF$都是$△ ABC$的中位线,
$\therefore DE=\frac{1}{2}BC$,$EF=\frac{1}{2}AC$,$\therefore BC=AC$.
这与$BC$、$AC$不相等矛盾,$\therefore$ 假设不成立,
$\therefore$ 线段$EC$与$FD$不垂直.

【分析】
第(1)问要证明四边形EFCD是平行四边形，需利用平行四边形“两组对边分别平行”的判定条件，结合三角形中位线定理推导对边平行；第(2)问用反证法，先假设结论不成立，再结合平行四边形、菱形的性质及中位线定理推出与题设矛盾的结果，从而证明原结论成立。
【解析】
(1) 证明：
∵点D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴DE，EF都是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，得DE//BC，EF//AC，
即DE//FC，EF//DC，
∴四边形EFCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2) 证明：假设EC⊥FD，
由(1)知四边形EFCD是平行四边形，
∴平行四边形EFCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∴EF=DE（菱形的四条边相等）。
∵DE，EF都是△ABC的中位线，
∴DE=1/2 BC，EF=1/2 AC，
∴1/2 BC = 1/2 AC，即BC=AC，
这与题目中“AB，BC，AC均不相等”矛盾，
∴假设不成立，
∴线段EC与FD不垂直。
【答案】
(1) 四边形EFCD是平行四边形；(2) 线段EC与FD不垂直。
【知识点】
三角形中位线定理、平行四边形的判定、反证法
【点评】
本题综合考查几何证明的核心知识点，需熟练运用三角形中位线性质、平行四边形及菱形的判定，反证法的逻辑推理是解题关键，属于几何证明的典型中档题型。
【难度系数】
0.6