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三、解答题(本大题共10小题,共68分.解答应写出过程)
17. (6分)(1)因式分解:$9a^{2}(x-y)+4b^{2}(y-x)$;
(2)约分:$\dfrac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+2mn+n^{2}}$.
17. (6分)(1)因式分解:$9a^{2}(x-y)+4b^{2}(y-x)$;
(2)约分:$\dfrac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+2mn+n^{2}}$.
答案
17. 【点拨】本题考查因式分解和分式的基本性质.
【解析】(1)$9a^2(x-y)+4b^2(y-x)=(x-y)(9a^2-4b^2)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$.
(2)$\frac{m^2-n^2}{m^2+2mn+n^2}=\frac{(m+n)(m-n)}{(m+n)^2}=\frac{m-n}{m+n}$.
【解析】(1)$9a^2(x-y)+4b^2(y-x)=(x-y)(9a^2-4b^2)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$.
(2)$\frac{m^2-n^2}{m^2+2mn+n^2}=\frac{(m+n)(m-n)}{(m+n)^2}=\frac{m-n}{m+n}$.
解析
【分析】
第(1)题因式分解时，先观察到式子中$y-x$与$x-y$互为相反数，需先将式子变形为含相同公因式的形式，再提取公因式，最后对剩余部分用平方差公式分解；第(2)题约分需先将分子、分母分别因式分解，再根据分式的基本性质约去公因式得到结果。
【解析】
(1) 原式$=9a^2(x-y)-4b^2(x-y)$
$=(x-y)(9a^2-4b^2)$
$=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$；
(2) 原式$=\dfrac{(m+n)(m-n)}{(m+n)^2}$
$=\dfrac{m-n}{m+n}$。
【答案】
(1) $(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$；(2) $\dfrac{m-n}{m+n}$
【知识点】
因式分解（提公因式法、公式法），分式约分
【点评】
本题考查因式分解的基本方法和分式约分的操作，属于代数基础题型，侧重对核心知识点的直接应用，难度较低。
【难度系数】
0.8
第(1)题因式分解时，先观察到式子中$y-x$与$x-y$互为相反数，需先将式子变形为含相同公因式的形式，再提取公因式，最后对剩余部分用平方差公式分解；第(2)题约分需先将分子、分母分别因式分解，再根据分式的基本性质约去公因式得到结果。
【解析】
(1) 原式$=9a^2(x-y)-4b^2(x-y)$
$=(x-y)(9a^2-4b^2)$
$=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$；
(2) 原式$=\dfrac{(m+n)(m-n)}{(m+n)^2}$
$=\dfrac{m-n}{m+n}$。
【答案】
(1) $(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$；(2) $\dfrac{m-n}{m+n}$
【知识点】
因式分解（提公因式法、公式法），分式约分
【点评】
本题考查因式分解的基本方法和分式约分的操作，属于代数基础题型，侧重对核心知识点的直接应用，难度较低。
【难度系数】
0.8
18. (6分)先化简$(\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{x}{x+2})÷\dfrac{x^2+x}{x^2-4}$，再从$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$之中选择一个合适的数作为$x$的值代入求值.
答案
18. 【点拨】本题考查分式的化简求值,分式有意义的条件.
【解析】$(\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2})÷\frac{x^2+x}{x^2-4}$
$=\frac{x(x+2)-x(x-2)}{(x+2)(x-2)}÷\frac{x(x+1)}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{4x}{(x+2)(x-2)}·\frac{(x+2)(x-2)}{x(x+1)}$
$=\frac{4}{x+1}$.
$\because x-2≠0$,$x+2≠0$,$x≠0$,$x+1≠0$,
$\therefore x≠\pm2$,$x≠0$,$x≠-1$,
$\therefore x$可取1. 当$x=1$时,原式$=\frac{4}{1+1}=2$.
【解析】$(\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2})÷\frac{x^2+x}{x^2-4}$
$=\frac{x(x+2)-x(x-2)}{(x+2)(x-2)}÷\frac{x(x+1)}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{4x}{(x+2)(x-2)}·\frac{(x+2)(x-2)}{x(x+1)}$
$=\frac{4}{x+1}$.
$\because x-2≠0$,$x+2≠0$,$x≠0$,$x+1≠0$,
$\therefore x≠\pm2$,$x≠0$,$x≠-1$,
$\therefore x$可取1. 当$x=1$时,原式$=\frac{4}{1+1}=2$.
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先对括号内的分式通分计算差，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简式；接着根据分式有意义的条件确定x的可取值，最后代入合适的x求值。
【解析】
$\begin{aligned}&(\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{x}{x+2})÷\dfrac{x^2+x}{x^2-4}\\=&\dfrac{x(x+2)-x(x-2)}{(x-2)(x+2)}÷\dfrac{x(x+1)}{(x+2)(x-2)}\\=&\dfrac{x^2+2x - x^2 + 2x}{(x-2)(x+2)}·\dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+1)}\\=&\dfrac{4x}{(x-2)(x+2)}·\dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+1)}\\=&\dfrac{4}{x+1}\end{aligned}$
要使分式有意义，则分母不为0，即：
$x-2≠0$，$x+2≠0$，$x≠0$，$x+1≠0$，
所以$x≠\pm2$，$x≠0$，$x≠-1$，故$x$可取$1$。
当$x=1$时，原式$=\dfrac{4}{1+1}=2$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{4}{x+1}$，当$x=1$时，值为$2$。
【知识点】
分式的化简求值、分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是通分、因式分解和约分的运算，需注意分式有意义的限制条件，选择合适的$x$代入，属于基础题型，需细心避免取值错误。
【难度系数】
0.5
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先对括号内的分式通分计算差，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简式；接着根据分式有意义的条件确定x的可取值，最后代入合适的x求值。
【解析】
$\begin{aligned}&(\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{x}{x+2})÷\dfrac{x^2+x}{x^2-4}\\=&\dfrac{x(x+2)-x(x-2)}{(x-2)(x+2)}÷\dfrac{x(x+1)}{(x+2)(x-2)}\\=&\dfrac{x^2+2x - x^2 + 2x}{(x-2)(x+2)}·\dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+1)}\\=&\dfrac{4x}{(x-2)(x+2)}·\dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+1)}\\=&\dfrac{4}{x+1}\end{aligned}$
要使分式有意义，则分母不为0，即：
$x-2≠0$，$x+2≠0$，$x≠0$，$x+1≠0$，
所以$x≠\pm2$，$x≠0$，$x≠-1$，故$x$可取$1$。
当$x=1$时，原式$=\dfrac{4}{1+1}=2$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{4}{x+1}$，当$x=1$时，值为$2$。
【知识点】
分式的化简求值、分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是通分、因式分解和约分的运算，需注意分式有意义的限制条件，选择合适的$x$代入，属于基础题型，需细心避免取值错误。
【难度系数】
0.5
19. (7分)某校利用课后延时服务时间，开设“阳光球类系列课程”，有足球、篮球、乒乓球、羽毛球、棒球五大球类课程，为了解学生对课程的喜爱情况，随机调查了$ m $名学生(每名学生必选且只选其中一门课程). 根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
(1)$ m = \_\_\_\_\_\_, n = \_\_\_\_\_\_ $;
(2)补全条形统计图；
(3)“足球”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角度数为________;
(4)若全校共有3 000名学生，请估计该校有多少名学生喜爱打乒乓球.
(1)$ m = \_\_\_\_\_\_, n = \_\_\_\_\_\_ $;
(2)补全条形统计图；
(3)“足球”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角度数为________;
(4)若全校共有3 000名学生，请估计该校有多少名学生喜爱打乒乓球.
答案
19. 【点拨】本题考查条形统计图,扇形统计图,用样本估计总体.
【解析】(1)$m=30÷30\%=100$,$n\%=\frac{5}{100}×100\%=5\%$,$\therefore n=5$. 故答案为100,5.
(2)$100-30-20-10-5=35$(名).
补全条形统计图如图所示:
(3)$35\%×360°=126°$. 故答案为$126°$.
(4)在样本中喜爱打乒乓球的学生占$\frac{20}{100}×100\%=20\%$,用样本估计总体,则$3000×20\%=600$(名),所以估计该校有600名学生喜爱打乒乓球.
解析
【分析】
本题是条形统计图与扇形统计图的综合应用，解题思路如下：① 结合扇形图中篮球的占比和条形图中篮球的人数，求出被调查的总人数$ m $；② 用棒球人数除以总人数得到棒球的百分比，进而求出$ n $的值；③ 用总人数减去其他项目的人数，得到足球人数，以此补全条形统计图；④ 利用足球的百分比乘以$ 360° $，计算足球对应的圆心角度数；⑤ 先求出样本中喜爱乒乓球的学生占比，再用该占比乘以全校总人数，估计全校喜爱乒乓球的学生人数。
【解析】
(1) 由条形图知喜爱篮球的有30人，扇形图中篮球占$ 30\% $，因此总人数$ m = 30 ÷ 30\% = 100 $；棒球人数为5，占比为$ \frac{5}{100} × 100\% = 5\% $，故$ n = 5 $。
(2) 喜爱足球的人数为：$ 100 - 30 - 20 - 10 - 5 = 35 $（名），据此补全条形统计图（足球项目对应人数为35）。
(3) 足球占比为$ 35\% $，对应圆心角度数为：$ 35\% × 360° = 126° $。
(4) 样本中喜爱乒乓球的学生占比为$ \frac{20}{100} × 100\% = 20\% $，用样本估计总体，全校喜爱乒乓球的学生数为：$ 3000 × 20\% = 600 $（名）。
【答案】
(1) $ 100, 5 $；
(2) 补全的条形统计图（足球项目对应人数为35）；
(3) $ 126° $；
(4) $ 600 $名。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计图表的综合应用，核心是读懂两个统计图的信息，利用“部分量÷对应百分比=总量”等关系解题，是统计部分的基础题型，注重基础计算和统计思想的考查。
【难度系数】
0.6
本题是条形统计图与扇形统计图的综合应用，解题思路如下：① 结合扇形图中篮球的占比和条形图中篮球的人数，求出被调查的总人数$ m $；② 用棒球人数除以总人数得到棒球的百分比，进而求出$ n $的值；③ 用总人数减去其他项目的人数，得到足球人数，以此补全条形统计图；④ 利用足球的百分比乘以$ 360° $，计算足球对应的圆心角度数；⑤ 先求出样本中喜爱乒乓球的学生占比，再用该占比乘以全校总人数，估计全校喜爱乒乓球的学生人数。
【解析】
(1) 由条形图知喜爱篮球的有30人，扇形图中篮球占$ 30\% $，因此总人数$ m = 30 ÷ 30\% = 100 $；棒球人数为5，占比为$ \frac{5}{100} × 100\% = 5\% $，故$ n = 5 $。
(2) 喜爱足球的人数为：$ 100 - 30 - 20 - 10 - 5 = 35 $（名），据此补全条形统计图（足球项目对应人数为35）。
(3) 足球占比为$ 35\% $，对应圆心角度数为：$ 35\% × 360° = 126° $。
(4) 样本中喜爱乒乓球的学生占比为$ \frac{20}{100} × 100\% = 20\% $，用样本估计总体，全校喜爱乒乓球的学生数为：$ 3000 × 20\% = 600 $（名）。
【答案】
(1) $ 100, 5 $；
(2) 补全的条形统计图（足球项目对应人数为35）；
(3) $ 126° $；
(4) $ 600 $名。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计图表的综合应用，核心是读懂两个统计图的信息，利用“部分量÷对应百分比=总量”等关系解题，是统计部分的基础题型，注重基础计算和统计思想的考查。
【难度系数】
0.6
