26. (10分)广告语说“下雨天巧克力和音乐更配”,那么角平分线配上特殊的四边形会擦出什么样的火花呢?下面我们一起研究吧.
(1)如图1,在$□ ABCD$中,$∠ BAD$的平分线交$CD$于点$E$,$∠ ABC$的平分线交$CD$于点$F$,若$AD = 5,EF = 2$,求$AB$的长;
(2)如图2,在菱形$ABCD$中,$AE$和$CF$相交于点$P$,若$AF = CE$,求证:$PB$平分$∠ APC$;
(3)如图3,在正方形$ABCD$中,$E$是$BC$中点,请用直尺与圆规在$CD$边上画一点$F$,使得$FA$恰是$∠ DFE$的平分线(保留作图痕迹,不写作法);
(4)如图4,在矩形$ABCD$中,$AB = 4,AD = 3$,点$E$和$F$分别是$AD$和$AB$上的动点,连接$EF$,若$EC$平分$∠ DEF$,则$AF$的最大值为________.

26. 【点拨】本题考查平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的定义,勾股定理.
【解析】(1)$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形,$AD=5$,
$\therefore AB// CD$,$AD=BC=5$,$AB=CD$,$∠ DEA=∠ BAE$,$∠ CFB=∠ ABF$,又$\because AE$平分$∠ BAD$,$BF$平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ DAE=∠ BAE$,$∠ CBF=∠ ABF$,
$\therefore ∠ DEA=∠ DAE$,$∠ CFB=∠ CBF$,
$\therefore AD=DE=5$,$CF=CB=5$,
$\therefore CD=DE+CF-EF=5+5-2=8$,$\therefore AB=8$.
(2)证明:$\because$ 四边形$ABCD$为菱形,
$\therefore AD=CD=BC=AB$,$∠ DAB=∠ BCD$.
$\because AF=CE$,$\therefore DF=DE$.
又$\because ∠ D=∠ D$,$\therefore △ ADE≌ △ CDF(SAS)$,$\therefore ∠ DAE=∠ DCF$.
又$\because ∠ APF=∠ CPE$,$AF=CE$,
$\therefore △ AFP≌ △ CEP(AAS)$,$\therefore AP=CP$.
又$\because ∠ DAB=∠ BCD$,$∠ DAE=∠ DCF$,
$\therefore ∠ DAB-∠ DAE=∠ BCD-∠ DCF$,即$∠ PAB=∠ PCB$.
又$\because AB=BC$,$\therefore △ ABP≌ △ CBP(SAS)$,
$\therefore ∠ APB=∠ BPC$,即$PB$平分$∠ APC$.
(3)如图1,点$F$为所求作的点,以点$A$为圆心,$AB$为半径画弧,再以点$E$为圆心,$BE$为半径画弧,两弧相交于点$P$,作射线$EP$交$CD$于点$F$.
由作图知,$BE=PE$,$AP=AB=AD$.
又$\because AE=AE$,$\therefore △ APE≌ △ ABE(SSS)$,
$\therefore ∠ APE=∠ B=90°$,$\therefore ∠ APF=90°$.
又$\because ∠ D=90°$,$AD=AP$,$AF=AF$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF≌ \mathrm{Rt}△ APF(HL)$,
$\therefore ∠ AFD=∠ AFP$,即$FA$平分$∠ DFE$.

(4)如图2,过点$C$作$CG⊥ EF$于点$G$,连接$CF$,则$∠ CGE=90°$.
$\because$ 四边形$ABCD$为矩形,
且$AB=4$,$AD=3$,
$\therefore AB=CD=4$,$∠ CDE=90°$.
$\because EC$平分$∠ DEF$,$\therefore ∠ DEC=∠ GEC$.
又$\because CE=CE$,
$\therefore △ CDE≌ △ CGE(AAS)$.
$\therefore CD=CG=4$,$\therefore$ 点$G$在以点$C$为圆心,4为半径的圆弧$DN$上,设圆弧$DN$与$AB$交于点$M$,连接$CM$.
①当点$G$在$AB$上方时,$\because CG⊥ EF$,$CG=CM$,$∠ B=90°$,
$\therefore CF＞CM$,$\therefore CF^2＞CM^2$,
$\therefore \sqrt{CF^2-CB^2}＞\sqrt{CM^2-CB^2}$,
即$BF＞BM$,$\therefore AB-BF＜AB-BM$,即$AF＜AM$.
②如图3,当点$G$与点$M$重合时,点$F$与点$M$重合,则$CD=CF=4$,
$\therefore BF=\sqrt{CF^2-BC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$,
$\therefore AF=4-\sqrt{7}$.


③如图4,当点$G$在$AB$下方时,
$\because CG⊥ EF$的延长线,$CG=CM$,$∠ B=90°$,
$\therefore CF＞CM$,$\therefore CF^2＞CM^2$,
$\therefore \sqrt{CF^2-CB^2}＞\sqrt{CM^2-CB^2}$,
即$BF＞BM$,
$\therefore AB-BF＜AB-BM$,即$AF＜AM$.
综上所述,$AF$的最大值为$4-\sqrt{7}$. 故答案为$4-\sqrt{7}$.

【分析】
本题以特殊四边形为载体，结合角平分线的定义，综合考查全等三角形的判定与性质、特殊四边形的性质、勾股定理、尺规作图及最值问题。解题思路：（1）利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线得到等腰三角形，求出DE、CF的长度，再根据线段和差计算AB；（2）利用菱形的边相等、角相等的性质，通过两次全等三角形的证明，推导出PB平分∠APC；（3）根据角平分线的性质，用尺规作图构造全等三角形，确定CD边上的点F；（4）利用角平分线的性质作垂线，结合勾股定理和圆的性质，转化为线段最值问题，求出AF的最大值。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD为平行四边形，AD=5，
∴ AB//CD，AD=BC=5，AB=CD，∠DEA=∠BAE，∠CFB=∠ABF。
又
∵ AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，
∴ ∠DAE=∠BAE，∠CBF=∠ABF，
∴ ∠DEA=∠DAE，∠CFB=∠CBF，
∴ AD=DE=5，CF=CB=5，
∴ CD=DE+CF-EF=5+5-2=8，
∴ AB=8。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ AD=CD=BC=AB，∠DAB=∠BCD。
∵ AF=CE，
∴ DF=DE。
又
∵ ∠D=∠D，
∴ △ADE≌△CDF(SAS)，
∴ ∠DAE=∠DCF。
又
∵ ∠APF=∠CPE，AF=CE，
∴ △AFP≌△CEP(AAS)，
∴ AP=CP。
又
∵ ∠DAB=∠BCD，∠DAE=∠DCF，
∴ ∠DAB-∠DAE=∠BCD-∠DCF，即∠PAB=∠PCB。
又
∵ AB=BC，
∴ △ABP≌△CBP(SAS)，
∴ ∠APB=∠BPC，即PB平分∠APC。
(3) 作图：以点A为圆心，AB为半径画弧，以点E为圆心，BE为半径画弧，两弧交于点P，作射线EP交CD于点F，点F即为所求（作图痕迹保留）。
(4) 过点C作CG⊥EF于点G，连接CF，则∠CGE=90°。
∵ 四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，
∴ CD=AB=4，∠CDE=90°。
∵ EC平分∠DEF，
∴ ∠DEC=∠GEC。
又
∵ CE=CE，
∴ △CDE≌△CGE(AAS)，
∴ CD=CG=4，即点G在以C为圆心、4为半径的圆弧上。
当点G与AB上的点M重合时，CF=CM=4，在Rt△CBM中，BM=√(CM²-BC²)=√(4²-3²)=√7，
∴ AF=AB-BM=4-√7，此为AF的最大值。
【答案】
(1) AB=8；(2) 证明成立；(3) 作图见解析；(4) 4-√7
【知识点】
平行四边形性质、全等三角形判定、角平分线性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形的性质、全等三角形的应用、角平分线的性质，涉及尺规作图和最值问题，需要学生熟练掌握相关几何定理，具备较强的逻辑推理和知识整合能力，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5