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一、单选题
1. 下列四个实数中，是无理数的是 （
A.$-3$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\sqrt{4}$
D.$\sqrt[3]{11}$
1. 下列四个实数中，是无理数的是 （
D
）A.$-3$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\sqrt{4}$
D.$\sqrt[3]{11}$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先要明确有理数和无理数的定义：有理数是整数和分数的统称，本质是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型包括开方开不尽的数等。接下来逐一判断每个选项对应的数属于哪一类，排除有理数选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析四个选项：
1. 选项A：$-3$是负整数，整数属于有理数，因此A不是无理数；
2. 选项B：$\frac{2}{5}$是分数，分数属于有理数，因此B不是无理数；
3. 选项C：先化简得$\sqrt{4}=2$，2是正整数，属于有理数，因此C不是无理数；
4. 选项D：$\sqrt[3]{11}$是开立方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数。
综上，符合要求的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
无理数的识别，实数的分类，根式化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是准确区分有理数和无理数的范畴，注意带根号的数不一定是无理数，需要先化简根式再判断。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确有理数和无理数的定义：有理数是整数和分数的统称，本质是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型包括开方开不尽的数等。接下来逐一判断每个选项对应的数属于哪一类，排除有理数选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析四个选项：
1. 选项A：$-3$是负整数，整数属于有理数，因此A不是无理数；
2. 选项B：$\frac{2}{5}$是分数，分数属于有理数，因此B不是无理数；
3. 选项C：先化简得$\sqrt{4}=2$，2是正整数，属于有理数，因此C不是无理数；
4. 选项D：$\sqrt[3]{11}$是开立方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数。
综上，符合要求的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
无理数的识别，实数的分类，根式化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是准确区分有理数和无理数的范畴，注意带根号的数不一定是无理数，需要先化简根式再判断。
【难度系数】
0.9
2. 实数－2的相反数是 （
A.$-2$
B.$2$
C.$-\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{1}{2}$
B
）A.$-2$
B.$2$
C.$-\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数的基本概念：只有符号不同的两个数互为相反数。要求-2的相反数，只需要改变-2的符号，也可以根据“求一个数的相反数就是在这个数前面添加负号”的规律计算，得到结果后匹配对应选项即可。
【解析】
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
求-2的相反数可列式计算：$-(-2)=2$，因此-2的相反数是2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记相反数的定义就能快速得出答案，是典型的基础送分类题目。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相反数的基本概念：只有符号不同的两个数互为相反数。要求-2的相反数，只需要改变-2的符号，也可以根据“求一个数的相反数就是在这个数前面添加负号”的规律计算，得到结果后匹配对应选项即可。
【解析】
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
求-2的相反数可列式计算：$-(-2)=2$，因此-2的相反数是2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记相反数的定义就能快速得出答案，是典型的基础送分类题目。
【难度系数】
0.9
3. 若$a$，$b$是正整数，且满足$3^a + 3^a + 3^a = 3^b × 3^b × 3^b$，则下列$a$与$b$的关系正确的是（
A.$a=b$
B.$a+1=3b$
C.$a+1=b^3$
D.$3a=b^3$
B
）A.$a=b$
B.$a+1=3b$
C.$a+1=b^3$
D.$3a=b^3$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先分别化简等式的左右两边：首先左边是3个相同的$3^a$相加，可转化为乘法运算；右边是3个同底数幂相乘，按照同底数幂的乘法法则计算；最后根据底数相同的两个幂相等时，指数也相等的性质，即可推导得到a与b的关系。
【解析】
先化简等式左边：
3个$3^a$相加，即$3^a + 3^a + 3^a = 3 × 3^a$，根据同底数幂的乘法规则，$3 × 3^a = 3^{1+a}$。
再化简等式右边：
3个$3^b$相乘，即$3^b × 3^b × 3^b$，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$3^b × 3^b × 3^b = 3^{b+b+b} = 3^{3b}$。
因为等式左右两边相等，且底数3不为0也不为1，所以两个幂的指数相等，即$a+1=3b$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项、同底数幂乘法、幂的性质
【点评】
本题考查幂的相关运算规则，解题核心是正确化简等式两侧的式子，再利用同底数幂相等的性质建立指数的等量关系，属于基础运算题，熟练掌握幂的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先分别化简等式的左右两边：首先左边是3个相同的$3^a$相加，可转化为乘法运算；右边是3个同底数幂相乘，按照同底数幂的乘法法则计算；最后根据底数相同的两个幂相等时，指数也相等的性质，即可推导得到a与b的关系。
【解析】
先化简等式左边：
3个$3^a$相加，即$3^a + 3^a + 3^a = 3 × 3^a$，根据同底数幂的乘法规则，$3 × 3^a = 3^{1+a}$。
再化简等式右边：
3个$3^b$相乘，即$3^b × 3^b × 3^b$，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$3^b × 3^b × 3^b = 3^{b+b+b} = 3^{3b}$。
因为等式左右两边相等，且底数3不为0也不为1，所以两个幂的指数相等，即$a+1=3b$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项、同底数幂乘法、幂的性质
【点评】
本题考查幂的相关运算规则，解题核心是正确化简等式两侧的式子，再利用同底数幂相等的性质建立指数的等量关系，属于基础运算题，熟练掌握幂的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 已知$a^x=2$，$a^y=3$，则$a^{3x+2y}$等于（
A.1
B.72
C.-72
D.-36
B
）A.1
B.72
C.-72
D.-36
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的指数形式，是两个带系数的指数相加，首先想到逆用同底数幂的乘法法则$a^{m+n}=a^m· a^n$，将所求式子拆成$a^{3x}$和$a^{2y}$的乘积；再逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，把$a^{3x}$转化为$(a^x)^3$，$a^{2y}$转化为$(a^y)^2$，最后代入已知的$a^x=2$、$a^y=3$计算即可。也可先根据幂的非负性排除负数选项，缩小选择范围。
【解析】
解：根据幂的运算性质逆用计算：
1. 逆用同底数幂的乘法法则拆分指数：
$a^{3x+2y}=a^{3x} · a^{2y}$
2. 逆用幂的乘方法则转化为已知条件的形式：
$a^{3x}=(a^x)^3$，$a^{2y}=(a^y)^2$，因此原式可写为$(a^x)^3 · (a^y)^2$
3. 代入已知数值计算：
将$a^x=2$，$a^y=3$代入得：
原式$=2^3 × 3^2 = 8 × 9 = 72$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，幂的运算逆用
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的灵活应用，解题核心是熟练掌握幂的相关运算法则，能将待求式通过逆用运算性质转化为含已知条件的形式再代入求值，也可通过幂的符号特征先排除错误选项，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求代数式的指数形式，是两个带系数的指数相加，首先想到逆用同底数幂的乘法法则$a^{m+n}=a^m· a^n$，将所求式子拆成$a^{3x}$和$a^{2y}$的乘积；再逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，把$a^{3x}$转化为$(a^x)^3$，$a^{2y}$转化为$(a^y)^2$，最后代入已知的$a^x=2$、$a^y=3$计算即可。也可先根据幂的非负性排除负数选项，缩小选择范围。
【解析】
解：根据幂的运算性质逆用计算：
1. 逆用同底数幂的乘法法则拆分指数：
$a^{3x+2y}=a^{3x} · a^{2y}$
2. 逆用幂的乘方法则转化为已知条件的形式：
$a^{3x}=(a^x)^3$，$a^{2y}=(a^y)^2$，因此原式可写为$(a^x)^3 · (a^y)^2$
3. 代入已知数值计算：
将$a^x=2$，$a^y=3$代入得：
原式$=2^3 × 3^2 = 8 × 9 = 72$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，幂的运算逆用
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的灵活应用，解题核心是熟练掌握幂的相关运算法则，能将待求式通过逆用运算性质转化为含已知条件的形式再代入求值，也可通过幂的符号特征先排除错误选项，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
5. “整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛. 已知$x+y=4$，则$x^2 - y^2 + 8y$的值为 （
A.4
B.8
C.12
D.16
D
）A.4
B.8
C.12
D.16
答案
5.D
解析
【分析】
本题可利用整体思想求解，首先观察所求代数式中含有$x^2-y^2$，符合平方差公式的结构特征，因此先利用平方差公式对其因式分解，再将已知条件$x+y=4$整体代入，对代数式逐步化简，最后再次整体代入$x+y=4$即可求出结果，无需单独计算$x$、$y$的具体值。
【解析】
首先利用平方差公式对所求式子变形：
$x^2 - y^2 + 8y=(x+y)(x-y)+8y$
已知$x+y=4$，将其代入上式得：
$原式=4(x-y)+8y$
去括号合并同类项：
$4(x-y)+8y=4x-4y+8y=4x+4y$
提取公因式4，将式子转化为含$x+y$的形式：
$4x+4y=4(x+y)$
再次将$x+y=4$整体代入计算：
$4(x+y)=4×4=16$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，整式化简，整体代入求值
【点评】
本题重点考查整体思想在代数式求值中的应用，解题的核心是通过因式分解对所求代数式进行合理变形，将已知条件作为整体代入计算，简化了运算过程，避免了单独求解未知数的繁琐。
【难度系数】
0.8
本题可利用整体思想求解，首先观察所求代数式中含有$x^2-y^2$，符合平方差公式的结构特征，因此先利用平方差公式对其因式分解，再将已知条件$x+y=4$整体代入，对代数式逐步化简，最后再次整体代入$x+y=4$即可求出结果，无需单独计算$x$、$y$的具体值。
【解析】
首先利用平方差公式对所求式子变形：
$x^2 - y^2 + 8y=(x+y)(x-y)+8y$
已知$x+y=4$，将其代入上式得：
$原式=4(x-y)+8y$
去括号合并同类项：
$4(x-y)+8y=4x-4y+8y=4x+4y$
提取公因式4，将式子转化为含$x+y$的形式：
$4x+4y=4(x+y)$
再次将$x+y=4$整体代入计算：
$4(x+y)=4×4=16$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，整式化简，整体代入求值
【点评】
本题重点考查整体思想在代数式求值中的应用，解题的核心是通过因式分解对所求代数式进行合理变形，将已知条件作为整体代入计算，简化了运算过程，避免了单独求解未知数的繁琐。
【难度系数】
0.8
6. 下列选项中不正确的是 （
A.分数一定不是无理数
B.算术平方根都是非负数
C.立方根等于它本身的数是0和1
D.一个实数不是有理数就是无理数
C
）A.分数一定不是无理数
B.算术平方根都是非负数
C.立方根等于它本身的数是0和1
D.一个实数不是有理数就是无理数
答案
6.C
解析
【分析】
本题考查实数相关的基础概念，解题思路是逐个验证每个选项的表述是否符合对应数学定义：首先明确有理数、无理数的范围判断A选项；再依据算术平方根的定义判断B选项；接着列举所有立方根等于自身的数判断C选项；最后根据实数的分类判断D选项，最终选出表述错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数，分数属于有理数范畴，因此分数一定不是无理数，该选项表述正确，不符合题意；
B. 算术平方根的定义为：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则$x$叫做$a$的算术平方根，因此所有算术平方根都是非负数，该选项表述正确，不符合题意；
C. 计算可得：$0$的立方根是$0$，$1$的立方根是$1$，$-1$的立方根是$-1$，因此立方根等于它本身的数是$0$、$1$、$-1$，选项遗漏了$-1$，表述错误，符合题意；
D. 实数按定义可分为有理数和无理数两类，因此一个实数不是有理数就是无理数，该选项表述正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
实数的分类；算术平方根的性质；立方根的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是梳理立方根等于自身的数时容易遗漏$-1$，只要熟练掌握实数相关的核心定义，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
本题考查实数相关的基础概念，解题思路是逐个验证每个选项的表述是否符合对应数学定义：首先明确有理数、无理数的范围判断A选项；再依据算术平方根的定义判断B选项；接着列举所有立方根等于自身的数判断C选项；最后根据实数的分类判断D选项，最终选出表述错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数，分数属于有理数范畴，因此分数一定不是无理数，该选项表述正确，不符合题意；
B. 算术平方根的定义为：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则$x$叫做$a$的算术平方根，因此所有算术平方根都是非负数，该选项表述正确，不符合题意；
C. 计算可得：$0$的立方根是$0$，$1$的立方根是$1$，$-1$的立方根是$-1$，因此立方根等于它本身的数是$0$、$1$、$-1$，选项遗漏了$-1$，表述错误，符合题意；
D. 实数按定义可分为有理数和无理数两类，因此一个实数不是有理数就是无理数，该选项表述正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
实数的分类；算术平方根的性质；立方根的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是梳理立方根等于自身的数时容易遗漏$-1$，只要熟练掌握实数相关的核心定义，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
7. 估算$\sqrt{31}$的大小是 （
A.4与5之间
B.5与6之间
C.6与7之间
D.不能确定
B
）A.4与5之间
B.5与6之间
C.6与7之间
D.不能确定
答案
7.B
解析
【分析】
要估算√31的大小，核心思路是找到与31相邻的两个正整数的完全平方数，再利用算术平方根的增减性（被开方数越大，对应的算术平方根越大）推导√31的取值范围。首先回忆常见正整数的平方值，找到平方后刚好比31小和比31大的两个相邻整数，再通过不等式变形即可得到√31的范围。
【解析】
解：先计算相邻正整数的平方：
$5^2 = 25$，$6^2 = 36$
∵ $25 ＜ 31 ＜ 36$
根据算术平方根的性质：当$a＞0,b＞0$时，若$a ＜ b$，则$\sqrt{a} ＜ \sqrt{b}$
∴ $\sqrt{25} ＜ \sqrt{31} ＜ \sqrt{36}$
化简得：$5 ＜ \sqrt{31} ＜ 6$
因此√31的大小在5与6之间。
【答案】
B
【知识点】
无理数估算；完全平方数；算术平方根性质
【点评】
本题是实数章节的基础常考题，重点考查无理数的估算方法，解题关键是快速定位与被开方数相邻的两个完全平方数，整体解题逻辑简单，容易掌握。
【难度系数】
0.8
要估算√31的大小，核心思路是找到与31相邻的两个正整数的完全平方数，再利用算术平方根的增减性（被开方数越大，对应的算术平方根越大）推导√31的取值范围。首先回忆常见正整数的平方值，找到平方后刚好比31小和比31大的两个相邻整数，再通过不等式变形即可得到√31的范围。
【解析】
解：先计算相邻正整数的平方：
$5^2 = 25$，$6^2 = 36$
∵ $25 ＜ 31 ＜ 36$
根据算术平方根的性质：当$a＞0,b＞0$时，若$a ＜ b$，则$\sqrt{a} ＜ \sqrt{b}$
∴ $\sqrt{25} ＜ \sqrt{31} ＜ \sqrt{36}$
化简得：$5 ＜ \sqrt{31} ＜ 6$
因此√31的大小在5与6之间。
【答案】
B
【知识点】
无理数估算；完全平方数；算术平方根性质
【点评】
本题是实数章节的基础常考题，重点考查无理数的估算方法，解题关键是快速定位与被开方数相邻的两个完全平方数，整体解题逻辑简单，容易掌握。
【难度系数】
0.8
8. 为了做到科学备考，学校要调查某校九年级学生星期天的睡眠时间，选取的调查对象最合适的是 （
A.选取其中一个班的学生
B.选取50名男生
C.选取50名女生
D.随机选取50名九年级学生
D
）A.选取其中一个班的学生
B.选取50名男生
C.选取50名女生
D.随机选取50名九年级学生
答案
8.D
解析
【分析】
这是一道考查抽样调查样本选取的题目，解题的核心是明确抽样调查的样本需要满足代表性、广泛性、随机性三个要求，不能偏向某一特定群体。首先明确本次调查的目标是了解某校全体九年级学生的星期天睡眠时间，因此选取的调查对象需要能反映整个九年级学生的普遍情况，我们可以逐一分析每个选项是否符合样本选取的要求，进而选出正确答案。
【解析】
抽样调查选取样本时，需保证样本具有代表性、广泛性，且为随机抽取，避免偏向特定群体。本次调查的对象是某校全体九年级学生的星期天睡眠时间，我们对各选项分析如下：
A. 仅选取一个班的学生，样本范围过窄，无法代表整个九年级所有班级的情况，不合适；
B. 仅选取50名男生，遗漏了女生群体，样本不具备广泛性，不合适；
C. 仅选取50名女生，遗漏了男生群体，样本不具备广泛性，不合适；
D. 随机选取50名九年级学生，既保证了抽样的随机性，又覆盖了九年级的全体学生群体，样本具备代表性和广泛性，是最合适的选取方式。
【答案】
D
【知识点】
1. 抽样调查 2. 样本选取原则
【点评】
本题是统计模块的基础题型，重点考查对抽样调查中样本选取要求的理解，只要掌握样本需具备代表性、广泛性、随机性的核心特点，即可快速判断出正确选项，是统计类知识的常见基础考查题。
【难度系数】
0.9
这是一道考查抽样调查样本选取的题目，解题的核心是明确抽样调查的样本需要满足代表性、广泛性、随机性三个要求，不能偏向某一特定群体。首先明确本次调查的目标是了解某校全体九年级学生的星期天睡眠时间，因此选取的调查对象需要能反映整个九年级学生的普遍情况，我们可以逐一分析每个选项是否符合样本选取的要求，进而选出正确答案。
【解析】
抽样调查选取样本时，需保证样本具有代表性、广泛性，且为随机抽取，避免偏向特定群体。本次调查的对象是某校全体九年级学生的星期天睡眠时间，我们对各选项分析如下：
A. 仅选取一个班的学生，样本范围过窄，无法代表整个九年级所有班级的情况，不合适；
B. 仅选取50名男生，遗漏了女生群体，样本不具备广泛性，不合适；
C. 仅选取50名女生，遗漏了男生群体，样本不具备广泛性，不合适；
D. 随机选取50名九年级学生，既保证了抽样的随机性，又覆盖了九年级的全体学生群体，样本具备代表性和广泛性，是最合适的选取方式。
【答案】
D
【知识点】
1. 抽样调查 2. 样本选取原则
【点评】
本题是统计模块的基础题型，重点考查对抽样调查中样本选取要求的理解，只要掌握样本需具备代表性、广泛性、随机性的核心特点，即可快速判断出正确选项，是统计类知识的常见基础考查题。
【难度系数】
0.9
