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1.(德清县)下列分式中,属于最简分式的是 (
A.$\frac{2x}{x+1}$
B.$\frac{2}{6x}$
C.$\frac{x-1}{x^2-1}$
D.$\frac{1-x}{x-1}$
A
)A.$\frac{2x}{x+1}$
B.$\frac{2}{6x}$
C.$\frac{x-1}{x^2-1}$
D.$\frac{1-x}{x-1}$
答案
A
解析
【分析】
要判断最简分式，需先明确其定义：分子和分母没有公因式的分式为最简分式。接下来对每个选项逐一分析，通过约分或因式分解检查分子分母是否存在公因式，从而确定正确选项。
【解析】
根据最简分式的定义，对各选项分析如下：
1. 选项A：$\frac{2x}{x+1}$，分子$2x$与分母$x+1$没有公因式，属于最简分式；
2. 选项B：$\frac{2}{6x}$，分子分母有公因式$2$，约分后为$\frac{1}{3x}$，不是最简分式；
3. 选项C：$\frac{x-1}{x^2-1}$，先对分母因式分解得$x^2-1=(x-1)(x+1)$，分子分母有公因式$x-1$，约分后为$\frac{1}{x+1}$，不是最简分式；
4. 选项D：$\frac{1-x}{x-1}$，分子变形为$-(x-1)$，与分母有公因式$x-1$，约分后为$-1$，不是最简分式；
综上，属于最简分式的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
最简分式的判定、因式分解的应用
【点评】
本题考查最简分式的判断，核心是掌握最简分式的定义，需结合因式分解检查分子分母是否有公因式，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断最简分式，需先明确其定义：分子和分母没有公因式的分式为最简分式。接下来对每个选项逐一分析，通过约分或因式分解检查分子分母是否存在公因式，从而确定正确选项。
【解析】
根据最简分式的定义，对各选项分析如下：
1. 选项A：$\frac{2x}{x+1}$，分子$2x$与分母$x+1$没有公因式，属于最简分式；
2. 选项B：$\frac{2}{6x}$，分子分母有公因式$2$，约分后为$\frac{1}{3x}$，不是最简分式；
3. 选项C：$\frac{x-1}{x^2-1}$，先对分母因式分解得$x^2-1=(x-1)(x+1)$，分子分母有公因式$x-1$，约分后为$\frac{1}{x+1}$，不是最简分式；
4. 选项D：$\frac{1-x}{x-1}$，分子变形为$-(x-1)$，与分母有公因式$x-1$，约分后为$-1$，不是最简分式；
综上，属于最简分式的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
最简分式的判定、因式分解的应用
【点评】
本题考查最简分式的判断，核心是掌握最简分式的定义，需结合因式分解检查分子分母是否有公因式，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
2.(金华市婺城区)分式$\dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$的值为0,则 (
A.$x=-2$
B.$x=\pm2$
C.$x=2$
D.$x=0$
C
)A.$x=-2$
B.$x=\pm2$
C.$x=2$
D.$x=0$
答案
C
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，需明确分式值为0的两个必要条件：①分子等于0；②分母不等于0，两个条件必须同时满足。解题时先令分子为0求出x的可能值，再代入分母检验，排除使分母为0的情况，即可得到正确结果。
【解析】
根据分式值为0的条件：
1. 令分子为0：$x^2 - 4 = 0$，因式分解得$(x+2)(x-2)=0$，解得$x=2$或$x=-2$；
2. 检验分母：分母为$x+2$，当$x=-2$时，分母$x+2=0$，分式无意义，故排除$x=-2$；当$x=2$时，分母$x+2=4≠0$，符合条件。因此$x=2$。
【答案】
C
【知识点】
分式的值为0的条件
【点评】
本题考查分式值为0的核心条件，易错点是忽略“分母不为0”的限制，需同时满足两个条件才能确定最终结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决分式值为0的问题，需明确分式值为0的两个必要条件：①分子等于0；②分母不等于0，两个条件必须同时满足。解题时先令分子为0求出x的可能值，再代入分母检验，排除使分母为0的情况，即可得到正确结果。
【解析】
根据分式值为0的条件：
1. 令分子为0：$x^2 - 4 = 0$，因式分解得$(x+2)(x-2)=0$，解得$x=2$或$x=-2$；
2. 检验分母：分母为$x+2$，当$x=-2$时，分母$x+2=0$，分式无意义，故排除$x=-2$；当$x=2$时，分母$x+2=4≠0$，符合条件。因此$x=2$。
【答案】
C
【知识点】
分式的值为0的条件
【点评】
本题考查分式值为0的核心条件，易错点是忽略“分母不为0”的限制，需同时满足两个条件才能确定最终结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
3.(衢州市)下列约分结果中,正确的是 (
A.$\frac{a}{a^2}=a$
B.$\frac{a+x}{b+x}=\frac{a}{b}$
C.$\frac{-x-y}{x+y}=-1$
D.$\frac{a^2+b^2}{a+b}=a+b$
C
)A.$\frac{a}{a^2}=a$
B.$\frac{a+x}{b+x}=\frac{a}{b}$
C.$\frac{-x-y}{x+y}=-1$
D.$\frac{a^2+b^2}{a+b}=a+b$
答案
C
解析
【分析】本题考查分式约分的规则，需明确：分式约分是将分子、分母的公因式约去，不能随意约去非公因式的项。我们需逐个分析选项，判断每个约分是否正确。
【解析】
选项A：$\frac{a}{a^2}$，分子分母的公因式为$a$，约分后应为$\frac{1}{a}$，而非$a$，故A错误；
选项B：$\frac{a+x}{b+x}$，分子与分母没有公因式，不能直接约去$x$，故B错误；
选项C：$\frac{-x-y}{x+y}$，先将分子变形为$-(x+y)$，分子分母的公因式为$x+y$，约分后得$-1$，故C正确；
选项D：$\frac{a^2+b^2}{a+b}$，分子$a^2+b^2$是平方和，无法因式分解，与分母$a+b$无公因式，不能约分，故D错误。
【答案】C
【知识点】分式的约分
【点评】本题属于分式约分的基础题型，核心是掌握分式约分的本质（约去公因式），需注意区分公因式与非公因式，避免错误约分。
【难度系数】0.7
【解析】
选项A：$\frac{a}{a^2}$，分子分母的公因式为$a$，约分后应为$\frac{1}{a}$，而非$a$，故A错误；
选项B：$\frac{a+x}{b+x}$，分子与分母没有公因式，不能直接约去$x$，故B错误；
选项C：$\frac{-x-y}{x+y}$，先将分子变形为$-(x+y)$，分子分母的公因式为$x+y$，约分后得$-1$，故C正确；
选项D：$\frac{a^2+b^2}{a+b}$，分子$a^2+b^2$是平方和，无法因式分解，与分母$a+b$无公因式，不能约分，故D错误。
【答案】C
【知识点】分式的约分
【点评】本题属于分式约分的基础题型，核心是掌握分式约分的本质（约去公因式），需注意区分公因式与非公因式，避免错误约分。
【难度系数】0.7
4.(慈溪市)把分式$\dfrac{1 - 3x}{-x + 2}$的分子、分母的最高次项的系数都化为正数的结果为(
A.$-\dfrac{1 - 3x}{x - 2}$
B.$\dfrac{3x - 1}{x + 2}$
C.$\dfrac{3x - 1}{x - 2}$
D.$\dfrac{3x + 1}{x - 2}$
C
)A.$-\dfrac{1 - 3x}{x - 2}$
B.$\dfrac{3x - 1}{x + 2}$
C.$\dfrac{3x - 1}{x - 2}$
D.$\dfrac{3x + 1}{x - 2}$
答案
C
解析
【分析】要将分式分子、分母的最高次项系数化为正数，需先分别对分子、分母提取负号，再利用分式的基本性质（分子分母同乘不为0的整式，分式值不变）处理符号，注意分子分母提取负号后，分式整体符号不变，最终化简得到结果。
【解析】首先，确定分子的最高次项为-3x，分母的最高次项为-x。对分子提取负号：$1 - 3x = -(3x - 1)$；对分母提取负号：$-x + 2 = -(x - 2)$。则原分式可变形为：$\frac{-(3x - 1)}{-(x - 2)}$，分子分母的负号约去，得到$\frac{3x - 1}{x - 2}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】分式的基本性质、分式的符号变形
【点评】本题是分式符号变形的基础题，核心是掌握“分子分母同时提取负号，分式值不变”的规则，需注意提取负号时各项的符号变化，避免因符号处理错误选错答案。
【难度系数】0.7
【解析】首先，确定分子的最高次项为-3x，分母的最高次项为-x。对分子提取负号：$1 - 3x = -(3x - 1)$；对分母提取负号：$-x + 2 = -(x - 2)$。则原分式可变形为：$\frac{-(3x - 1)}{-(x - 2)}$，分子分母的负号约去，得到$\frac{3x - 1}{x - 2}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】分式的基本性质、分式的符号变形
【点评】本题是分式符号变形的基础题，核心是掌握“分子分母同时提取负号，分式值不变”的规则，需注意提取负号时各项的符号变化，避免因符号处理错误选错答案。
【难度系数】0.7
5.(杭州市萧山区)下列分式变形中,正确的是 (
A.$-\dfrac{2x - 3}{x}=\dfrac{-2x - 3}{x}$
B.$\dfrac{2x - 3}{x}=\dfrac{x - 1.5}{x}$
C.$\dfrac{2x - 3}{x}=\dfrac{2x}{x + 3}$
D.$\dfrac{2x - 3}{x}=2 - \dfrac{3}{x}$
D
)A.$-\dfrac{2x - 3}{x}=\dfrac{-2x - 3}{x}$
B.$\dfrac{2x - 3}{x}=\dfrac{x - 1.5}{x}$
C.$\dfrac{2x - 3}{x}=\dfrac{2x}{x + 3}$
D.$\dfrac{2x - 3}{x}=2 - \dfrac{3}{x}$
答案
D
解析
【分析】
要判断分式变形是否正确，需依据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；同时，形如$\dfrac{a-b}{c}$的分式可拆分为$\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}$。接下来逐一分析各选项的变形是否符合上述规则，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们根据分式的基本性质和拆分法则逐一分析选项：
1. 选项A：$-\dfrac{2x - 3}{x} = \dfrac{-(2x - 3)}{x} = \dfrac{-2x + 3}{x}$，而选项中给出的是$\dfrac{-2x - 3}{x}$，符号处理错误，变形不正确；
2. 选项B：若对$\dfrac{2x - 3}{x}$的分子分母同除以2，需同时除以分母，即$\dfrac{(2x - 3)÷2}{x÷2} = \dfrac{x - 1.5}{0.5x}$，与选项中的$\dfrac{x - 1.5}{x}$不符，变形不正确；
3. 选项C：$\dfrac{2x - 3}{x}$与$\dfrac{2x}{x + 3}$的分子分母未进行相同的乘除运算，分式的值发生改变，变形不正确；
4. 选项D：根据分式拆分法则，$\dfrac{2x - 3}{x} = \dfrac{2x}{x} - \dfrac{3}{x} = 2 - \dfrac{3}{x}$，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、分式的拆分
【点评】
本题是分式变形的基础题型，主要考查分式基本性质的应用，解题时需注意符号处理和运算的一致性，避免因粗心导致符号或运算错误，属于初中数学分式章节的常见考点，难度适中。
【难度系数】
0.6
要判断分式变形是否正确，需依据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；同时，形如$\dfrac{a-b}{c}$的分式可拆分为$\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}$。接下来逐一分析各选项的变形是否符合上述规则，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们根据分式的基本性质和拆分法则逐一分析选项：
1. 选项A：$-\dfrac{2x - 3}{x} = \dfrac{-(2x - 3)}{x} = \dfrac{-2x + 3}{x}$，而选项中给出的是$\dfrac{-2x - 3}{x}$，符号处理错误，变形不正确；
2. 选项B：若对$\dfrac{2x - 3}{x}$的分子分母同除以2，需同时除以分母，即$\dfrac{(2x - 3)÷2}{x÷2} = \dfrac{x - 1.5}{0.5x}$，与选项中的$\dfrac{x - 1.5}{x}$不符，变形不正确；
3. 选项C：$\dfrac{2x - 3}{x}$与$\dfrac{2x}{x + 3}$的分子分母未进行相同的乘除运算，分式的值发生改变，变形不正确；
4. 选项D：根据分式拆分法则，$\dfrac{2x - 3}{x} = \dfrac{2x}{x} - \dfrac{3}{x} = 2 - \dfrac{3}{x}$，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、分式的拆分
【点评】
本题是分式变形的基础题型，主要考查分式基本性质的应用，解题时需注意符号处理和运算的一致性，避免因粗心导致符号或运算错误，属于初中数学分式章节的常见考点，难度适中。
【难度系数】
0.6
6.(新昌县)下列关于方程$\dfrac{2 - x}{x - 3} = \dfrac{1}{3 - x} - 2$的变形,正确的是 (
A.$2 - x = 1 - 2$
B.$2 - x = -1 - 2x - 3$
C.$2 - x = -1 - 2(x - 3)$
D.$2 - x = 1 - 2(x - 3)$
C
)A.$2 - x = 1 - 2$
B.$2 - x = -1 - 2x - 3$
C.$2 - x = -1 - 2(x - 3)$
D.$2 - x = 1 - 2(x - 3)$
答案
C
解析
【分析】
本题考查分式方程去分母的变形，解题思路为：先观察分式方程的分母，发现$x-3$与$3-x$互为相反数，需先统一分母符号，确定最简公分母为$x-3$；再根据等式的性质，方程两边同时乘最简公分母时，每一项都要乘，尤其要注意常数项不能漏乘，同时处理好符号变化，避免出错。
【解析】
原方程为$\dfrac{2 - x}{x - 3} = \dfrac{1}{3 - x} - 2$，
因为$3 - x = -(x - 3)$，所以将方程右边的$\dfrac{1}{3 - x}$转化为$-\dfrac{1}{x - 3}$，方程变为：
$\dfrac{2 - x}{x - 3} = -\dfrac{1}{x - 3} - 2$，
根据等式的性质，方程两边同时乘最简公分母$(x - 3)$（$x ≠ 3$，保证分母不为0），
左边：$\dfrac{2 - x}{x - 3} × (x - 3) = 2 - x$，
右边：$-\dfrac{1}{x - 3} × (x - 3) - 2 × (x - 3) = -1 - 2(x - 3)$，
因此变形后的式子为$2 - x = -1 - 2(x - 3)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程去分母
【点评】
本题是分式方程的基础变形题，重点考查去分母时的符号处理和常数项漏乘问题，是分式方程求解的关键步骤，需注意分母互为相反数时的符号转换，避免常见错误。
【难度系数】
0.6
本题考查分式方程去分母的变形，解题思路为：先观察分式方程的分母，发现$x-3$与$3-x$互为相反数，需先统一分母符号，确定最简公分母为$x-3$；再根据等式的性质，方程两边同时乘最简公分母时，每一项都要乘，尤其要注意常数项不能漏乘，同时处理好符号变化，避免出错。
【解析】
原方程为$\dfrac{2 - x}{x - 3} = \dfrac{1}{3 - x} - 2$，
因为$3 - x = -(x - 3)$，所以将方程右边的$\dfrac{1}{3 - x}$转化为$-\dfrac{1}{x - 3}$，方程变为：
$\dfrac{2 - x}{x - 3} = -\dfrac{1}{x - 3} - 2$，
根据等式的性质，方程两边同时乘最简公分母$(x - 3)$（$x ≠ 3$，保证分母不为0），
左边：$\dfrac{2 - x}{x - 3} × (x - 3) = 2 - x$，
右边：$-\dfrac{1}{x - 3} × (x - 3) - 2 × (x - 3) = -1 - 2(x - 3)$，
因此变形后的式子为$2 - x = -1 - 2(x - 3)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程去分母
【点评】
本题是分式方程的基础变形题，重点考查去分母时的符号处理和常数项漏乘问题，是分式方程求解的关键步骤，需注意分母互为相反数时的符号转换，避免常见错误。
【难度系数】
0.6
7.(宁波市鄞州区)甲、乙两班学生植树造林,已知甲班每天比乙班多植树5棵,甲班植树80棵所用的天数与乙班植树70棵所用的天数相等。若设甲班每天植树x棵,则根据题意列出的方程是 (
A.$\frac{80}{x - 5}=\frac{70}{x}$
B.$\frac{80}{x}=\frac{70}{x + 5}$
C.$\frac{80}{x + 5}=\frac{70}{x}$
D.$\frac{80}{x}=\frac{70}{x - 5}$
D
)A.$\frac{80}{x - 5}=\frac{70}{x}$
B.$\frac{80}{x}=\frac{70}{x + 5}$
C.$\frac{80}{x + 5}=\frac{70}{x}$
D.$\frac{80}{x}=\frac{70}{x - 5}$
答案
D
解析
【分析】
这是一道分式方程应用的基础题，解题思路为：先根据甲班每天的植树量表示出乙班的植树量，再分别计算两班植树所用的天数，最后依据“甲班植树80棵的天数与乙班植树70棵的天数相等”这一等量关系列出方程，匹配对应选项。具体步骤：1. 设甲班每天植树$x$棵，由甲班比乙班每天多植5棵，得乙班每天植树$(x-5)$棵；2. 分别计算两班植树的天数：甲班天数为$\frac{80}{x}$，乙班天数为$\frac{70}{x-5}$；3. 根据天数相等的条件列出方程，选出对应选项。
【解析】
解：设甲班每天植树$x$棵，
因为甲班每天比乙班多植树5棵，所以乙班每天植树$(x-5)$棵。
甲班植树80棵所用的天数为：$\frac{80}{x}$，
乙班植树70棵所用的天数为：$\frac{70}{x-5}$，
根据“甲班植树80棵所用的天数与乙班植树70棵所用的天数相等”，可列方程：
$\frac{80}{x}=\frac{70}{x-5}$，
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用、列代数式
【点评】
本题聚焦分式方程应用的基础考查，核心是找准“天数相等”的等量关系，关键在于正确表示乙班的日植树量，整体难度较低，适合巩固基础应用能力。
【难度系数】
0.6
这是一道分式方程应用的基础题，解题思路为：先根据甲班每天的植树量表示出乙班的植树量，再分别计算两班植树所用的天数，最后依据“甲班植树80棵的天数与乙班植树70棵的天数相等”这一等量关系列出方程，匹配对应选项。具体步骤：1. 设甲班每天植树$x$棵，由甲班比乙班每天多植5棵，得乙班每天植树$(x-5)$棵；2. 分别计算两班植树的天数：甲班天数为$\frac{80}{x}$，乙班天数为$\frac{70}{x-5}$；3. 根据天数相等的条件列出方程，选出对应选项。
【解析】
解：设甲班每天植树$x$棵，
因为甲班每天比乙班多植树5棵，所以乙班每天植树$(x-5)$棵。
甲班植树80棵所用的天数为：$\frac{80}{x}$，
乙班植树70棵所用的天数为：$\frac{70}{x-5}$，
根据“甲班植树80棵所用的天数与乙班植树70棵所用的天数相等”，可列方程：
$\frac{80}{x}=\frac{70}{x-5}$，
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用、列代数式
【点评】
本题聚焦分式方程应用的基础考查，核心是找准“天数相等”的等量关系，关键在于正确表示乙班的日植树量，整体难度较低，适合巩固基础应用能力。
【难度系数】
0.6
8.(余姚市)用去分母的方法解方程$\dfrac{x-1}{x-2}=\dfrac{k}{x-2}$时有增根,则$k$的值为 (
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
B
)A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确分式方程增根的定义：增根是分式方程去分母后转化为整式方程的根，但该根会使原分式方程的分母为0，导致原方程无意义。解题思路为：①确定原分式方程的增根（使分母为0的x值）；②将分式方程去分母转化为整式方程；③把增根代入整式方程，即可求出k的值。
【解析】
解：分式方程$\dfrac{x-1}{x-2}=\dfrac{k}{x-2}$的分母为$x-2$，令分母为0，得增根$x=2$。
给方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$去分母，转化为整式方程：
$x - 1 = k$
因为方程有增根，所以增根$x=2$是整式方程的解，将$x=2$代入整式方程：
$2 - 1 = k$
解得$k=1$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的增根、解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的本质（使原分式分母为0的根），通过去分母转化为整式方程，代入增根即可求出参数，属于基础题型，需掌握增根的基本概念。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先明确分式方程增根的定义：增根是分式方程去分母后转化为整式方程的根，但该根会使原分式方程的分母为0，导致原方程无意义。解题思路为：①确定原分式方程的增根（使分母为0的x值）；②将分式方程去分母转化为整式方程；③把增根代入整式方程，即可求出k的值。
【解析】
解：分式方程$\dfrac{x-1}{x-2}=\dfrac{k}{x-2}$的分母为$x-2$，令分母为0，得增根$x=2$。
给方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$去分母，转化为整式方程：
$x - 1 = k$
因为方程有增根，所以增根$x=2$是整式方程的解，将$x=2$代入整式方程：
$2 - 1 = k$
解得$k=1$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的增根、解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的本质（使原分式分母为0的根），通过去分母转化为整式方程，代入增根即可求出参数，属于基础题型，需掌握增根的基本概念。
【难度系数】
0.6
9.(杭州市)已知$\dfrac{(x^2 - 1)^2 + ||xy| - 2|}{(x + 1)(y + 2)} = 0$，则$\dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{(x + 1)(y + 1)} + \dots + \dfrac{1}{(x + 2018)(y + 2018)}$的值是(
A.$\dfrac{2017}{2018}$
B.$\dfrac{2018}{2019}$
C.$\dfrac{2019}{2020}$
D.$\dfrac{2020}{2021}$
C
)A.$\dfrac{2017}{2018}$
B.$\dfrac{2018}{2019}$
C.$\dfrac{2019}{2020}$
D.$\dfrac{2020}{2021}$
答案
【解析】因为$\dfrac{( x^2 - 1)^2 + |xy| - 2|}{( x + 1)( y + 2 )}=0$,所以$x^2-1=0$,$|xy|-2=0$,$x+1≠0$,$y+2≠0$。所以$x=1$,$y=2$。所以原式$=\dfrac{1}{1× 2}+\dfrac{1}{2× 3}+\dots+\dfrac{1}{2019× 2020}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{2019}-\dfrac{1}{2020}=1-\dfrac{1}{2020}=\dfrac{2019}{2020}$。
解析
【分析】
要解决本题，需分两步：第一步根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0）求出x、y的值；第二步将x、y代入所求分式和，利用裂项相消法简化计算，最终得出结果。
【解析】
1. 求x、y的值：
因为分式$\dfrac{(x^2 - 1)^2 + ||xy| - 2|}{(x + 1)(y + 2)} = 0$，根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，可得：
分子：平方和绝对值均为非负数，故$(x^2 -1)^2=0$且$||xy| -2|=0$，解得$x^2=1$（即$x=±1$），$|xy|=2$；
分母：$(x+1)(y+2)≠0$，即$x≠-1$且$y≠-2$；
结合上述条件，得$x=1$，代入$|xy|=2$得$y=2$。
2. 计算所求和式：
将$x=1$、$y=2$代入原式，得：
$\dfrac{1}{1×2} + \dfrac{1}{2×3} + \dots + \dfrac{1}{2019×2020}$；
利用裂项相消法$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$，展开后中间项抵消：
原式$=(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+\dots+(\dfrac{1}{2019}-\dfrac{1}{2020})=1-\dfrac{1}{2020}=\dfrac{2019}{2020}$。
【答案】
C
【知识点】
分式值为0的条件；裂项相消求和；绝对值性质
【点评】
本题综合考查分式、绝对值及求和方法，关键是先确定x、y的取值，再用裂项相消简化复杂求和，属于基础综合题，注重知识点的灵活应用。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需分两步：第一步根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0）求出x、y的值；第二步将x、y代入所求分式和，利用裂项相消法简化计算，最终得出结果。
【解析】
1. 求x、y的值：
因为分式$\dfrac{(x^2 - 1)^2 + ||xy| - 2|}{(x + 1)(y + 2)} = 0$，根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，可得：
分子：平方和绝对值均为非负数，故$(x^2 -1)^2=0$且$||xy| -2|=0$，解得$x^2=1$（即$x=±1$），$|xy|=2$；
分母：$(x+1)(y+2)≠0$，即$x≠-1$且$y≠-2$；
结合上述条件，得$x=1$，代入$|xy|=2$得$y=2$。
2. 计算所求和式：
将$x=1$、$y=2$代入原式，得：
$\dfrac{1}{1×2} + \dfrac{1}{2×3} + \dots + \dfrac{1}{2019×2020}$；
利用裂项相消法$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$，展开后中间项抵消：
原式$=(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+\dots+(\dfrac{1}{2019}-\dfrac{1}{2020})=1-\dfrac{1}{2020}=\dfrac{2019}{2020}$。
【答案】
C
【知识点】
分式值为0的条件；裂项相消求和；绝对值性质
【点评】
本题综合考查分式、绝对值及求和方法，关键是先确定x、y的取值，再用裂项相消简化复杂求和，属于基础综合题，注重知识点的灵活应用。
【难度系数】
0.6
10.(杭州市滨江区)已知$\frac{1}{x} - \frac{2}{y} = 3$，分式$\frac{4x + 3xy - 2y}{2x + xy - y}$的值为(
A.$0$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{9}{4}$
B
)A.$0$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{9}{4}$
答案
【解析】因为$\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{y}=3$,所以$\dfrac{y-2x}{xy}=3$,即$2x-y=-3xy$。所以原式$=\dfrac{2(2x-y)+3xy}{-3xy+xy}=\dfrac{-3xy}{-2xy}=\dfrac{3}{2}$。
解析
【分析】首先，观察已知条件是关于$\frac{1}{x}$和$\frac{2}{y}$的等式，目标分式的分子、分母均含$x$、$y$的一次项和交叉项$xy$，因此可先对已知等式通分变形，得到$2x - y$与$xy$的关系，再将目标分式的分子、分母用该关系整体替换，约分化简即可求出结果。
【解析】因为$\frac{1}{x} - \frac{2}{y} = 3$，通分得$\frac{y - 2x}{xy} = 3$，整理得$2x - y = -3xy$。
将目标分式$\frac{4x + 3xy - 2y}{2x + xy - y}$变形，分子$4x - 2y + 3xy = 2(2x - y) + 3xy$，分母$2x - y + xy$。
把$2x - y = -3xy$代入，得：
原式$=\frac{2×(-3xy) + 3xy}{-3xy + xy} = \frac{-6xy + 3xy}{-2xy} = \frac{-3xy}{-2xy} = \frac{3}{2}$。
【答案】B
【知识点】分式的化简求值，整体代入法
【点评】本题属于分式化简求值的基础题型，核心是利用已知等式变形得到整体关系，通过整体代入避免求解未知数的具体值，简化计算过程，考查学生对分式通分、整体代入思想的掌握。
【难度系数】0.6
【解析】因为$\frac{1}{x} - \frac{2}{y} = 3$，通分得$\frac{y - 2x}{xy} = 3$，整理得$2x - y = -3xy$。
将目标分式$\frac{4x + 3xy - 2y}{2x + xy - y}$变形，分子$4x - 2y + 3xy = 2(2x - y) + 3xy$，分母$2x - y + xy$。
把$2x - y = -3xy$代入，得：
原式$=\frac{2×(-3xy) + 3xy}{-3xy + xy} = \frac{-6xy + 3xy}{-2xy} = \frac{-3xy}{-2xy} = \frac{3}{2}$。
【答案】B
【知识点】分式的化简求值，整体代入法
【点评】本题属于分式化简求值的基础题型，核心是利用已知等式变形得到整体关系，通过整体代入避免求解未知数的具体值，简化计算过程，考查学生对分式通分、整体代入思想的掌握。
【难度系数】0.6
