10. 如图,一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后,其折射光线与另一束经过光心O的光线相交于点P,点F为焦点。若∠1=α,∠2=β,则∠3的度数表示为 （）

A.α−β
B.2α−β
C.180°+α−β
D.180°−α+β

D 【解析】设平行于主光轴的光线为AB,由题意可知AB//OF,所以∠1+∠OFB=180°。因为∠1=α,所以∠OFB=180°−α。因为∠2=∠POF=β,所以∠3=180°−∠OPF=∠POF+∠OFB=180°−α+β。故选D。

【分析】
本题是物理光学与数学几何结合的题目，需先利用凸透镜的光学特点（平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过焦点，过光心的光线传播方向不变），再结合平行线的性质和三角形的角度关系推导∠3的度数。首先，平行于主光轴的光线与主光轴平行，可利用平行线的同旁内角互补得到∠OFB的度数；过光心的光线传播方向不变，可知∠POF等于∠2，最后结合角度关系将∠3用已知的α、β表示。
【解析】
根据凸透镜的光学性质：
1. 平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过焦点F，设该光线为AB，则AB//OF，由“两直线平行，同旁内角互补”得∠1 + ∠OFB = 180°，已知∠1=α，因此∠OFB = 180°−α；
2. 过光心O的光线传播方向不变，故∠POF = ∠2 = β；
3. 结合三角形的角度关系，可得∠3 = 180°−α + β。
【答案】
D
【知识点】
凸透镜光学性质、平行线性质、三角形内角和定理
【点评】
本题将物理光学规律与数学几何角度计算结合，考查学生对凸透镜特殊光线的掌握及几何角度推导能力，是跨学科结合的典型题目，需要学生具备知识迁移能力。
【难度系数】
0.5

11. 因式分解：$2x^2 - x =$。

x(2x−1)

【分析】
本题是因式分解题，解题思路为：先观察多项式各项的公因式，再运用提公因式法进行因式分解。多项式$2x^2 - x$的两项都含有公因式$x$，提取该公因式即可完成因式分解。
【解析】
对多项式$2x^2 - x$提取公因式$x$：
$2x^2 - x = x · 2x - x · 1 = x(2x - 1)$
【答案】
x(2x−1)
【知识点】
因式分解（提公因式法）
【点评】
本题考查基础的因式分解方法，属于因式分解的入门题型，核心考察学生对提公因式法的掌握，是学生必须熟练掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.8

12. 将$2x+3y=2$变形,用含$x$的代数式表示$y$,那么$y=$。

$\dfrac{2-2x}{3}$

【分析】要将方程$2x + 3y = 2$变形为用含$x$的代数式表示$y$，需利用等式的基本性质，先通过移项将含$y$的项单独放在等式一侧，再将$y$的系数化为1，即可得到结果。
【解析】解：对$2x + 3y = 2$移项，得$3y = 2 - 2x$；
两边同时除以3，将$y$的系数化为1，得$y = \dfrac{2 - 2x}{3}$。
【答案】$\dfrac{2 - 2x}{3}$
【知识点】二元一次方程的变形；等式的性质；移项
【点评】本题是二元一次方程的基础变形题，核心考查等式性质的应用，是代数学习的基础技能，难度较低。
【难度系数】0.9

13. 如图,将三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置,已知点A,D之间的距离为1,BC=3,则BF的长是。

4

【分析】
要解决这道题，需运用图形平移的性质：图形平移后，对应点所连线段长度相等，对应线段长度也相等。首先确定平移距离，点A与D的距离是1，说明平移距离为1，即BE=CF=1；再根据平移后对应线段相等，得EF=BC=3。最后分析BF的组成，即可计算出结果。
【解析】
根据平移的性质，三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF，对应点的平移距离相等，因此BE=AD=1，且对应线段BC=EF=3。
线段BF由BE、EC、CF组成，其中EC=BC-BE=3-1=2，所以BF=BE+EC+CF=1+2+1=4。
【答案】
4
【知识点】
图形的平移性质
【点评】
本题考查平移的基本性质，属于基础题型，解题关键是明确平移后对应点、对应线段的关系，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.6

14.一次数学测试后,某班50名学生的成绩被分为5组,第1至4组的频数分别为13,9,8,10,则第5组的频率是。

0.2

【分析】首先明确各组频数之和等于总数据个数，需先求出第5组的频数，再根据“频率=频数÷总个数”计算第5组的频率。具体步骤：1. 计算前4组频数的和；2. 用总人数减去前4组频数和得到第5组的频数；3. 用第5组频数除以总人数得到频率。
【解析】解：总人数为50，第1至4组的频数和为13+9+8+10=40，因此第5组的频数为50-40=10。根据频率公式，频率=频数÷总数，所以第5组的频率为10÷50=0.2。
【答案】0.2
【知识点】频数与频率、数据统计
【点评】本题考查频数与频率的基本计算，属于统计基础题，核心是掌握“各组频数之和等于总数”以及“频率=频数/总数”的关系，难度较低，是学生必须掌握的基础知识点。
【难度系数】0.8

15. 规定:若实数$a,b,c$满足$a^c=b(a＞0$且$a≠1,b＞0)$,则记作$[a,b]=c$。例如:$3^2=9$,则$[3,9]=2$。若$[2,3]=m,[2,5]=n,[2,p]=t$,且$m+n=t$,则$p$的值是$\underline{\hspace{5cm}}$。

15 【解析】因为$[2,3]=m,[2,5]=n,[2,p]=t$,所以$2^m=3,2^n=5,2^t=p$。所以$2^m·2^n=2^{m+n}=15$。因为$m+n=t$,所以$2^{m+n}=2^t=15$。所以$p=15$。

【分析】首先明确题目给出的新定义：若$[a,b]=c$，则对应指数式为$a^c = b$（$a＞0$且$a≠1$，$b＞0$）。接下来，根据该定义将题目中的$[2,3]=m$、$[2,5]=n$、$[2,p]=t$转化为指数式，再利用同底数幂的乘法法则，结合条件$m+n=t$即可求出$p$的值。
【解析】根据新定义，由$[2,3]=m$得$2^m=3$；由$[2,5]=n$得$2^n=5$；由$[2,p]=t$得$2^t=p$。根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$2^m·2^n=2^{m+n}$。代入$2^m=3$、$2^n=5$，得$2^{m+n}=3×5=15$。又因$m+n=t$，故$2^{m+n}=2^t$，即$2^t=15$。结合$2^t=p$，得$p=15$。
【答案】15
【知识点】新定义运算、同底数幂的乘法
【点评】本题为新定义运算类题目，核心是理解新定义与指数式的对应关系，结合同底数幂的乘法法则即可求解，重点考查学生对新定义的转化能力和基础指数运算的掌握。
【难度系数】0.6

16. 如图,正方形$AEHG$、正方形$EBKF$和正方形$NKCM$摆放在长方形$ABCD$中,$AB=3$,$BC=4$,且$BK＞KC$。已知正方形$AEHG$与正方形$NKCM$的面积之和为$4.5$,则长方形$PFQD$的面积为________。

$\dfrac{7}{4}$ 【解析】设正方形$AEHG$的边长为$a$,正方形$NKCM$的边长为$b$。依题意得:$AP=EF=BE=3−a,PD=CK=b,DQ=AE=a$,所以$AD=AP+PD=3−a+b$,长方形$PFQD$的面积$=PD· DQ=ab$。因为正方形$AEHG$与正方形$NKCM$的面积之和为4.5,所以$a^2+b^2=4.5$。在长方形$ABCD$中,$AB=3,BC=AD=4$,所以$3−a+b=4$。所以$b−a=1$。所以$(b−a)^2=1$。所以$a^2+b^2−2ab=1$。所以$4.5−2ab=1$。所以$ab=\dfrac{7}{4}$。所以长方形$PFQD$的面积为$\dfrac{7}{4}$。

【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设正方形的边长为未知数，利用长方形的边长关系、正方形面积和已知条件，结合完全平方公式来推导长方形PFQD的面积。首先设正方形AEHG的边长为$a$，正方形NKCM的边长为$b$，再根据图形边长的联系找到$a$和$b$的关系，最后利用完全平方公式求出$ab$，而$ab$就是长方形PFQD的面积。
【解析】
设正方形$AEHG$的边长为$a$，正方形$NKCM$的边长为$b$。
1. 分析边长关系：
因为$AB=3$，所以$BE = AB - AE = 3 - a$；又因为$BC=4$，且$BC = BK + KC$，其中$BK = BE = 3 - a$，$KC = b$，因此$BC=(3 - a)+b=4$，整理得$b - a = 1$。
2. 利用正方形面积和：
已知正方形$AEHG$与正方形$NKCM$的面积之和为$4.5$，所以$a^2 + b^2 = 4.5$。
3. 计算长方形PFQD的面积：
长方形$PFQD$的长$PD = KC = b$，宽$DQ = AE = a$，因此其面积$S = PD × DQ = ab$。
4. 结合完全平方公式求解：
根据完全平方公式$(b - a)^2 = b^2 - 2ab + a^2$，将$b - a = 1$、$a^2 + b^2 = 4.5$代入得：
$1^2 = 4.5 - 2ab$，即$1 = 4.5 - 2ab$，解得$2ab = 3.5$，所以$ab = \frac{7}{4}$。
【答案】
$\dfrac{7}{4}$
【知识点】
完全平方公式、长方形面积计算、正方形面积计算
【点评】
本题通过代数设元解决几何面积问题，核心是利用图形边长的等量关系，结合完全平方公式进行转化，体现了数形结合的思想，需要学生熟练掌握公式变形与几何边长的对应关系。
【难度系数】
0.5

17.(8分)计算或化简:
(1)$(-1)^2 + 2^{-1}$。
(2)$x^2 - (x+1)(x-1)$。

(1)原式$=1.5$。
(2)原式$=1$。

【分析】
本题考查有理数运算与整式化简，解题思路：
(1) 先计算乘方和负整数指数幂，再求和；
(2) 利用平方差公式展开式子，去括号后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 计算乘方与负整数指数幂：$(-1)^2=1$，$2^{-1}=\frac{1}{2}$，
则原式$=1+\frac{1}{2}=1.5$；
(2) 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开$(x+1)(x-1)=x^2-1$，
则原式$=x^2-(x^2-1)=x^2-x^2+1=1$。
【答案】
(1) $1.5$；(2) $1$
【知识点】
有理数的乘方、负整数指数幂、平方差公式
【点评】
本题为基础计算题，考查基本运算规则和公式应用，步骤简单，适合巩固基础。
【难度系数】
0.9

18.(8分)解方程(组):
(1)$\begin{cases} x + 2y = 12, \\ 4x - 2y = -2。 \end{cases}$
(2)$\dfrac{x - 1}{x - 2} = 3 - \dfrac{1}{2 - x}$。

(1)$\begin{cases} x = 2, \\ y = 5。 \end{cases}$
(2)方程无解。

【分析】
第(1)题是二元一次方程组，观察到两个方程中y的系数互为相反数，采用加减消元法，将两式相加消去y，先求出x的值，再代入方程求y；第(2)题是分式方程，先统一分母找到最简公分母，去分母转化为整式方程求解，最后必须验根排除增根。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases} x + 2y = 12 ① \\ 4x - 2y = -2 ② \end{cases}$，
①+②得：$5x = 10$，解得$x = 2$，
把$x=2$代入①得：$2 + 2y =12$，解得$y=5$，
所以方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=5 \end{cases}$；
(2) 原方程$\dfrac{x - 1}{x - 2} = 3 - \dfrac{1}{2 - x}$，
整理右边：$3 - \dfrac{1}{2 - x} = 3 + \dfrac{1}{x - 2}$，
两边同乘最简公分母$(x-2)$（$x≠2$）得：
$x -1 = 3(x -2) +1$，
展开得：$x -1 = 3x -5$，
移项合并得：$-2x = -4$，解得$x=2$，
检验：当$x=2$时，分母$x-2=0$，所以$x=2$是增根，原方程无解。
【答案】
(1)$\begin{cases} x = 2, \\ y = 5。 \end{cases}$；(2)方程无解。
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】
本题考查二元一次方程组与分式方程的解法，属于基础题型，需注意分式方程求解后必须验根，避免出现增根，加减消元法是解二元一次方程组的常用方法，步骤清晰即可完成解答。
【难度系数】
0.6