22.(8分)阅读材料:若两个数的积等于这两个数和的2倍,则称这两个数为“伙伴数”。例如:$(-2)×1=2×(-2+1)$,所以-2和1就是一对“伙伴数”。请完成下列问题:
(1)若$x$与5是一对“伙伴数”,请求出$x$的值。
(2)若$m$与$n$是一对“伙伴数”,且$m,n$不为0,请判断等式$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$是否成立?如果成立,请说明理由。
(3)是否存在均为正整数的“伙伴数”,若存在,求出所有符合条件的“伙伴数”;若不存在,请说明理由。

22.(1)因为$x$与5是一对“伙伴数”,所以$5x=2(x+5)$,解得$x=\dfrac{10}{3}$。
(2)$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{2}$成立。理由如下:因为$m$与$n$是一对“伙伴数”,所以$mn=2(m+n)$。所以$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{n}{mn}+\dfrac{m}{mn}=\dfrac{m+n}{mn}=\dfrac{m+n}{2\ (m+n)}=\dfrac{1}{2}$。
(3)存在。设这两个正整数是$m,n$。因为这两个正整数是“伙伴数”,所以$mn=2(m+n)$,即$(m-2)(n-2)=4$。所以$m-2=1,n-2=4$或$m-2=4,n-2=1$或$m-2=n-2=2$,解得$m=3,n=6$或$m=6,n=3$或$m=n=4$。所以均为正整数的“伙伴数”为3,6或6,3或4,4。

【分析】
首先明确“伙伴数”的定义：若两个数的积等于这两个数和的2倍，则称这两个数为“伙伴数”，即对任意两数a、b，满足ab=2(a+b)。解题时需紧扣定义，将问题转化为方程或代数变形求解：第(1)问直接代入定义列一元一次方程；第(2)问利用定义得到mn与m+n的关系，对分式通分化简验证；第(3)问将方程变形为因式分解形式，结合正整数的条件找解。
【解析】
(1) 因为x与5是“伙伴数”，根据定义得：5x = 2(x + 5)，
去括号得：5x = 2x + 10，
移项合并同类项得：3x = 10，
解得：x = 10/3。
(2) 1/m + 1/n = 1/2 成立，理由如下：
因为m与n是“伙伴数”，根据定义得：mn = 2(m + n)，
对1/m + 1/n通分：1/m + 1/n = (n + m)/(mn)，
将mn=2(m+n)代入上式得：(m + n)/(2(m + n))，
因为m、n不为0，若m + n =0，则mn=0，与m、n不为0矛盾，故m + n ≠0，
约分得：1/2，因此等式成立。
(3) 存在均为正整数的“伙伴数”，求解如下：
设两个正整数为m、n，根据定义得：mn = 2(m + n)，
整理方程得：mn - 2m - 2n = 0，
两边加4因式分解得：(m - 2)(n - 2) = 4，
因为m、n是正整数，所以m-2、n-2均为整数，4的正整数因数对为(1,4)、(2,2)、(4,1)，
对应解得：
当m-2=1时，n-2=4 → m=3，n=6；
当m-2=2时，n-2=2 → m=4，n=4；
当m-2=4时，n-2=1 → m=6，n=3；
因此符合条件的“伙伴数”为3和6、6和3、4和4。
【答案】
(1) x = 10/3；
(2) 成立；
(3) 存在，符合条件的“伙伴数”为3和6、6和3、4和4。
【知识点】
新定义运算、一元一次方程、因式分解
【点评】
本题为新定义类代数题，核心是理解“伙伴数”的定义，将问题转化为方程求解，考查了一元一次方程解法、分式化简、因式分解的应用，需具备代数变形能力，难度适中。
【难度系数】
0.6