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23.(10分)综合实践。
如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？
素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品,已知篮球的单价比排球的单价贵20元,用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍。
素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”,其中购买的排球数量比篮球数量多8个。
素材3 学校花费1680元后,商家赠送若干张抵扣券(满100元抵扣20元,每件商品限用1张),学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球,其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的$\frac{1}{3}$。
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当的方法,求出篮球与排球的单价。
任务2 求商品的数量 利用素材2,求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量。
任务3 确定抵扣方式 基于素材3,求出排球中使用抵扣券的数量。
如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？
素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品,已知篮球的单价比排球的单价贵20元,用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍。
素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”,其中购买的排球数量比篮球数量多8个。
素材3 学校花费1680元后,商家赠送若干张抵扣券(满100元抵扣20元,每件商品限用1张),学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球,其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的$\frac{1}{3}$。
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当的方法,求出篮球与排球的单价。
任务2 求商品的数量 利用素材2,求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量。
任务3 确定抵扣方式 基于素材3,求出排球中使用抵扣券的数量。
答案
23.任务1:设排球的单价为$x$元,则篮球的单价为$(x+20)$元。由题意得$\dfrac{800}{x}=2×\dfrac{480}{x+20}$,解得$x=100$,经检验,$x=100$是原方程的解,所以$x+20=120$。所以排球的单价为100元,篮球的单价为120元。任务2:设购买篮球的数量为$m$个,则购买排球的数量为$(m+8)$个。由题意得$120m+100(m+8)=1680$,解得$m=4$。所以$m+8=12$。所以购买篮球的数量为4个,购买排球的数量为12个。任务3:设第二次购买了$a$个篮球,$b$个排球,且第二次购买的排球中使用抵扣券的数量是$c$个,则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是$\dfrac{a+b}{3}$个,所以第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是$a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}$(个)。所以$120a+100b-20(c+\dfrac{2a-b}{3})=1260$,化简整理得$16(a+b)-3c=189$。因为$\dfrac{a+b}{3}$一定是正整数,所以$a+b$一定是3的倍数。设$a+b=3k$($k$为正整数),所以$48k-3c=189$。所以$c=16k-63$。因为$c≥0$,所以$16k-63≥0$,解得$k≥\dfrac{63}{16}$。因为$c＜a+b$,所以$c＜3k$。所以$16k-63＜3k$,解得$k＜\dfrac{63}{13}$。所以$\dfrac{63}{16}≤ k＜\dfrac{63}{13}$。所以$k$只能取4。当$k=4$时,$c=1$。所以排球中使用抵扣券的数量是1个。
解析
【分析】
本题分为三个递进任务解决：任务1需根据篮球与排球的单价差、购买数量的倍数关系，设未知数建立分式方程求解单价，注意分式方程需检验；任务2利用任务1求出的单价，结合总费用、排球比篮球多8个的数量关系，设未知数建立一元一次方程求数量；任务3需结合抵扣券规则（满100抵20，每件限用1张）、第二次总花费、篮球未用抵扣券的数量占比，设多个未知数，通过化简方程，结合数量为正整数的条件确定参数值，进而求出排球使用抵扣券的数量。
【解析】
任务1：设排球的单价为$x$元，则篮球的单价为$(x+20)$元。根据“用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍”，列方程：$\dfrac{800}{x}=2×\dfrac{480}{x+20}$，
解方程：两边同乘$x(x+20)$得$800(x+20)=960x$，
$800x + 16000 = 960x$，
$160x=16000$，解得$x=100$，
经检验，$x=100$是原分式方程的解，且符合实际意义，
则篮球单价为$100+20=120$元。
任务2：设购买篮球的数量为$m$个，则购买排球的数量为$(m+8)$个。根据“总花费1680元”，列方程：
$120m + 100(m+8)=1680$，
化简得$120m +100m +800=1680$，
$220m=880$，解得$m=4$，
则排球数量为$4+8=12$个。
任务3：设第二次购买篮球$a$个，排球$b$个，排球中使用抵扣券的数量为$c$个。
由“购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的$\dfrac{1}{3}$”，得篮球未用抵扣券数量为$\dfrac{a+b}{3}$，则篮球使用抵扣券的数量为$a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a - b}{3}$，
根据抵扣规则，总花费为商品总价减去抵扣金额，列方程：
$120a +100b -20(c + \dfrac{2a - b}{3})=1260$，
两边同乘3消分母：$360a +300b -20(3c +2a -b)=3780$，
展开化简：$360a +300b -60c -40a +20b=3780$，
$320a +320b -60c=3780$，两边同除以20得：$16a +16b -3c=189$，即$16(a+b)-3c=189$。
因为$\dfrac{a+b}{3}$是正整数，所以$a+b$是3的倍数，设$a+b=3k$（$k$为正整数），代入上式得：
$16×3k -3c=189$，即$48k -3c=189$，两边同除以3得：$16k -c=63$，所以$c=16k -63$。
结合实际意义：$c≥0$，且$c ＜ a+b=3k$，
所以$\begin{cases}16k -63≥0 \\16k -63 ＜3k \end{cases}$，
解第一个不等式：$k≥\dfrac{63}{16}\approx3.9375$，
解第二个不等式：$13k ＜63$，$k ＜\dfrac{63}{13}\approx4.846$，
因为$k$为正整数，所以$k=4$，
则$c=16×4 -63=1$。
【答案】
任务1：排球单价100元，篮球单价120元；任务2：购买篮球4个，排球12个；任务3：排球中使用抵扣券的数量是1个。
【知识点】
分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，整数解的确定
【点评】
本题为综合实践类应用题，分三个递进任务，从基础的单价、数量计算到结合抵扣规则的方案设计，考查学生分析数量关系、建立方程模型的能力，尤其任务3需结合整数性质确定参数，对逻辑分析能力有一定要求，整体难度适中，需注意分式方程的检验和实际意义的限制。
【难度系数】
0.5
本题分为三个递进任务解决：任务1需根据篮球与排球的单价差、购买数量的倍数关系，设未知数建立分式方程求解单价，注意分式方程需检验；任务2利用任务1求出的单价，结合总费用、排球比篮球多8个的数量关系，设未知数建立一元一次方程求数量；任务3需结合抵扣券规则（满100抵20，每件限用1张）、第二次总花费、篮球未用抵扣券的数量占比，设多个未知数，通过化简方程，结合数量为正整数的条件确定参数值，进而求出排球使用抵扣券的数量。
【解析】
任务1：设排球的单价为$x$元，则篮球的单价为$(x+20)$元。根据“用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍”，列方程：$\dfrac{800}{x}=2×\dfrac{480}{x+20}$，
解方程：两边同乘$x(x+20)$得$800(x+20)=960x$，
$800x + 16000 = 960x$，
$160x=16000$，解得$x=100$，
经检验，$x=100$是原分式方程的解，且符合实际意义，
则篮球单价为$100+20=120$元。
任务2：设购买篮球的数量为$m$个，则购买排球的数量为$(m+8)$个。根据“总花费1680元”，列方程：
$120m + 100(m+8)=1680$，
化简得$120m +100m +800=1680$，
$220m=880$，解得$m=4$，
则排球数量为$4+8=12$个。
任务3：设第二次购买篮球$a$个，排球$b$个，排球中使用抵扣券的数量为$c$个。
由“购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的$\dfrac{1}{3}$”，得篮球未用抵扣券数量为$\dfrac{a+b}{3}$，则篮球使用抵扣券的数量为$a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a - b}{3}$，
根据抵扣规则，总花费为商品总价减去抵扣金额，列方程：
$120a +100b -20(c + \dfrac{2a - b}{3})=1260$，
两边同乘3消分母：$360a +300b -20(3c +2a -b)=3780$，
展开化简：$360a +300b -60c -40a +20b=3780$，
$320a +320b -60c=3780$，两边同除以20得：$16a +16b -3c=189$，即$16(a+b)-3c=189$。
因为$\dfrac{a+b}{3}$是正整数，所以$a+b$是3的倍数，设$a+b=3k$（$k$为正整数），代入上式得：
$16×3k -3c=189$，即$48k -3c=189$，两边同除以3得：$16k -c=63$，所以$c=16k -63$。
结合实际意义：$c≥0$，且$c ＜ a+b=3k$，
所以$\begin{cases}16k -63≥0 \\16k -63 ＜3k \end{cases}$，
解第一个不等式：$k≥\dfrac{63}{16}\approx3.9375$，
解第二个不等式：$13k ＜63$，$k ＜\dfrac{63}{13}\approx4.846$，
因为$k$为正整数，所以$k=4$，
则$c=16×4 -63=1$。
【答案】
任务1：排球单价100元，篮球单价120元；任务2：购买篮球4个，排球12个；任务3：排球中使用抵扣券的数量是1个。
【知识点】
分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，整数解的确定
【点评】
本题为综合实践类应用题，分三个递进任务，从基础的单价、数量计算到结合抵扣规则的方案设计，考查学生分析数量关系、建立方程模型的能力，尤其任务3需结合整数性质确定参数，对逻辑分析能力有一定要求，整体难度适中，需注意分式方程的检验和实际意义的限制。
【难度系数】
0.5
