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17.(8分)计算:
(1)$2^{2}-2^{0}+2^{-1}$。
(2)$(a-6)^{2}-a(a-6)$。
(1)$2^{2}-2^{0}+2^{-1}$。
(2)$(a-6)^{2}-a(a-6)$。
答案
17.(1)原式=$3\dfrac{1}{2}$。
(2)原式=$-6a+36$。
(2)原式=$-6a+36$。
解析
【分析】
本题包含两小问，分别考查指数运算和整式运算。第(1)小题需掌握乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，先分别计算各项再加减；第(2)小题需运用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开式子，再合并同类项化简。
【解析】
(1) 根据运算法则：$2^2=4$，$2^0=1$，$2^{-1}=\frac{1}{2}$，代入原式得：
原式$=4 - 1 + \frac{1}{2}=3+\frac{1}{2}=3\dfrac{1}{2}$。
(2) 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，展开$(a-6)^2=a^2-12a+36$；根据单项式乘多项式法则，$a(a-6)=a^2-6a$，代入原式得：
原式$=(a^2-12a+36)-(a^2-6a)$
去括号：$a^2-12a+36 -a^2 +6a$
合并同类项：$-6a+36$。
【答案】
(1)$3\dfrac{1}{2}$；(2)$-6a+36$
【知识点】
零指数幂与负整数指数幂、整式的混合运算
【点评】
本题为初中数学基础计算题，考查核心运算法则的应用，计算时需注意公式的正确使用和符号处理，属于学生必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题包含两小问，分别考查指数运算和整式运算。第(1)小题需掌握乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，先分别计算各项再加减；第(2)小题需运用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开式子，再合并同类项化简。
【解析】
(1) 根据运算法则：$2^2=4$，$2^0=1$，$2^{-1}=\frac{1}{2}$，代入原式得：
原式$=4 - 1 + \frac{1}{2}=3+\frac{1}{2}=3\dfrac{1}{2}$。
(2) 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，展开$(a-6)^2=a^2-12a+36$；根据单项式乘多项式法则，$a(a-6)=a^2-6a$，代入原式得：
原式$=(a^2-12a+36)-(a^2-6a)$
去括号：$a^2-12a+36 -a^2 +6a$
合并同类项：$-6a+36$。
【答案】
(1)$3\dfrac{1}{2}$；(2)$-6a+36$
【知识点】
零指数幂与负整数指数幂、整式的混合运算
【点评】
本题为初中数学基础计算题，考查核心运算法则的应用，计算时需注意公式的正确使用和符号处理，属于学生必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
18.(8分)解下列方程(组):
(1)$\begin{cases}x - y = 2, \\3x + 2y = 11。\end{cases}$
(2)$\dfrac{x}{x - 3} + 1 = \dfrac{1}{3 - x}$。
(1)$\begin{cases}x - y = 2, \\3x + 2y = 11。\end{cases}$
(2)$\dfrac{x}{x - 3} + 1 = \dfrac{1}{3 - x}$。
答案
18.(1)$\begin{cases} x = 3, \\ y = 1。\end{cases}$
(2)$x=1$。
(2)$x=1$。
解析
【分析】
第(1)题是二元一次方程组，可通过代入消元法或加减消元法消去一个未知数，转化为一元一次方程求解；第(2)题是分式方程，需先将分母统一，去分母转化为整式方程，且解后要检验是否使原分式分母为0。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}x - y = 2 ① \\3x + 2y = 11 ②\end{cases}$，由①得$x = y + 2$，将其代入②得：$3(y + 2) + 2y = 11$，展开得$3y + 6 + 2y = 11$，合并同类项得$5y = 5$，解得$y = 1$，把$y = 1$代入$x = y + 2$得$x = 3$，故方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = 1\end{cases}$。
(2) 解分式方程$\dfrac{x}{x - 3} + 1 = \dfrac{1}{3 - x}$，先将方程变形为$\dfrac{x}{x - 3} + 1 = -\dfrac{1}{x - 3}$，两边同乘最简公分母$(x - 3)$（$x≠3$），得$x + (x - 3) = -1$，去括号得$x + x - 3 = -1$，合并同类项得$2x = 2$，解得$x = 1$。检验：当$x = 1$时，$x - 3 = -2≠0$，所以$x = 1$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases} x = 3, \\ y = 1。\end{cases}$(2)$x=1$。
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】
本题考查初中代数基础的方程（组）求解，二元一次方程组用消元法即可快速解答，分式方程需注意去分母时的符号处理和解后检验，是常规核心题型。
【难度系数】
0.8
第(1)题是二元一次方程组，可通过代入消元法或加减消元法消去一个未知数，转化为一元一次方程求解；第(2)题是分式方程，需先将分母统一，去分母转化为整式方程，且解后要检验是否使原分式分母为0。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}x - y = 2 ① \\3x + 2y = 11 ②\end{cases}$，由①得$x = y + 2$，将其代入②得：$3(y + 2) + 2y = 11$，展开得$3y + 6 + 2y = 11$，合并同类项得$5y = 5$，解得$y = 1$，把$y = 1$代入$x = y + 2$得$x = 3$，故方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = 1\end{cases}$。
(2) 解分式方程$\dfrac{x}{x - 3} + 1 = \dfrac{1}{3 - x}$，先将方程变形为$\dfrac{x}{x - 3} + 1 = -\dfrac{1}{x - 3}$，两边同乘最简公分母$(x - 3)$（$x≠3$），得$x + (x - 3) = -1$，去括号得$x + x - 3 = -1$，合并同类项得$2x = 2$，解得$x = 1$。检验：当$x = 1$时，$x - 3 = -2≠0$，所以$x = 1$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases} x = 3, \\ y = 1。\end{cases}$(2)$x=1$。
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】
本题考查初中代数基础的方程（组）求解，二元一次方程组用消元法即可快速解答，分式方程需注意去分母时的符号处理和解后检验，是常规核心题型。
【难度系数】
0.8
19. (6分)数学课上,老师要求同学们对$(\dfrac{1}{a^2 - 1} + \dfrac{1}{a + 1})·\dfrac{a - 1}{a}$进行化简。下面是小温和小州同学的部分运算过程：
(1)小温同学解法的依据是
(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③分配律；④乘法交换律。
(2)请选择一种解法,写出完整的解答过程。
(1)小温同学解法的依据是
②
,小州同学解法的依据是③
。(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③分配律；④乘法交换律。
(2)请选择一种解法,写出完整的解答过程。
答案
19.(1)② ③
(2)小温同学的解法:原式$=[\dfrac{1}{a^2 - 1}+\dfrac{a - 1}{(a + 1)(a - 1)}]·\dfrac{a - 1}{a}=\dfrac{1+a-1}{(a + 1)(a - 1)}·\dfrac{a - 1}{a}=\dfrac{1}{a + 1}$。小州同学的解法:原式$=\dfrac{1}{a^2 - 1}·\dfrac{a - 1}{a}+\dfrac{1}{a + 1}·\dfrac{a - 1}{a}=\dfrac{1}{a(a + 1)}+\dfrac{a - 1}{a(a + 1)}=\dfrac{a}{a(a + 1)}=\dfrac{1}{a + 1}$。
(2)小温同学的解法:原式$=[\dfrac{1}{a^2 - 1}+\dfrac{a - 1}{(a + 1)(a - 1)}]·\dfrac{a - 1}{a}=\dfrac{1+a-1}{(a + 1)(a - 1)}·\dfrac{a - 1}{a}=\dfrac{1}{a + 1}$。小州同学的解法:原式$=\dfrac{1}{a^2 - 1}·\dfrac{a - 1}{a}+\dfrac{1}{a + 1}·\dfrac{a - 1}{a}=\dfrac{1}{a(a + 1)}+\dfrac{a - 1}{a(a + 1)}=\dfrac{a}{a(a + 1)}=\dfrac{1}{a + 1}$。
解析
【分析】
本题考查分式的化简，需先明确两位同学解法的依据，再通过分式运算规则完成化简。小温同学对分式进行通分变形，依据分式的基本性质；小州同学利用乘法分配律展开计算，据此完成题目要求。
【解析】
(1) 小温同学将$\frac{1}{a+1}$变形为$\frac{a-1}{(a+1)(a-1)}$，是根据分式的分子、分母同乘一个不为0的整式，分式的值不变，即分式的基本性质，对应序号②；小州同学将$\frac{a-1}{a}$分别乘入括号内的两项，利用了乘法分配律，对应序号③。
(2) 选择小温同学的解法：
原式$=[\dfrac{1}{a^2 - 1}+\dfrac{a - 1}{(a + 1)(a - 1)}]·\dfrac{a - 1}{a}$
$=\dfrac{1+a-1}{(a + 1)(a - 1)}·\dfrac{a - 1}{a}$
$=\dfrac{a}{(a + 1)(a - 1)}·\dfrac{a - 1}{a}$
$=\dfrac{1}{a + 1}$
【答案】
(1) ②；③ (2) $\dfrac{1}{a + 1}$
【知识点】
分式的基本性质、乘法分配律、分式化简
【点评】
本题考查分式的化简运算，两种解法均需掌握分式的基本性质和运算律，计算时要注意通分、约分的正确性，属于基础运算题，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题考查分式的化简，需先明确两位同学解法的依据，再通过分式运算规则完成化简。小温同学对分式进行通分变形，依据分式的基本性质；小州同学利用乘法分配律展开计算，据此完成题目要求。
【解析】
(1) 小温同学将$\frac{1}{a+1}$变形为$\frac{a-1}{(a+1)(a-1)}$，是根据分式的分子、分母同乘一个不为0的整式，分式的值不变，即分式的基本性质，对应序号②；小州同学将$\frac{a-1}{a}$分别乘入括号内的两项，利用了乘法分配律，对应序号③。
(2) 选择小温同学的解法：
原式$=[\dfrac{1}{a^2 - 1}+\dfrac{a - 1}{(a + 1)(a - 1)}]·\dfrac{a - 1}{a}$
$=\dfrac{1+a-1}{(a + 1)(a - 1)}·\dfrac{a - 1}{a}$
$=\dfrac{a}{(a + 1)(a - 1)}·\dfrac{a - 1}{a}$
$=\dfrac{1}{a + 1}$
【答案】
(1) ②；③ (2) $\dfrac{1}{a + 1}$
【知识点】
分式的基本性质、乘法分配律、分式化简
【点评】
本题考查分式的化简运算，两种解法均需掌握分式的基本性质和运算律，计算时要注意通分、约分的正确性，属于基础运算题，难度适中。
【难度系数】
0.6
