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8.《九章算术》中关于“盈不足术”的记载，其译文大致如下：有几个人去买鸡，每人出9钱(古时的货币单位)，余11钱；每人出6钱，差16钱。问人数和鸡价各多少？小温同学根据题意，列得方程组
$\begin{cases}9x = y + 11, \\6x = y - 16,\end{cases}$
则方程组中$x$表示的是 (
A.鸡的数量
B.鸡的单价
C.每个人出的钱数
D.买鸡的人数
$\begin{cases}9x = y + 11, \\6x = y - 16,\end{cases}$
则方程组中$x$表示的是 (
D
)A.鸡的数量
B.鸡的单价
C.每个人出的钱数
D.买鸡的人数
答案
8.D
解析
【分析】要确定方程组中x的意义，需结合题目中的数量关系分析：题目中“每人出9钱”“每人出6钱”，说明总出钱数是“每人出的钱数×人数”，方程组左边的“9x”“6x”即总出钱数，右边是与鸡价y的关系，因此x对应的是人数，而非鸡的数量、单价或每人出的钱数。
【解析】设x为买鸡的人数，y为鸡的价格。根据题意：
1. 每人出9钱时，总出钱9x，比鸡价多11钱，故9x = y + 11；
2. 每人出6钱时，总出钱6x，比鸡价少16钱，故6x = y - 16；
由此可知，x表示买鸡的人数，对应选项D。
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用，实际问题中未知数的意义
【点评】本题结合古代数学文化（盈不足术）考查二元一次方程组中未知数的实际意义，核心是理解“每人出的钱×人数=总出钱”的数量关系，属于基础应用类题目，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】设x为买鸡的人数，y为鸡的价格。根据题意：
1. 每人出9钱时，总出钱9x，比鸡价多11钱，故9x = y + 11；
2. 每人出6钱时，总出钱6x，比鸡价少16钱，故6x = y - 16；
由此可知，x表示买鸡的人数，对应选项D。
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用，实际问题中未知数的意义
【点评】本题结合古代数学文化（盈不足术）考查二元一次方程组中未知数的实际意义，核心是理解“每人出的钱×人数=总出钱”的数量关系，属于基础应用类题目，难度较低。
【难度系数】0.8
9. 已知$2x-3y=0$,则分式$\dfrac{x+y}{2x-y}$的值为(
A.$5$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$\dfrac{5}{4}$
D.$1$
C
)A.$5$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$\dfrac{5}{4}$
D.$1$
答案
9.C 【解析】因为2x−3y=0,所以2x=3y。所以x=3/2 y。所以原式=(3/2 y + y)/(3y − y)=(5/2 y)/(2y)=5/4。故选C。
解析
【分析】
本题已知二元一次方程$2x - 3y = 0$，要求分式的值，解题思路是利用代入消元法，将其中一个变量用另一个变量表示，代入分式后消去变量，计算出结果。具体步骤：先由已知方程得出$x$与$y$的关系，再将该关系代入所求分式，化简后得到结果。
【解析】
因为$2x - 3y = 0$，所以$2x = 3y$，即$x = \dfrac{3}{2}y$。
将$x = \dfrac{3}{2}y$代入分式$\dfrac{x+y}{2x-y}$，得：
分子：$\dfrac{3}{2}y + y = \dfrac{5}{2}y$
分母：$2×\dfrac{3}{2}y - y = 3y - y = 2y$
所以原式$=\dfrac{\dfrac{5}{2}y}{2y} = \dfrac{5}{4}$（$y≠0$，$y$可约去），因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
代数式求值、分式化简
【点评】
本题是基础的代数式求值题，核心考查代入消元法的应用，通过将一个变量用另一个变量表示后代入分式，消去公共变量即可得到结果，难度较低，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】
0.7
本题已知二元一次方程$2x - 3y = 0$，要求分式的值，解题思路是利用代入消元法，将其中一个变量用另一个变量表示，代入分式后消去变量，计算出结果。具体步骤：先由已知方程得出$x$与$y$的关系，再将该关系代入所求分式，化简后得到结果。
【解析】
因为$2x - 3y = 0$，所以$2x = 3y$，即$x = \dfrac{3}{2}y$。
将$x = \dfrac{3}{2}y$代入分式$\dfrac{x+y}{2x-y}$，得：
分子：$\dfrac{3}{2}y + y = \dfrac{5}{2}y$
分母：$2×\dfrac{3}{2}y - y = 3y - y = 2y$
所以原式$=\dfrac{\dfrac{5}{2}y}{2y} = \dfrac{5}{4}$（$y≠0$，$y$可约去），因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
代数式求值、分式化简
【点评】
本题是基础的代数式求值题，核心考查代入消元法的应用，通过将一个变量用另一个变量表示后代入分式，消去公共变量即可得到结果，难度较低，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】
0.7
10. 现有若干个长为$ a $、宽为$ b $的小长方形(
A.$ 10 $
B.$ \dfrac{45}{4} $
C.$ 11 $
D.$ \dfrac{23}{2} $
B
)。将其中2个小长方形摆放在边长为$ a $的正方形内()，右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为$ (a+b) $的正方形内()，记右上角的阴影部分面积为$ S_1 $，右下角的阴影部分面积为$ S_2 $。若$ ab=\dfrac{27}{4} $，则$ S_2 - S_1 $的值为 （）A.$ 10 $
B.$ \dfrac{45}{4} $
C.$ 11 $
D.$ \dfrac{23}{2} $
答案
10.B 【解析】观察图形可得$(a-b)^2=9,S_2-S_1=a(a-b)-b^2$,因为$ab=\dfrac{27}{4},a＞b＞0$,所以$a-b=3,(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=9+27=36$。所以$a+b=6$。所以$S_2-S_1=a^2-ab-b^2=(a+b)(a-b)-ab=6× 3-\dfrac{27}{4}=\dfrac{45}{4}$。故选B。
解析
【分析】
首先观察图2，边长为$a$的正方形内放入2个小长方形，右下角阴影部分是边长为$(a - b)$的正方形，由此可得阴影面积为$(a - b)^2 = 9$；再分析图3，边长为$(a + b)$的正方形内放入3个小长方形，分别表示出阴影面积$S_1$和$S_2$，推导$S_2 - S_1$的表达式，结合已知$ab=\dfrac{27}{4}$，利用完全平方公式整体代入计算即可。
【解析】
1. 由图2可知，边长为$a$的正方形中，右下角阴影部分是边长为$(a - b)$的正方形，因此：
$(a - b)^2 = 9$，因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$a - b = 3$。
2. 根据完全平方公式计算$(a + b)^2$：
$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$，代入$(a - b)^2=9$、$ab=\dfrac{27}{4}$，得：
$(a + b)^2 = 9 + 4×\dfrac{27}{4}=9 + 27=36$，因为$a,b＞0$，所以$a + b=6$。
3. 推导并计算$S_2 - S_1$：
观察图3，可得$S_2 - S_1 = a(a - b) - b^2 = a^2 - ab - b^2$，变形为：
$a^2 - b^2 - ab=(a + b)(a - b)-ab$，代入$a + b=6$、$a - b=3$、$ab=\dfrac{27}{4}$：
$S_2 - S_1=6×3 - \dfrac{27}{4}=18 - \dfrac{27}{4}=\dfrac{72}{4}-\dfrac{27}{4}=\dfrac{45}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
整式混合运算，完全平方公式，几何面积计算
【点评】
本题结合图形面积考查整式运算，核心是通过观察图形建立边长关系，利用完全平方公式整体代入求值，需具备图形分析和公式运用能力。
【难度系数】
0.5
首先观察图2，边长为$a$的正方形内放入2个小长方形，右下角阴影部分是边长为$(a - b)$的正方形，由此可得阴影面积为$(a - b)^2 = 9$；再分析图3，边长为$(a + b)$的正方形内放入3个小长方形，分别表示出阴影面积$S_1$和$S_2$，推导$S_2 - S_1$的表达式，结合已知$ab=\dfrac{27}{4}$，利用完全平方公式整体代入计算即可。
【解析】
1. 由图2可知，边长为$a$的正方形中，右下角阴影部分是边长为$(a - b)$的正方形，因此：
$(a - b)^2 = 9$，因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$a - b = 3$。
2. 根据完全平方公式计算$(a + b)^2$：
$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$，代入$(a - b)^2=9$、$ab=\dfrac{27}{4}$，得：
$(a + b)^2 = 9 + 4×\dfrac{27}{4}=9 + 27=36$，因为$a,b＞0$，所以$a + b=6$。
3. 推导并计算$S_2 - S_1$：
观察图3，可得$S_2 - S_1 = a(a - b) - b^2 = a^2 - ab - b^2$，变形为：
$a^2 - b^2 - ab=(a + b)(a - b)-ab$，代入$a + b=6$、$a - b=3$、$ab=\dfrac{27}{4}$：
$S_2 - S_1=6×3 - \dfrac{27}{4}=18 - \dfrac{27}{4}=\dfrac{72}{4}-\dfrac{27}{4}=\dfrac{45}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
整式混合运算，完全平方公式，几何面积计算
【点评】
本题结合图形面积考查整式运算，核心是通过观察图形建立边长关系，利用完全平方公式整体代入求值，需具备图形分析和公式运用能力。
【难度系数】
0.5
11.分解因式:$a^2 - 7a=$
$a(a-7)$
。答案
11.$a(a-7)$
解析
【分析】
本题考查因式分解中的提公因式法，观察式子$a^2 -7a$，两项都含有公因式$a$，因此可通过提取公因式的方法进行分解，只需将公因式$a$提出，剩余部分作为另一个因式即可。
【解析】
对于式子$a^2 -7a$，先确定公因式为$a$，提取公因式后得到：$a(a -7)$。
【答案】
$a(a-7)$
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键在于准确找出多项式各项的公因式，整体难度较低，属于必拿分的基础题。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解中的提公因式法，观察式子$a^2 -7a$，两项都含有公因式$a$，因此可通过提取公因式的方法进行分解，只需将公因式$a$提出，剩余部分作为另一个因式即可。
【解析】
对于式子$a^2 -7a$，先确定公因式为$a$，提取公因式后得到：$a(a -7)$。
【答案】
$a(a-7)$
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键在于准确找出多项式各项的公因式，整体难度较低，属于必拿分的基础题。
【难度系数】
0.9
12. 要使分式$\dfrac{5}{x - 1}$有意义，则$x$的值可以为
2(答案不唯一)
(写出一个即可)。答案
12.2(答案不唯一)
解析
【分析】首先明确分式有意义的核心条件是分母不为0，对于给定的分式$\dfrac{5}{x - 1}$，其分母为$x-1$，因此只需满足分母$x-1≠0$，即$x$不能等于1，只需写出一个符合该条件的数即可。
【解析】分式有意义的条件是分母不等于0，因此对于$\dfrac{5}{x - 1}$，令分母$x - 1≠0$，解得$x≠1$，选取一个不等于1的数，例如2，即可满足要求。
【答案】2(答案不唯一)
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基础概念，属于概念识记类题目，难度较低，只要掌握分式有意义的核心要求就能轻松作答。
【难度系数】0.9
【解析】分式有意义的条件是分母不等于0，因此对于$\dfrac{5}{x - 1}$，令分母$x - 1≠0$，解得$x≠1$，选取一个不等于1的数，例如2，即可满足要求。
【答案】2(答案不唯一)
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基础概念，属于概念识记类题目，难度较低，只要掌握分式有意义的核心要求就能轻松作答。
【难度系数】0.9
13. 某校100名学生参加安全知识竞赛，将得分情况分为五组，第一组到第四组的频数分别为5,8,32,35，则第五组的频率是
0.2
。答案
13.0.2
解析
【分析】要计算第五组的频率，需先明确频率的计算公式：频率=对应组的频数÷数据总数。首先确定数据总数为100名学生，通过总频数减去前四组的频数得到第五组的频数，再代入公式计算即可。
【解析】已知总频数（学生总数）为100，第一到第四组的频数分别为5、8、32、35，因此第五组的频数为：100 - 5 - 8 - 32 - 35 = 20。根据频率公式，第五组的频率=第五组频数÷总频数=20÷100=0.2。
【答案】0.2
【知识点】频率与频数的计算
【点评】本题考查统计中频率的基础计算，核心是掌握频率与频数、总数的关系，步骤清晰，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】已知总频数（学生总数）为100，第一到第四组的频数分别为5、8、32、35，因此第五组的频数为：100 - 5 - 8 - 32 - 35 = 20。根据频率公式，第五组的频率=第五组频数÷总频数=20÷100=0.2。
【答案】0.2
【知识点】频率与频数的计算
【点评】本题考查统计中频率的基础计算，核心是掌握频率与频数、总数的关系，步骤清晰，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
14. 小刘同学购置一本《朝花夕拾》共144页，计划10天读完。当他读完一半页数时，发现接下来平均每天要多读6页才能按时读完。设该同学读前一半页数时，平均每天读$ x $页，根据题意列出方程$$$$。
答案
14.$\dfrac{72}{x}+\dfrac{72}{x+6}=10$
解析
【分析】
要列出方程，需先确定等量关系：读前一半页数的时间 + 读后一半页数的时间 = 计划读完的10天。首先算出一半页数为144÷2=72页；读前一半时每天读x页，对应时间为$\frac{72}{x}$天；读后一半时每天需多读6页，即每天读$(x+6)$页，对应时间为$\frac{72}{x+6}$天，结合总时间10天即可列出方程。
【解析】
解：总页数144页，一半页数为$144÷2=72$页。
读前一半页数的时间：$\frac{72}{x}$天；
读后一半页数的时间：每天读$(x+6)$页，时间为$\frac{72}{x+6}$天；
根据“总时间为10天”的等量关系，列方程得：$\frac{72}{x}+\frac{72}{x+6}=10$。
【答案】
$\dfrac{72}{x}+\dfrac{72}{x+6}=10$
【知识点】
分式方程的应用
【点评】
本题考查分式方程在实际阅读问题中的应用，核心是找到总时间的等量关系，属于基础题型，需准确计算各部分时间。
【难度系数】
0.6
要列出方程，需先确定等量关系：读前一半页数的时间 + 读后一半页数的时间 = 计划读完的10天。首先算出一半页数为144÷2=72页；读前一半时每天读x页，对应时间为$\frac{72}{x}$天；读后一半时每天需多读6页，即每天读$(x+6)$页，对应时间为$\frac{72}{x+6}$天，结合总时间10天即可列出方程。
【解析】
解：总页数144页，一半页数为$144÷2=72$页。
读前一半页数的时间：$\frac{72}{x}$天；
读后一半页数的时间：每天读$(x+6)$页，时间为$\frac{72}{x+6}$天；
根据“总时间为10天”的等量关系，列方程得：$\frac{72}{x}+\frac{72}{x+6}=10$。
【答案】
$\dfrac{72}{x}+\dfrac{72}{x+6}=10$
【知识点】
分式方程的应用
【点评】
本题考查分式方程在实际阅读问题中的应用，核心是找到总时间的等量关系，属于基础题型，需准确计算各部分时间。
【难度系数】
0.6
15.已知$a-b=\dfrac{5}{3},ab=2$,则$(5-3a)(5+3b)$的值为
$-18$
。答案
15. $-18$ 【解析】因为 $a - b = \dfrac{5}{3}, ab=2$, 所以 $(5-3a)(5+3b)=25+15b-15a-9ab=25-15(a-b)-9ab=25-15×\dfrac{5}{3}-9×2=25-25-18=-18$。
解析
【分析】要计算代数式$(5 - 3a)(5 + 3b)$的值，已知$a - b$和$ab$的具体数值，解题思路是：先将目标代数式展开，再通过变形把式子转化为含有$(a - b)$和$ab$的形式，最后代入已知数值计算结果。
【解析】先对$(5 - 3a)(5 + 3b)$进行多项式乘多项式展开：
$\begin{aligned}(5 - 3a)(5 + 3b)&=5×5 + 5×3b - 3a×5 - 3a×3b\\&=25 + 15b - 15a - 9ab\\&=25 - 15(a - b) - 9ab\end{aligned}$
将$a - b=\dfrac{5}{3}$，$ab=2$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=25 - 15×\dfrac{5}{3} - 9×2\\&=25 - 25 - 18\\&=-18\end{aligned}$
【答案】-18
【知识点】整式的乘法、整体代入法求代数式的值
【点评】本题考查多项式乘多项式的运算及整体代入思想的应用，解题关键是正确展开目标代数式并变形为含已知条件的形式，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】先对$(5 - 3a)(5 + 3b)$进行多项式乘多项式展开：
$\begin{aligned}(5 - 3a)(5 + 3b)&=5×5 + 5×3b - 3a×5 - 3a×3b\\&=25 + 15b - 15a - 9ab\\&=25 - 15(a - b) - 9ab\end{aligned}$
将$a - b=\dfrac{5}{3}$，$ab=2$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=25 - 15×\dfrac{5}{3} - 9×2\\&=25 - 25 - 18\\&=-18\end{aligned}$
【答案】-18
【知识点】整式的乘法、整体代入法求代数式的值
【点评】本题考查多项式乘多项式的运算及整体代入思想的应用，解题关键是正确展开目标代数式并变形为含已知条件的形式，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
16. 如图1,将一条两边互相平行的纸带先沿EF折叠,再沿AF折叠得图2。设∠BEC'=x°,则∠EFD''=
$\dfrac{3x}{2}-90$
°(用含x的代数式表示)。答案
16.$(\dfrac{3x}{2}-90)$ 【解析】如图。由平行线性质可得$∠ EFA=∠ CEF$。由折叠性质可得$∠ C'EF=∠ CEF=(\dfrac{180-x}{2})°=(90-\dfrac{x}{2})°$,所以$∠ EFA=(90-\dfrac{x}{2})°$。因为$AD// BC,EC'// FD$,所以$∠ AFD'=∠ AOC'=∠ BEC'=x°$。由折叠性质可得$∠ AFD''=∠ AFD'=x°$,所以$∠ EFD''=x°-(90-\dfrac{x}{2})°=(\dfrac{3x}{2}-90)°$。
解析
【分析】
要解决该问题，需利用纸带对边平行的性质，结合折叠前后对应角相等的性质推导角的关系：先通过平行线内错角相等和第一次折叠性质求出∠EFA，再利用平行线同位角关系得到∠AFD'，最后根据第二次折叠性质计算∠EFD''。
【解析】
1. 由纸带对边平行（AD//BC），根据平行线内错角相等，得∠CEF = ∠EFA。
2. 第一次沿EF折叠，根据折叠性质，∠C'EF = ∠CEF。又∠BEC' + ∠C'EF + ∠CEF = 180°，代入∠BEC'=x°，得：
∠CEF = (180° - x°)/2 = (90 - x/2)°，因此∠EFA = (90 - x/2)°。
3. 由纸带对边平行（EC'//FD'，AD//BC），得∠AFD' = ∠BEC' = x°（平行线同位角相等）。
4. 第二次沿AF折叠，根据折叠性质，∠AFD'' = ∠AFD' = x°。
5. 因此∠EFD'' = ∠AFD'' - ∠EFA = x° - (90 - x/2)° = (3x/2 - 90)°。
【答案】
(3x/2 - 90)°
【知识点】
平行线性质、折叠性质
【点评】
本题考查平行线性质与折叠性质的综合应用，核心是利用折叠前后角相等、平行线的角等量关系，理清角的和差是解题关键，属于中等难度的几何角度计算问题。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需利用纸带对边平行的性质，结合折叠前后对应角相等的性质推导角的关系：先通过平行线内错角相等和第一次折叠性质求出∠EFA，再利用平行线同位角关系得到∠AFD'，最后根据第二次折叠性质计算∠EFD''。
【解析】
1. 由纸带对边平行（AD//BC），根据平行线内错角相等，得∠CEF = ∠EFA。
2. 第一次沿EF折叠，根据折叠性质，∠C'EF = ∠CEF。又∠BEC' + ∠C'EF + ∠CEF = 180°，代入∠BEC'=x°，得：
∠CEF = (180° - x°)/2 = (90 - x/2)°，因此∠EFA = (90 - x/2)°。
3. 由纸带对边平行（EC'//FD'，AD//BC），得∠AFD' = ∠BEC' = x°（平行线同位角相等）。
4. 第二次沿AF折叠，根据折叠性质，∠AFD'' = ∠AFD' = x°。
5. 因此∠EFD'' = ∠AFD'' - ∠EFA = x° - (90 - x/2)° = (3x/2 - 90)°。
【答案】
(3x/2 - 90)°
【知识点】
平行线性质、折叠性质
【点评】
本题考查平行线性质与折叠性质的综合应用，核心是利用折叠前后角相等、平行线的角等量关系，理清角的和差是解题关键，属于中等难度的几何角度计算问题。
【难度系数】
0.5
