23. (2025·金华市永康市期末)用一张长为40 cm,宽为25 cm的长方形硬纸片裁去一部分后折成纸盒。
(1)如图1,裁去角上四个小正方形之后,折成如图2所示的无盖纸盒。若纸盒底面积为$450\ \mathrm{cm}^2$,则纸盒的高是多少?
(2)如图3,在纸片左边的两个角裁去两个正方形,纸片右边的两个角裁去两个长方形之后,将剩下的纸片(空白部分)折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为$912\ \mathrm{cm}^2$,则裁去的正方形的边长是多少?

23.(1)解:设纸盒的高是$x$cm,则纸盒的底面是长为$(40-2x)$cm,宽为$(25-2x)$cm的长方形。由题意,得$(40-2x)(25-2x)=450$,解得$x_1=5$,$x_2=27.5$(舍去)。答:纸盒的高是5 cm。
(2)解:设裁去的正方形的边长是$y$cm。由题意,得$40×25-2y^2-2×20y=912$,解得$y_1=2$,$y_2=-22$(舍去)。答:裁去的正方形的边长是2 cm。

【分析】
(1) 要确定无盖纸盒的高，需明确：折成纸盒的高等于裁去的小正方形的边长，因此纸盒底面的长为原长方形的长减去2倍的高（左右各裁去一个正方形），宽为原长方形的宽减去2倍的高，再结合底面积的条件列出一元二次方程，求解后根据实际意义舍去不合理的解。
(2) 对于有盖纸盒，其表面积等于原长方形硬纸片的面积减去裁去部分的面积，裁去部分为2个正方形和2个长方形，设正方形边长为$ y $，根据面积关系列出方程，求解后舍去不符合实际的负解。
【解析】
(1) 设纸盒的高是$ x \, \mathrm{cm} $，则纸盒底面的长为$ (40 - 2x) \, \mathrm{cm} $，宽为$ (25 - 2x) \, \mathrm{cm} $。
根据底面积为$ 450 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$ (40 - 2x)(25 - 2x) = 450 $
整理得：$ 2x^2 - 65x + 100 = 0 $
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 27.5 $。
当$ x = 27.5 $时，$ 25 - 2x = -30 ＜ 0 $，不符合实际，舍去。
故纸盒的高是$ 5 \, \mathrm{cm} $。
(2) 设裁去的正方形的边长是$ y \, \mathrm{cm} $。
原长方形面积为$ 40 × 25 = 1000 \, \mathrm{cm}^2 $，根据纸盒表面积为$ 912 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$ 1000 - 2y^2 - 2 × 20y = 912 $
整理得：$ y^2 + 20y - 44 = 0 $
解得：$ y_1 = 2 $，$ y_2 = -22 $（边长不能为负，舍去）。
故裁去的正方形的边长是$ 2 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
(1) $ 5 \, \mathrm{cm} $；(2) $ 2 \, \mathrm{cm} $
【知识点】
一元二次方程应用，几何面积计算，折叠问题
【点评】
本题结合图形裁剪与折叠，考查一元二次方程的实际应用，核心是找准边长与面积的数量关系，需注意解的实际意义，舍去不符合题意的解，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5