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17.(2024·绍兴市上虞区期末)在解一元二次方程时,小马同学粗心地将$x^2$项的系数与常数项对换了,使得方程也变了。他正确地解出了这个不同的方程,得到一个根是2,另一个根等于原方程的一个根,则原方程两根的平方和为 (
A.$\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{5}{4}$
D
)A.$\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{5}{4}$
答案
17.D 【解析】设原方程为$ax^2+bx+c=0$,两个根分别为$α$和$β$,新方程为$cx^2+bx+a=0$,两个根分别为2和$β$,则$aβ^2 + bβ + c=0$①,$cβ^2 + bβ + a=0$②,$4c + 2b + a=0$③。由①-②,得$(a-c)β^2=a-c$。由题意,得$a≠c$,所以$a-c≠0$,所以$β^2=1$,所以$β=±1$。当$β=1$时,$a+b+c=0$,与③联立,得$\begin{cases}a+b+c=0,\\4c+2b+a=0,\end{cases}$所以$\begin{cases}a=2c,\\b=-3c,\end{cases}$则$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{-3c}{2c}=\frac{3}{2}$,$αβ=\frac{c}{a}=\frac{c}{2c}=\frac{1}{2}$,则$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=\frac{9}{4} -1=\frac{5}{4}$。当$β=-1$时,$a-b+c=0$,与③联立,得$\begin{cases}a-b+c=0,\\4c+2b+a=0,\end{cases}$所以$\begin{cases}a=-2c,\\b=-c,\end{cases}$则$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{-c}{-2c}=-\frac{1}{2}$,$αβ=\frac{c}{a}=\frac{c}{-2c}=-\frac{1}{2}$,则$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=\frac{1}{4} +1=\frac{5}{4}$。综上所述,原方程两根的平方和是$\frac{5}{4}$。
解析
【分析】
首先设原一元二次方程为$ax^2 + bx + c = 0$，其两根为$α$、$β$；对换$x^2$项系数与常数项后得到新方程$cx^2 + bx + a = 0$，已知新方程的一个根为2，另一个根为原方程的根$β$。接下来利用“方程的根满足方程”的性质，结合两个方程的关系推导$β$的值，再通过联立方程求出原方程的系数关系，最后利用韦达定理和两根平方和公式计算结果。
【解析】
设原方程为$ax^2 + bx + c = 0$，两根为$α$、$β$，则对换后的新方程为$cx^2 + bx + a = 0$，其两根为2和$β$。
根据方程的根的定义：
1. 原方程的根$β$满足：$aβ^2 + bβ + c = 0$ ①；
2. 新方程的根$β$满足：$cβ^2 + bβ + a = 0$ ②；
3. 新方程的根2满足：$4c + 2b + a = 0$ ③。
用① - ②得：$(a - c)β^2 = a - c$，由题意$a ≠ c$，故$β^2 = 1$，即$β = 1$或$β = -1$。
情况1：当$β = 1$时
将$β=1$代入原方程得：$a + b + c = 0$ ④；
联立③和④：$\begin{cases}a + b + c = 0 \\ a + 2b + 4c = 0 \end{cases}$，
化简得$a = 2c$，$b = -3c$。
根据韦达定理，原方程两根和$α + β = -\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$，两根积$αβ = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$；
则两根平方和：$α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$。
情况2：当$β = -1$时
将$β=-1$代入原方程得：$a - b + c = 0$ ⑤；
联立③和⑤：$\begin{cases}a - b + c = 0 \\ a + 2b + 4c = 0 \end{cases}$，
化简得$a = -2c$，$b = -c$。
根据韦达定理，原方程两根和$α + β = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{2}$，两根积$αβ = \frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$；
则两根平方和：$α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$。
综上，原方程两根的平方和为$\frac{5}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理；代数式求值
【点评】
本题考查一元二次方程的根的性质与韦达定理的综合应用，关键在于通过对换方程的根的关系推导原方程根的可能值，再分类讨论计算，需注意方程解的代入和韦达定理的正确使用，计算时要细心避免出错。
【难度系数】
0.5
首先设原一元二次方程为$ax^2 + bx + c = 0$，其两根为$α$、$β$；对换$x^2$项系数与常数项后得到新方程$cx^2 + bx + a = 0$，已知新方程的一个根为2，另一个根为原方程的根$β$。接下来利用“方程的根满足方程”的性质，结合两个方程的关系推导$β$的值，再通过联立方程求出原方程的系数关系，最后利用韦达定理和两根平方和公式计算结果。
【解析】
设原方程为$ax^2 + bx + c = 0$，两根为$α$、$β$，则对换后的新方程为$cx^2 + bx + a = 0$，其两根为2和$β$。
根据方程的根的定义：
1. 原方程的根$β$满足：$aβ^2 + bβ + c = 0$ ①；
2. 新方程的根$β$满足：$cβ^2 + bβ + a = 0$ ②；
3. 新方程的根2满足：$4c + 2b + a = 0$ ③。
用① - ②得：$(a - c)β^2 = a - c$，由题意$a ≠ c$，故$β^2 = 1$，即$β = 1$或$β = -1$。
情况1：当$β = 1$时
将$β=1$代入原方程得：$a + b + c = 0$ ④；
联立③和④：$\begin{cases}a + b + c = 0 \\ a + 2b + 4c = 0 \end{cases}$，
化简得$a = 2c$，$b = -3c$。
根据韦达定理，原方程两根和$α + β = -\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$，两根积$αβ = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$；
则两根平方和：$α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$。
情况2：当$β = -1$时
将$β=-1$代入原方程得：$a - b + c = 0$ ⑤；
联立③和⑤：$\begin{cases}a - b + c = 0 \\ a + 2b + 4c = 0 \end{cases}$，
化简得$a = -2c$，$b = -c$。
根据韦达定理，原方程两根和$α + β = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{2}$，两根积$αβ = \frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$；
则两根平方和：$α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$。
综上，原方程两根的平方和为$\frac{5}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理；代数式求值
【点评】
本题考查一元二次方程的根的性质与韦达定理的综合应用，关键在于通过对换方程的根的关系推导原方程根的可能值，再分类讨论计算，需注意方程解的代入和韦达定理的正确使用，计算时要细心避免出错。
【难度系数】
0.5
18. 已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + (a + 2)x + 1 = 0$有两个不相等的实数根$x_1, x_2$，且$x_1 ＜ 1 ＜ x_2$，则实数$a$的取值范围为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
18.$-\frac{3}{2}＜a＜0$ 【解析】因为关于$x$的一元二次方程$ax^2+(a+2)x+1=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$,所以$\begin{cases}a≠0,\\(a+2)^2-4a＞0,\end{cases}$解得$a≠0$。因为$x_1,x_2$是一元二次方程$ax^2+(a+2)x+1=0$的两个实数根,所以$x_1+x_2=-\frac{a+2}{a}$,$x_1x_2=\frac{1}{a}$。因为$x_1＜1＜x_2$,所以$x_1-1＜0$,$x_2-1＞0$,所以$(x_1-1)(x_2-1)＜0$,所以$x_1x_2-(x_1+x_2)+1＜0$,所以$\frac{1}{a} - (-\frac{a+2}{a}) +1＜0$,整理,得$\frac{3}{a} ＜ -2$。当$a＜0$时,解不等式$\frac{3}{a} ＜ -2$,得$a＞ -\frac{3}{2}$,所以$-\frac{3}{2} ＜a＜0$;当$a＞0$时,解不等式$\frac{3}{a} ＜ -2$,得$a＜ -\frac{3}{2}$,所以此时无解。综上所述,$a$的取值范围为$-\frac{3}{2} ＜a＜0$。
解析
【分析】
要解决本题，需结合一元二次方程的定义、根的判别式、韦达定理以及根的分布规律分析：首先，一元二次方程要求二次项系数不为0，且有两个不相等实根需满足判别式大于0；其次，根据两根与1的大小关系，转化为乘积符号的不等式，再结合韦达定理将其转化为关于参数a的不等式，最后解分式不等式时需注意a的正负对不等号方向的影响，从而确定a的取值范围。
【解析】
1. 确定一元二次方程的条件：
因为方程$ax^2 + (a + 2)x + 1 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数$a≠0$；
又方程有两个不相等的实数根，计算判别式：
$\Delta=(a+2)^2 -4×a×1=a^2+4a+4-4a=a^2+4$，显然$a^2+4＞0$恒成立，因此判别式条件已满足，只需$a≠0$。
2. 利用根的大小关系转化不等式：
由$x_1＜1＜x_2$，得$x_1-1＜0$，$x_2-1＞0$，故$(x_1-1)(x_2-1)＜0$；
展开得：$x_1x_2 - (x_1+x_2) +1＜0$。
3. 结合韦达定理代入求解：
根据韦达定理，方程的两根满足：
$x_1+x_2=-\frac{a+2}{a}$，$x_1x_2=\frac{1}{a}$；
代入不等式得：
$\frac{1}{a} - (-\frac{a+2}{a}) +1＜0$，
整理得：$\frac{1}{a} + \frac{a+2}{a} +1＜0$，
通分计算：$\frac{a+3}{a} +1＜0$ → $\frac{2a+3}{a}＜0$；
解分式不等式：
分子分母异号，分两种情况：
① 当$a＞0$时，需$2a+3＜0$，即$a＜-\frac{3}{2}$，无解；
② 当$a＜0$时，需$2a+3＞0$，即$a＞-\frac{3}{2}$，故$-\frac{3}{2}＜a＜0$。
综上，实数$a$的取值范围为$-\frac{3}{2}＜a＜0$。
【答案】
$-\frac{3}{2}＜a＜0$
【知识点】
一元二次方程根的分布、韦达定理、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的分布，核心是利用根的大小关系转化为乘积符号，结合韦达定理构建参数不等式，解分式不等式时需注意符号变化，属于中等难度题型，易出错点为忽略a的正负对不等式方向的影响。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合一元二次方程的定义、根的判别式、韦达定理以及根的分布规律分析：首先，一元二次方程要求二次项系数不为0，且有两个不相等实根需满足判别式大于0；其次，根据两根与1的大小关系，转化为乘积符号的不等式，再结合韦达定理将其转化为关于参数a的不等式，最后解分式不等式时需注意a的正负对不等号方向的影响，从而确定a的取值范围。
【解析】
1. 确定一元二次方程的条件：
因为方程$ax^2 + (a + 2)x + 1 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数$a≠0$；
又方程有两个不相等的实数根，计算判别式：
$\Delta=(a+2)^2 -4×a×1=a^2+4a+4-4a=a^2+4$，显然$a^2+4＞0$恒成立，因此判别式条件已满足，只需$a≠0$。
2. 利用根的大小关系转化不等式：
由$x_1＜1＜x_2$，得$x_1-1＜0$，$x_2-1＞0$，故$(x_1-1)(x_2-1)＜0$；
展开得：$x_1x_2 - (x_1+x_2) +1＜0$。
3. 结合韦达定理代入求解：
根据韦达定理，方程的两根满足：
$x_1+x_2=-\frac{a+2}{a}$，$x_1x_2=\frac{1}{a}$；
代入不等式得：
$\frac{1}{a} - (-\frac{a+2}{a}) +1＜0$，
整理得：$\frac{1}{a} + \frac{a+2}{a} +1＜0$，
通分计算：$\frac{a+3}{a} +1＜0$ → $\frac{2a+3}{a}＜0$；
解分式不等式：
分子分母异号，分两种情况：
① 当$a＞0$时，需$2a+3＜0$，即$a＜-\frac{3}{2}$，无解；
② 当$a＜0$时，需$2a+3＞0$，即$a＞-\frac{3}{2}$，故$-\frac{3}{2}＜a＜0$。
综上，实数$a$的取值范围为$-\frac{3}{2}＜a＜0$。
【答案】
$-\frac{3}{2}＜a＜0$
【知识点】
一元二次方程根的分布、韦达定理、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的分布，核心是利用根的大小关系转化为乘积符号，结合韦达定理构建参数不等式，解分式不等式时需注意符号变化，属于中等难度题型，易出错点为忽略a的正负对不等式方向的影响。
【难度系数】
0.5
19. (2024·杭州市钱塘区期末)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(k - 1)x + k^2 + 3 = 0$。
(1)若该方程有一个根是$-2$，求$k$的值。
(2)若该方程有两个实数根，求$k$的取值范围。
(3)若该方程的两个实数根$x_1, x_2$满足$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 14$，求$k$的值。
(1)若该方程有一个根是$-2$，求$k$的值。
(2)若该方程有两个实数根，求$k$的取值范围。
(3)若该方程的两个实数根$x_1, x_2$满足$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 14$，求$k$的值。
答案
19.(1)解:把$x=-2$代入方程,得$(-2)^2-2(k-1)×(-2)+k^2+3=0$,整理,得$k^2+4k+3=0$,解得$k=-3$,或$k=-1$。
(2) 解 : 由题意 , 得$Δ=[-2(k-1)]^2-4(k^2+3)≥0$, 解 得$k≤-1$。
(3)解:由题意,得$x_1+x_2=2(k-1)$,$x_1x_2=k^2+3$,所以$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=k^2+3-2(k-1)+1=k^2-2k+6=14$,解得$k=-2$,或$k=4$(不符合题意,舍去),所以$k$的值为$-2$。
(2) 解 : 由题意 , 得$Δ=[-2(k-1)]^2-4(k^2+3)≥0$, 解 得$k≤-1$。
(3)解:由题意,得$x_1+x_2=2(k-1)$,$x_1x_2=k^2+3$,所以$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=k^2+3-2(k-1)+1=k^2-2k+6=14$,解得$k=-2$,或$k=4$(不符合题意,舍去),所以$k$的值为$-2$。
解析
【分析】
本题分三小问，依次考察一元二次方程的核心知识点：
(1) 已知方程的根，将根代入原方程，可得到关于k的一元二次方程，求解即可；
(2) 方程有两个实数根，需满足判别式Δ≥0，代入系数计算不等式，解出k的取值范围；
(3) 利用根与系数的关系（韦达定理）得到两根和与两根积的表达式，将所求式子展开后代入，得到关于k的方程，求解后结合(2)中k的取值范围舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】
(1) 把$x=-2$代入方程$x^2 - 2(k - 1)x + k^2 + 3 = 0$，得：
$(-2)^2 - 2(k - 1)×(-2) + k^2 + 3 = 0$
整理得：$k^2 + 4k + 3 = 0$，因式分解为$(k+1)(k+3)=0$，解得$k=-3$或$k=-1$。
(2) 因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta≥0$：
$\Delta = [-2(k-1)]^2 - 4×1×(k^2 + 3) = 4(k^2 - 2k +1) -4k^2 -12 = -8k -8$
令$\Delta≥0$，即$-8k -8≥0$，解得$k≤-1$。
(3) 由根与系数的关系，得$x_1+x_2=2(k-1)$，$x_1x_2=k^2+3$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：$x_1x_2 - (x_1+x_2) +1$，代入得：
$k^2 +3 -2(k-1)+1 = k^2 -2k +6$
由题意得$k^2 -2k +6=14$，整理得$k^2 -2k -8=0$，解得$k=4$或$k=-2$。
结合(2)中$k≤-1$，$k=4$不符合，舍去，故$k=-2$。
【答案】
(1) $k=-3$或$k=-1$；(2) $k≤-1$；(3) $k=-2$
【知识点】
一元二次方程的根的定义、根的判别式、根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，三小问依次递进，解题时需注意：①代入根后要正确整理方程；②利用判别式时需注意“两个实数根”对应$\Delta≥0$；③第三问求解后必须结合前一问的k的范围舍去不符合的解，避免出错。
【难度系数】
0.5
本题分三小问，依次考察一元二次方程的核心知识点：
(1) 已知方程的根，将根代入原方程，可得到关于k的一元二次方程，求解即可；
(2) 方程有两个实数根，需满足判别式Δ≥0，代入系数计算不等式，解出k的取值范围；
(3) 利用根与系数的关系（韦达定理）得到两根和与两根积的表达式，将所求式子展开后代入，得到关于k的方程，求解后结合(2)中k的取值范围舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】
(1) 把$x=-2$代入方程$x^2 - 2(k - 1)x + k^2 + 3 = 0$，得：
$(-2)^2 - 2(k - 1)×(-2) + k^2 + 3 = 0$
整理得：$k^2 + 4k + 3 = 0$，因式分解为$(k+1)(k+3)=0$，解得$k=-3$或$k=-1$。
(2) 因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta≥0$：
$\Delta = [-2(k-1)]^2 - 4×1×(k^2 + 3) = 4(k^2 - 2k +1) -4k^2 -12 = -8k -8$
令$\Delta≥0$，即$-8k -8≥0$，解得$k≤-1$。
(3) 由根与系数的关系，得$x_1+x_2=2(k-1)$，$x_1x_2=k^2+3$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：$x_1x_2 - (x_1+x_2) +1$，代入得：
$k^2 +3 -2(k-1)+1 = k^2 -2k +6$
由题意得$k^2 -2k +6=14$，整理得$k^2 -2k -8=0$，解得$k=4$或$k=-2$。
结合(2)中$k≤-1$，$k=4$不符合，舍去，故$k=-2$。
【答案】
(1) $k=-3$或$k=-1$；(2) $k≤-1$；(3) $k=-2$
【知识点】
一元二次方程的根的定义、根的判别式、根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，三小问依次递进，解题时需注意：①代入根后要正确整理方程；②利用判别式时需注意“两个实数根”对应$\Delta≥0$；③第三问求解后必须结合前一问的k的范围舍去不符合的解，避免出错。
【难度系数】
0.5
20.某衣架生产商将衣架以捆为单位进行售卖,且一捆衣架的成本价为3元。当售价为每捆9元时,日销售量为100捆;若衣架售价每捆降低0.5元,日销售量就增加25捆。设每捆衣架售价降低$a$元,要使日盈利为800元,则可列方程为 $\quad (\quad)$
A.$(9 - a)(100 + 25a)=800$
B.$(9 - a)(100 + 50a)=800$
C.$(6 - a)(100 + 25a)=800$
D.$(6 - a)(100 + 50a)=800$
A.$(9 - a)(100 + 25a)=800$
B.$(9 - a)(100 + 50a)=800$
C.$(6 - a)(100 + 25a)=800$
D.$(6 - a)(100 + 50a)=800$
答案
20.D
解析
【分析】
要解决这道题，需利用销售利润问题的核心公式：总盈利=每捆利润×日销售量。首先明确各量的变化：设售价降低$a$元，先计算实际售价，再结合成本算出每捆利润；再根据“每降价0.5元，销量增加25捆”，计算降价$a$元后增加的销量，进而得到总销售量；最后根据总盈利为800元，列出对应方程即可。
【解析】
设每捆衣架售价降低$a$元，根据题意：
1. 每捆的实际售价为：$9 - a$元；
2. 每捆的成本价为3元，因此每捆的利润为：$(9 - a) - 3 = 6 - a$元；
3. 售价每降低0.5元，日销售量增加25捆，那么降低$a$元时，日销售量增加的数量为：$\frac{a}{0.5} × 25 = 50a$捆，因此日销售量为：$100 + 50a$捆；
4. 总盈利=每捆利润×日销售量，要使日盈利为800元，可列方程：$(6 - a)(100 + 50a) = 800$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润问题
【点评】
本题是销售利润问题的基础应用题，关键在于准确计算降价后的销售量，需注意降价金额与销售量增加量的对应关系，避免计算错误，整体难度不大，是学生需掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需利用销售利润问题的核心公式：总盈利=每捆利润×日销售量。首先明确各量的变化：设售价降低$a$元，先计算实际售价，再结合成本算出每捆利润；再根据“每降价0.5元，销量增加25捆”，计算降价$a$元后增加的销量，进而得到总销售量；最后根据总盈利为800元，列出对应方程即可。
【解析】
设每捆衣架售价降低$a$元，根据题意：
1. 每捆的实际售价为：$9 - a$元；
2. 每捆的成本价为3元，因此每捆的利润为：$(9 - a) - 3 = 6 - a$元；
3. 售价每降低0.5元，日销售量增加25捆，那么降低$a$元时，日销售量增加的数量为：$\frac{a}{0.5} × 25 = 50a$捆，因此日销售量为：$100 + 50a$捆；
4. 总盈利=每捆利润×日销售量，要使日盈利为800元，可列方程：$(6 - a)(100 + 50a) = 800$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润问题
【点评】
本题是销售利润问题的基础应用题，关键在于准确计算降价后的销售量，需注意降价金额与销售量增加量的对应关系，避免计算错误，整体难度不大，是学生需掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
21. 学科融合 读一读下面的诗词:大江东去浪淘尽,千古风流数人物;而立之年督东吴,英年早逝两位数;十位恰小个位三,个位平方与寿符。诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督,去世时年龄是两位数,十位数字比个位数字小3,个位数字的平方等于他去世时的年龄,则他去世时年龄为
36
岁。答案
21.36
解析
【分析】首先设周瑜去世年龄的个位数字为未知数，根据“十位恰小个位三”表示出十位数字，进而写出去世年龄的两位数表达式；再依据“个位平方与寿符”的条件建立等量关系列方程，最后结合“而立之年（30岁）督东吴”的实际背景筛选出合理的解。
【解析】设周瑜去世时年龄的个位数字为$ x $，则十位数字为$ x-3 $，去世年龄可表示为$ 10(x-3)+x $岁。根据题意列方程：
$ x^2 = 10(x - 3) + x $
整理得：$ x^2 - 11x + 30 = 0 $
因式分解得：$ (x - 5)(x - 6) = 0 $
解得：$ x_1=5 $，$ x_2=6 $
当$ x=5 $时，年龄为$ 10×(5-3)+5=25 $岁，小于30岁，不符合“而立之年督东吴”的条件，舍去；
当$ x=6 $时，年龄为$ 10×(6-3)+6=36 $岁，符合题意。
【答案】36
【知识点】一元二次方程的应用、数字问题
【点评】本题结合诗词背景考查一元二次方程的实际应用，核心是根据题意建立等量关系，同时需结合实际意义筛选解，体现了跨学科的知识融合。
【难度系数】0.5
【解析】设周瑜去世时年龄的个位数字为$ x $，则十位数字为$ x-3 $，去世年龄可表示为$ 10(x-3)+x $岁。根据题意列方程：
$ x^2 = 10(x - 3) + x $
整理得：$ x^2 - 11x + 30 = 0 $
因式分解得：$ (x - 5)(x - 6) = 0 $
解得：$ x_1=5 $，$ x_2=6 $
当$ x=5 $时，年龄为$ 10×(5-3)+5=25 $岁，小于30岁，不符合“而立之年督东吴”的条件，舍去；
当$ x=6 $时，年龄为$ 10×(6-3)+6=36 $岁，符合题意。
【答案】36
【知识点】一元二次方程的应用、数字问题
【点评】本题结合诗词背景考查一元二次方程的实际应用，核心是根据题意建立等量关系，同时需结合实际意义筛选解，体现了跨学科的知识融合。
【难度系数】0.5
22.(2025·绍兴市嵊州市期末)【真实情境】近几年，“浙东唐诗之路”山水挑战赛“贵门”轻越野跑的关注度越来越高。据某平台统计，赛事的参赛跑友逐年增多，从2023年的1000人增加到2025年的1210人。
(1)求2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率。
(2)某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组。当每组售价为50元时，3月份售出了1600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销。为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式。经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36000元，为了尽可能多地让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？
(1)求2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率。
(2)某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组。当每组售价为50元时，3月份售出了1600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销。为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式。经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36000元，为了尽可能多地让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？
答案
22.(1)解:设2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为$x$。由题意,得$1000(1+x)^2=1210$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=-2.1$(舍去)。答:2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为10%。
(2)解:设该护膝肌贴组每组降价$m$元。由题意,得$(50-m-30)(1600+200m)=36000$,整理,得$m^2-12m+20=0$,解得$m_1=2$,$m_2=10$。因为为了尽可能多地让利于顾客,所以该护膝肌贴组每组应降价10元。答:该护膝肌贴组每组应降价10元。
(2)解:设该护膝肌贴组每组降价$m$元。由题意,得$(50-m-30)(1600+200m)=36000$,整理,得$m^2-12m+20=0$,解得$m_1=2$,$m_2=10$。因为为了尽可能多地让利于顾客,所以该护膝肌贴组每组应降价10元。答:该护膝肌贴组每组应降价10元。
解析
【分析】
本题分为两小问，均为一元二次方程的实际应用问题。第(1)问是年均增长率问题，核心等量关系为“初始量×(1+年均增长率)²=最终量”，设增长率为x，列方程求解后需舍去不符合实际意义的负根；第(2)问是利润问题，利用“总利润=单件利润×销售量”的关系，设降价m元，分别表示出单件利润和销售量，代入总利润列方程，解出根后根据“尽可能多地让利于顾客”的条件选择合适的解。
【解析】
(1)设2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为$x$。
根据题意，2023年参赛人数为1000人，2025年为1210人，可列方程：
$1000(1+x)^2=1210$
化简得：$(1+x)^2=1.21$
开方得：$1+x=\pm1.1$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$（增长率不能为负，舍去）
答：2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为10%。
(2)设该护膝肌贴组每组降价$m$元。
已知进价30元，原售价50元，降价后单件利润为$(50 - m - 30)$元；原销量1600组，每降价1元销量增加200组，故降价后销量为$(1600 + 200m)$组。
根据总利润=单件利润×销售量，可列方程：
$(50 - m - 30)(1600 + 200m)=36000$
整理得：$m^2 - 12m + 20=0$
因式分解得：$(m - 2)(m - 10)=0$
解得：$m_1=2$，$m_2=10$
因为要尽可能多地让利于顾客，所以选择较大的降价幅度，即$m=10$
答：该护膝肌贴组每组应降价10元。
【答案】
(1)2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为10%；
(2)该护膝肌贴组每组应降价10元。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元二次方程的应用（利润问题）
【点评】
本题结合真实赛事情境考查一元二次方程的实际应用，重点是从题目中提取等量关系建立方程，同时需关注解的实际合理性（如增长率非负、让利需求），是初中数学常见的基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，均为一元二次方程的实际应用问题。第(1)问是年均增长率问题，核心等量关系为“初始量×(1+年均增长率)²=最终量”，设增长率为x，列方程求解后需舍去不符合实际意义的负根；第(2)问是利润问题，利用“总利润=单件利润×销售量”的关系，设降价m元，分别表示出单件利润和销售量，代入总利润列方程，解出根后根据“尽可能多地让利于顾客”的条件选择合适的解。
【解析】
(1)设2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为$x$。
根据题意，2023年参赛人数为1000人，2025年为1210人，可列方程：
$1000(1+x)^2=1210$
化简得：$(1+x)^2=1.21$
开方得：$1+x=\pm1.1$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$（增长率不能为负，舍去）
答：2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为10%。
(2)设该护膝肌贴组每组降价$m$元。
已知进价30元，原售价50元，降价后单件利润为$(50 - m - 30)$元；原销量1600组，每降价1元销量增加200组，故降价后销量为$(1600 + 200m)$组。
根据总利润=单件利润×销售量，可列方程：
$(50 - m - 30)(1600 + 200m)=36000$
整理得：$m^2 - 12m + 20=0$
因式分解得：$(m - 2)(m - 10)=0$
解得：$m_1=2$，$m_2=10$
因为要尽可能多地让利于顾客，所以选择较大的降价幅度，即$m=10$
答：该护膝肌贴组每组应降价10元。
【答案】
(1)2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为10%；
(2)该护膝肌贴组每组应降价10元。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元二次方程的应用（利润问题）
【点评】
本题结合真实赛事情境考查一元二次方程的实际应用，重点是从题目中提取等量关系建立方程，同时需关注解的实际合理性（如增长率非负、让利需求），是初中数学常见的基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
