24. (2025·嘉兴市海宁市校级期末模拟) 项目化学习 根据以下销售情况,解决销售任务。
销售情况
公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售,它们的销售情况如下:
| 店面 | 甲店 | 乙店 |
| ---- | ---- | ---- |
| 日销售情况 | 每天可售出20件,每件盈利40元 | 每天可售出30件,每件盈利30元 |
| 市场调查 | 经调查发现,每件衬衫每降价1元,甲、乙两家分店一天各多售出2件 |
| 情况设置 | 设甲店每件衬衫降价$a$元,乙店每件衬衫降价$b$元($a,b$均为整数) |
| 任务解决 | 任务1 | 甲店销售的衬衫,每件利润为元(用含$a$的代数式表示)
乙店销售的衬衫,每天的销售量为件(用含$b$的代数式表示) |
| | 任务2 | 当$a=5,b=4$时,分别求出甲、乙两家分店每天的盈利 |
| | 任务3 | 当$a+b=20$时,请分别求出甲、乙两家分店每件衬衫各下降多少元,一天的盈利之和为2200元 |

24.任务1 $(40-a)$ $(30+2b)$
任务2 解:当$a=5$时,甲店每天的盈利为$(40-5)×(20+2×5)=1050$(元);当$b=4$时,乙店每天的盈利为$(30-4)×(30+2×4)=988$(元)。
任务3 解:因为$a+b=20$,所以$b=20-a$。因为两家分店一天的盈利之和为2200元,由题意,得$(20+2a)(40-a)+(30+2b)(30-b)=2200$,即$(20+2a)(40-a)+[30+2(20-a)][30-(20-a)]=2200$,解得$a_1=10$,$a_2=17.5$(舍去)。所以$b=20-a=10$。答:甲、乙两家分店每件衬衫各下降10元,一天的盈利之和为2200元。

【分析】
首先，任务1需明确：每件利润=原盈利-降价金额，销售量=原销售量+2×降价金额，据此用代数式表示；任务2根据“盈利=每件利润×销售量”，代入a=5、b=4计算即可；任务3利用a+b=20将b用a表示，再结合两家盈利和为2200元列一元二次方程，求解后根据a、b为整数的要求舍去不合理解，得到结果。
【解析】
任务1：甲店每件原盈利40元，降价a元，故每件利润为$(40 - a)$元；乙店原每天售30件，每降价1元多售2件，降价b元后多售2b件，故每天销售量为$(30 + 2b)$件。
任务2：甲店盈利=每件利润×销售量，当$a=5$时，每件利润为$40-5=35$元，销售量为$20+2×5=30$件，盈利为$35×30=1050$元；乙店当$b=4$时，每件利润为$30-4=26$元，销售量为$30+2×4=38$件，盈利为$26×38=988$元。
任务3：由$a+b=20$得$b=20 - a$，甲店盈利为$(40 - a)(20 + 2a)$；乙店每件利润为$30 - b=30 - (20 - a)=10 + a$，销售量为$30 + 2b=30 + 2(20 - a)=70 - 2a$，故乙店盈利为$(10 + a)(70 - 2a)$。根据两家盈利和为2200元，列方程：
$(40 - a)(20 + 2a) + (10 + a)(70 - 2a) = 2200$
展开整理得：$2a² - 55a + 350 = 0$，解得$a₁=10$，$a₂=17.5$（因a为整数，舍去），则$b=20 - 10=10$。
【答案】
任务1：$(40 - a)$；$(30 + 2b)$
任务2：甲店每天盈利1050元，乙店每天盈利988元
任务3：甲店每件降价10元，乙店每件降价10元
【知识点】
代数式的应用；一元二次方程的应用；销售利润问题
【点评】
本题为销售利润类项目化应用题，核心是理清利润、销售量与降价的关系，考查代数式表达和一元二次方程的实际应用，需注意解的实际意义（整数要求），难度适中。
【难度系数】
0.5