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五、解决问题(21 分)
1.一间教室,用边长 4 分米的正方形砖铺地,需要 300 块,如果改用边长 5 分米的正方形砖铺地,需要多少块?(6 分)
1.一间教室,用边长 4 分米的正方形砖铺地,需要 300 块,如果改用边长 5 分米的正方形砖铺地,需要多少块?(6 分)
答案
1.$4×4×300÷(5×5)=192$(块)
解析
【分析】这道题是铺砖问题，教室地面的总面积固定不变。解题思路是：先根据旧正方形砖的边长和块数算出教室总面积，再用总面积除以新正方形砖的面积，即可得到需要的新砖块数，关键是明确砖的面积是边长×边长，而非边长本身。
【解析】先计算旧砖面积：正方形面积=边长×边长，旧砖面积为$4×4=16$（平方分米）；再算教室总面积：总面积=旧砖面积×旧砖块数，即$16×300=4800$（平方分米）；接着算新砖面积：$5×5=25$（平方分米）；最后求新砖块数：总面积÷新砖面积，列式为$4×4×300÷(5×5)=4800÷25=192$（块）。
【答案】192块
【知识点】正方形面积计算、反比例应用
【点评】本题考查正方形面积公式的应用和铺砖问题的解题方法，核心是抓住总面积不变的特点，易错点是误将边长当作面积计算，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】先计算旧砖面积：正方形面积=边长×边长，旧砖面积为$4×4=16$（平方分米）；再算教室总面积：总面积=旧砖面积×旧砖块数，即$16×300=4800$（平方分米）；接着算新砖面积：$5×5=25$（平方分米）；最后求新砖块数：总面积÷新砖面积，列式为$4×4×300÷(5×5)=4800÷25=192$（块）。
【答案】192块
【知识点】正方形面积计算、反比例应用
【点评】本题考查正方形面积公式的应用和铺砖问题的解题方法，核心是抓住总面积不变的特点，易错点是误将边长当作面积计算，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
2.用一根长 48 dm 的铁丝做一个长方体框架,使它的长、宽、高的比是$1:1:4$,再把它的5个面糊上纸(除上底面),做成一个长方体灯笼。需要多少平方米的纸?(接头处忽略不计)
(7分)
(7分)
答案
2.$48÷4=12(\mathrm{dm})$ 长:$12×\frac{1}{1+1+4}=2(\mathrm{dm})$ 宽:$12×\frac{1}{1+1+4}=2(\mathrm{dm})$ 高:$12×\frac{4}{1+1+4}=8(\mathrm{dm})$ 纸:$2×2+2×8×4=68(\mathrm{dm}^2)=0.68(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用长方体棱长总和的特征求出一组长、宽、高的和，再按比例分配算出长、宽、高；接着确定需要糊纸的面（除上底面，即1个底面+4个侧面），计算这些面的总面积，最后转换单位得到结果。
【解析】
1. 计算一组长、宽、高的和：长方体有12条棱，分为4组长、宽、高，因此一组的和为 $48 ÷ 4 = 12(\mathrm{dm})$。
2. 按比例分配求长、宽、高：总份数为 $1+1+4=6$，则长 $=12 × \frac{1}{6}=2(\mathrm{dm})$，宽 $=12 × \frac{1}{6}=2(\mathrm{dm})$，高 $=12 × \frac{4}{6}=8(\mathrm{dm})$。
3. 计算糊纸的面积：除上底面，需计算1个底面和4个侧面的面积，即 $2 × 2 + 2 × 8 × 4 = 4 + 64 = 68(\mathrm{dm}^2)$。
4. 单位转换：因为 $1\mathrm{m}^2=100\mathrm{dm}^2$，所以 $68\mathrm{dm}^2=0.68\mathrm{m}^2$。
【答案】
0.68平方米
【知识点】
长方体棱长和、按比例分配、长方体表面积计算
【点评】
本题结合长方体的实际应用，考查了棱长特征、比例分配和表面积计算，关键是明确需要计算的面（排除上底面），注意单位转换，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先利用长方体棱长总和的特征求出一组长、宽、高的和，再按比例分配算出长、宽、高；接着确定需要糊纸的面（除上底面，即1个底面+4个侧面），计算这些面的总面积，最后转换单位得到结果。
【解析】
1. 计算一组长、宽、高的和：长方体有12条棱，分为4组长、宽、高，因此一组的和为 $48 ÷ 4 = 12(\mathrm{dm})$。
2. 按比例分配求长、宽、高：总份数为 $1+1+4=6$，则长 $=12 × \frac{1}{6}=2(\mathrm{dm})$，宽 $=12 × \frac{1}{6}=2(\mathrm{dm})$，高 $=12 × \frac{4}{6}=8(\mathrm{dm})$。
3. 计算糊纸的面积：除上底面，需计算1个底面和4个侧面的面积，即 $2 × 2 + 2 × 8 × 4 = 4 + 64 = 68(\mathrm{dm}^2)$。
4. 单位转换：因为 $1\mathrm{m}^2=100\mathrm{dm}^2$，所以 $68\mathrm{dm}^2=0.68\mathrm{m}^2$。
【答案】
0.68平方米
【知识点】
长方体棱长和、按比例分配、长方体表面积计算
【点评】
本题结合长方体的实际应用，考查了棱长特征、比例分配和表面积计算，关键是明确需要计算的面（排除上底面），注意单位转换，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6
3.若将下图中的甲、乙两个铁制零件先后浸没在同一个盛有水的长方体容器(足够高)中，水面两次上升的高度相等。已知甲、乙两个零件的高相等，那么乙零件底面的面积是多少？(甲零件是从一个大圆柱中间挖去一个等高的小圆柱得到的)(单位:cm,π取3.14)(8分)
答案
3.解:设它们的高为h cm,圆锥底面积为S $\mathrm{cm}^2$。
$[(\frac{10}{2})^2×3.14-(\frac{10}{2}-2)^2×3.14]×h=\frac{1}{3}hS$ $S=150.72\ (\mathrm{cm}^2)$
$[(\frac{10}{2})^2×3.14-(\frac{10}{2}-2)^2×3.14]×h=\frac{1}{3}hS$ $S=150.72\ (\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是理解：零件浸没在水中时，排开水的体积等于零件自身的体积。由于容器相同，水面上升高度相等，说明甲、乙两个零件的体积相等。接下来分别计算甲（空心圆柱）和乙（圆锥）的体积，再根据体积相等的关系列方程，即可求出乙零件的底面积。
【解析】
设甲、乙两个零件的高均为$ h \, \mathrm{cm} $，乙零件的底面积为$ S \, \mathrm{cm}^2 $。
1. 计算甲零件的体积：甲是大圆柱挖去等高的小圆柱，大圆柱半径$ R = \frac{10}{2} = 5 \, \mathrm{cm} $，小圆柱半径$ r = 5 - 2 = 3 \, \mathrm{cm} $，则甲的体积为：
$V_甲 = π R^2 h - π r^2 h = π (5^2 - 3^2) h = 16π h$
2. 计算乙零件的体积：乙是圆锥，体积公式为$ V_乙 = \frac{1}{3} S h $。
3. 根据体积相等（水面上升高度相等，排开体积相等），得$ V_甲 = V_乙 $，代入得：
$16π h = \frac{1}{3} S h$
两边约去$ h $，代入$ π = 3.14 $，解得：
$S = 16 × 3.14 × 3 = 150.72 \, \mathrm{cm}^2$
【答案】
$ 150.72 \, \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
圆柱体积、圆锥体积、等积变形
【点评】
本题结合排开液体体积的特点，考查圆柱和圆锥体积公式的应用，关键是理解“水面上升高度相等”对应零件体积相等，再正确计算空心圆柱的体积，进而建立等式求解，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，核心是理解：零件浸没在水中时，排开水的体积等于零件自身的体积。由于容器相同，水面上升高度相等，说明甲、乙两个零件的体积相等。接下来分别计算甲（空心圆柱）和乙（圆锥）的体积，再根据体积相等的关系列方程，即可求出乙零件的底面积。
【解析】
设甲、乙两个零件的高均为$ h \, \mathrm{cm} $，乙零件的底面积为$ S \, \mathrm{cm}^2 $。
1. 计算甲零件的体积：甲是大圆柱挖去等高的小圆柱，大圆柱半径$ R = \frac{10}{2} = 5 \, \mathrm{cm} $，小圆柱半径$ r = 5 - 2 = 3 \, \mathrm{cm} $，则甲的体积为：
$V_甲 = π R^2 h - π r^2 h = π (5^2 - 3^2) h = 16π h$
2. 计算乙零件的体积：乙是圆锥，体积公式为$ V_乙 = \frac{1}{3} S h $。
3. 根据体积相等（水面上升高度相等，排开体积相等），得$ V_甲 = V_乙 $，代入得：
$16π h = \frac{1}{3} S h$
两边约去$ h $，代入$ π = 3.14 $，解得：
$S = 16 × 3.14 × 3 = 150.72 \, \mathrm{cm}^2$
【答案】
$ 150.72 \, \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
圆柱体积、圆锥体积、等积变形
【点评】
本题结合排开液体体积的特点，考查圆柱和圆锥体积公式的应用，关键是理解“水面上升高度相等”对应零件体积相等，再正确计算空心圆柱的体积，进而建立等式求解，难度适中。
【难度系数】
0.5
