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1. (2025·陕西中考) 如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$BC$上,$∠ ADB=2∠ C$.若$AB=5$,$BC=6$,则$△ ABD$的周长为 （
A.8
B.10
C.11
D.12
C
）A.8
B.10
C.11
D.12
答案
1. C 解析: $\because ∠ ADB=2∠ C=∠ C+∠ CAD,\therefore ∠ C=∠ CAD,\therefore AD=CD,\therefore C_{△ ABD}=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC.\because AB=5,BC=6,\therefore C_{△ ABD}=AB+BC=5+6=11$.故选 C.
2. $△ ABC$ 的三边分别是 $a,b,c$,不能判定是等腰三角形的是（
A.$∠ A:∠ B:∠ C=2:2:3$
B.$a:b:c=2:2:3$
C.$∠ B=50°,∠ C=80°$
D.$2∠ A=∠ B+∠ C$
D
）A.$∠ A:∠ B:∠ C=2:2:3$
B.$a:b:c=2:2:3$
C.$∠ B=50°,∠ C=80°$
D.$2∠ A=∠ B+∠ C$
答案
2. D 解析: A. $\because ∠ A:∠ B:∠ C=2:2:3,\therefore ∠ A=∠ B$,$\therefore △ ABC$ 是等腰三角形,故 A 不符合题意; B. $\because a:b:c=2:2:3,\therefore a=b,\therefore △ ABC$ 是等腰三角形,故 B 不符合题意; C. $\because ∠ B=50°,∠ C=80°,∠ A+∠ B+∠ C=180°,\therefore ∠ A=180°-∠ B-∠ C=50°,\therefore ∠ A=∠ B,\therefore △ ABC$ 是等腰三角形,故 C 不符合题意; D. $\because ∠ A+∠ B+∠ C=180°,2∠ A=∠ B+∠ C,\therefore 3∠ A=180°,\therefore ∠ A=60°$,不能证明 $△ ABC$ 是等腰三角形,故 D 符合题意.故选 D.
3. 教材P45 练习T2 变式 将一张长方形纸片按如图所示折叠,若$AB=6\ \mathrm{cm}$,点$B$到$AC$距离为$4\ \mathrm{cm}$,则$S_{△ ABC}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.
答案
3. 12 解析: 如图所示, $\because AC// BD,\therefore ∠ ACB=∠ DBC$,由折叠可得 $∠ ABC=∠ DBC,\therefore ∠ ACB=∠ ABC,\therefore AC=AB=6\ \mathrm{cm}.$又 $\because$ 点 B 到 AC 距离为 $4\ \mathrm{cm},\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×6×4=12(\mathrm{cm}^2).$
4. 在 $△ ABC$ 中, 与 $∠ A$ 相邻的外角是 $110°$, 要使 $△ ABC$ 为等腰三角形, 则 $∠ B$ 的度数为
$40°$或 $55°$或 $70°$
.答案
4. $40°$或 $55°$或 $70°$ 解析: $\because$ 与 $∠ A$ 相邻的外角是 $110°$,$\therefore ∠ A=70°$,分两种情况:当 $∠ A$ 为底角时,$∠ B=∠ A=70°$或 $∠ B=40°$;当 $∠ A$ 为顶角时,则 $∠ B=55°.$
5. (2026·济宁期中)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东$70°$方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东$40°$方向的N处,则N处与灯塔P的距离为
80
海里.答案
5. 80 解析: 由题意知,$MN=2×40=80$(海里),$\because ∠ M=70°$,$∠ N=40°,\therefore ∠ NPM=180°-∠ M-∠ N=180°-70°-40°=70°,\therefore ∠ NPM=∠ M,\therefore NP=MN=80$ 海里.
6. (2024·常州中考)如图,B,E,C,F是直线l上的四点, A C, D E 相交于点 $G, A B=D F, A C=$ $D E, B C=E F$.
(1)求证: $△ G E C$ 是等腰三角形;
(2) 连接 A D, 则 A D 与 l 的位置关系是
(1)求证: $△ G E C$ 是等腰三角形;
(2) 连接 A D, 则 A D 与 l 的位置关系是
平行
.答案
6. (1) 在 $△ ABC$ 和 $△ DFE$ 中,$\begin{cases} AB=DF,\\ AC=DE,\\ BC=FE, \end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ DFE$,$\therefore ∠ ACB=∠ DEF,\therefore EG=CG,\therefore △ GEC$是等腰三角形.
(2) 平行 解析: $\because AC=DE,EG=CG,\therefore AC-CG=DE-EG,\therefore AG=DG,\therefore ∠ GAD=∠ GDA=\dfrac{1}{2}(180°-∠ AGD).$$\because ∠ AGD=∠ EGC,∠ ACE=∠ DEF=\dfrac{1}{2}(180°-∠ CGE),$$\therefore ∠ CAD=∠ ACB,\therefore AD// l.$
(2) 平行 解析: $\because AC=DE,EG=CG,\therefore AC-CG=DE-EG,\therefore AG=DG,\therefore ∠ GAD=∠ GDA=\dfrac{1}{2}(180°-∠ AGD).$$\because ∠ AGD=∠ EGC,∠ ACE=∠ DEF=\dfrac{1}{2}(180°-∠ CGE),$$\therefore ∠ CAD=∠ ACB,\therefore AD// l.$
7. (2025·天津期中) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $DE //$ $BC,∠ ABC$ 和 $∠ ACB$ 的平分线分别交 $ED$ 于点$G,F$, 若 $FG=4,ED=9$, 则 $BE+DC$ 的值为（
A.13
B.14
C.15
D.16
A
）A.13
B.14
C.15
D.16
答案
7. A 解析: $\because BG$ 平分 $∠ ABC,\therefore ∠ ABG=∠ GBC.\because DE// BC$,$\therefore ∠ EGB=∠ GBC,\therefore ∠ EGB=∠ ABG,\therefore BE=EG$.同理可得$DF=DC,\therefore BE+DC=EG+DF=EF+FG+GD+FG=ED+FG=9+4=13$.故选 A.
8. 如图,在$△ ABC$中,点$P$为直线$AC$上的一个动点,若使得$△ ABP$是等腰三角形,则符合条件的点$P$有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8. D 解析: 如图,作 AB 的垂直平分线与 AC 的交点 $P_2$,可得$P_2A=P_2B$,以 A 为圆心,AB 为半径画圆,交直线 AC 于 $P_1$,$P_3$,$P_1A=AB=P_3A$,以 B 为圆心,AB 为半径画圆,交直线 AC于 $A,P_4,P_4B=AB$.故选 D.
9.（2024·广州中考改编）如
图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=AC=6$,$D$为$BC$的中点,点$E,F$分别在边$AB,AC$上,$AE=CF$,则四边形$AEDF$的面积为
图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=AC=6$,$D$为$BC$的中点,点$E,F$分别在边$AB,AC$上,$AE=CF$,则四边形$AEDF$的面积为
9
.答案
9. 9 解析: 连接 AD,如图.$\because ∠ BAC=90°,AB=AC=6$,D 是 BC中点,$AE=CF,\therefore ∠ BAD=∠ B=∠ C=45°,AD=BD=DC$,$\therefore △ ADE≌△ CDF,\therefore S_{\mathrm{四边形}AEDF}=S_{△ AED}+S_{△ ADF}=S_{△ CFD}+S_{△ ADF}=S_{△ ADC}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}.$ 又 $\because S_{△ ABC}=6×6×\dfrac{1}{2}=18$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}AEDF}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}=9.$
