10. (2025·怀化期末) 如图,在$△ ABC$中,$AB=$$AC=2$,$∠ B=40°$,点$D$在线段$BC$上运动($D$不与$B$,$C$重合),连接$AD$,作$∠ ADE=$$40°$,$DE$与$AC$交于点$E$.
(1) 当$∠ BDA=115°$时,$∠ BAD=$$°$,$∠ DEC=$$°$;当点$D$从点$B$向点$C$运动时,$∠ BDA$逐渐变(填"大"或"小").
(2) 当$DC=AB=2$时,$△ ABD$与$△ DCE$是否全等?请说明理由.
(3) 在点$D$的运动过程中,$△ ADE$的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出$∠ BDA$的度数;若不可以,请说明理由.

10. (1) 25 115 小 解析: $\because ∠ B=40°,∠ ADB=115°$,$\therefore ∠ BAD=180°-40°-115°=25°.\because ∠ ADE=40°,∠ ADB=115°,\therefore ∠ EDC=180°-∠ ADB-∠ ADE=180°-115°-40°=25°.\because AB=AC,\therefore ∠ C=∠ B=40°,\therefore ∠ DEC=180°-40°-25°=115°.$当点 D 从点 B 向点 C 运动时,$∠ BDA$ 逐渐变小.
(2) 当 $DC=AB=2$ 时,$△ ABD≌△ DCE$.理由如下: $\because ∠ C=40°,\therefore ∠ DEC+∠ EDC=140°.$又 $\because ∠ ADE=40°,\therefore ∠ ADB+∠ EDC=140°,\therefore ∠ ADB=∠ DEC.$ 在 $△ ABD$ 和 $△ DCE$ 中,$\begin{cases} ∠ ADB=∠ DEC,\\ ∠ B=∠ C,\\ AB=DC, \end{cases}$$\therefore △ ABD≌△ DCE(\mathrm{AAS}).$
(3) 可以,$∠ BDA$ 的度数为 $110°$或 $80°$. 解析: 设 $∠ BDA=x$,则 $∠ ADC=180°-x.\because ∠ C=40°,\therefore ∠ DAC=180°-∠ ADC-∠ C=x-40°,\therefore ∠ AED=180°-∠ DAC-∠ ADE=180°-x.\because △ ADE$ 是等腰三角形,$\therefore$ 当 $AD=AE$ 时,$180°-x=40°$,解得 $x=140°$,此时 $∠ BDA+∠ ADE=180°$,不符合题意;当 $EA=ED$ 时,$x-40°=40°$,解得 $x=80°$;当 $DA=DE$时,$x-40°=180°-x$,解得 $x=110°$.综上所述,当 $∠ BDA$ 的度数为 $110°$或 $80°$时,$△ ADE$ 是等腰三角形.

11. 如图,已知一块四边形草地 ABCD,其中 $∠ A = 45°,∠ B = ∠ D = 90°,AB = 10\ \mathrm{m},CD = 5\ \mathrm{m}$,则这块土地的面积为.

11. $37.5\ \mathrm{m}^2$ 解析: 如图,分别延长 AD,BC 交于 E 点,$\because ∠ A=45°,∠ B=∠ D=90°,\therefore ∠ DCE=∠ E=∠ A=45°,\therefore AB=BE,CD=DE.\because AB=10\ \mathrm{m},CD=5\ \mathrm{m},\therefore BE=10\ \mathrm{m},DE=5\ \mathrm{m}.\because S_{△ ABE}=\dfrac{1}{2}AB· BE=\dfrac{1}{2}×10×10=50(\mathrm{m}^2),S_{△ CDE}=\dfrac{1}{2}CD· DE=\dfrac{1}{2}×5×5=12.5(\mathrm{m}^2),\therefore$ 这块土地的面积为 $S_{△ ABE}-S_{△ CDE}=50-12.5=37.5(\mathrm{m}^2).$

12. 新题型 新定义 (2025·无锡校级月考)如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的特异线,称这个三角形为特异三角形.如图①,在$△ ABC$中,$∠ B=2∠ C$,线段$AC$的垂直平分线交$AC$于点$D$,交$BC$于点$E$.
(1)求证:$AE$是$△ ABC$的一条特异线;
(2)如图②,若$△ ABC$是特异三角形,且$∠ A=30°$,$∠ B$为钝角,求出所有可能的$∠ B$的度数;
(3)若某等腰三角形是特异三角形,求此等腰三角形的顶角度数(直接写出答案即可).

12. (1) 如图①,$\because DE$ 是线段 AC 的垂直平分线,$\therefore EA=EC$,即$△ EAC$ 是等腰三角形,$\therefore ∠ EAC=∠ C,\therefore ∠ AEB=∠ EAC+∠ C=2∠ C.\because ∠ B=2∠ C,\therefore ∠ AEB=∠ B$,即 $△ EAB$ 是等腰三角形,$\therefore AE$ 是 $△ ABC$ 的一条特异线.

(2) 如图②,当 BD 是特异线时,如果 $AB=BD=DC$,那么$∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=120°+15°=135°$;如果 $AD=AB$,$DB=DC$,那么 $∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=75°+37.5°=112.5°$;如果 $AD=DB,DC=CB$,那么 $∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=30°+60°=90°$(不合题意,舍去).
如图③,当 AD 是特异线时,$AB=BD,AD=DC$,则 $∠ ABC=180°-20°-20°=140°$,当 CD 为特异线时,不合题意,$\therefore$ 符合条件的 $∠ ABC$ 的度数为 $135°$或 $112.5°$或 $140°.$

(3) 等腰三角形的顶角度数为 $90°$或 $108°$或 $36°$或$(\dfrac{180}{7})°.$ 解析: 如图④,在 $△ ABC$ 中,$AB=AC$,则 $∠ B=∠ C$,当 AD 是特异线,如果 $AD=BD=CD,\therefore ∠ B=∠ BAD=∠ CAD=∠ C=45°,\therefore ∠ BAC=90°.$ 如果 $AD=BD,AC=CD,\therefore ∠ BAD=∠ B,∠ ADC=∠ DAC=2∠ B,\therefore ∠ BAC=3∠ B.\because ∠ B+∠ C+∠ BAC=180°,\therefore ∠ B=36°,\therefore ∠ BAC=108°.$ 当 BD 是特异线,如图⑤,当 $AD=BD,BD=BC$,$\therefore ∠ BAD=∠ ABD,∠ C=∠ BDC=2∠ A.\because ∠ A+∠ ABC+∠ ACB=180°,\therefore ∠ A=36°.$ 当 $AD=BD,CD=BC$,同理可求得 $∠ A=(\dfrac{180}{7})°.$ 综上所述,等腰三角形的顶角度数为 $90°$或 $108°$或 $36°$或$(\dfrac{180}{7})°.$