9. (1)(西宁中考)在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=$$100°$,点$D$在$BC$边上,连接$AD$,若$△ ABD$为直角三角形,则$∠ ADB$的度数是.
(2)一个等腰三角形一腰上的高线与另一腰所成锐角为$46°$,则这个等腰三角形的底角度数为.

9. (1) $50°$ 或 $90°$ 解析: $\because A B=A C, ∠ B A C=100°, \therefore ∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ B A C}{2}=40° . \because △ A B D$ 为直角三角形, $\therefore$ 分类讨论: (1) 当 $∠ B A D=90°$ 时, 如图 (1), $\therefore ∠ A D B=180°-∠ B A D-∠ B=50°$; (2) $∠ A D B=90°$, 如图 (2). 综上可知, $∠ A D B$ 的度数是 $50°$ 或 $90°$.
(2) $68°$ 或 $22°$ 解析: 如图 (1), 当该等腰三角形为锐角三角形时, 由题意可知 $∠ A B D=46°, ∠ B D C=90°, \therefore ∠ A=∠ B D C-∠ A B D=44°, \therefore ∠ A B C=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=68°$;如图 (2), 当该等腰三角形为钝角三角形时, 由题意可知 $∠ A B D=46°, ∠ D=90°, \therefore ∠ B A C=∠ D+∠ A B D=136°$, $\therefore ∠ A B C=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ B A C)=22°$. 综上可知, 这个等腰三角形的底角度数为 $68°$ 或 $22°$.
易错提醒 高在锐角三角形与钝角三角形中的位置不同会引发多解问题.

10. (2024·内江中考) 如图,在
$△ ABC$ 中, $∠ DCE=40°$,
$AE=AC,BC=BD$, 则 $∠ ACB$
的度数为.

10. $100°$ 解析: $\because ∠ D C E=40°, \therefore ∠ C D E+∠ C E D=180°-∠ D C E=140° . \because A E=A C, B C=B D, \therefore ∠ A C E=∠ A E C$, $∠ B C D=∠ B D C, \therefore ∠ A C E+∠ B C D=∠ C E D+∠ C D E=140°, \therefore ∠ A C B=∠ A C E+∠ B C E=∠ A C E+∠ B C D-∠ D C E=140°-40°=100°$.
一题多解 $\because A C=A E, B C=B D, \therefore$ 设 $∠ A E C=∠ A C E=x°$, $∠ B D C=∠ B C D=y°, \therefore ∠ A=180°-2 x°, ∠ B=180°-2 y°$. $\because ∠ A C B+∠ A+∠ B=180°, ∠ B D C+∠ A E C+∠ D C E=180°$, $\therefore ∠ A C B+(180°-2 x°)+(180°-2 y°)=180°, 180°-(x°+y°)=∠ D C E, \therefore ∠ A C B+360°-2(x°+y°)=180°, \therefore ∠ A C B+2 ∠ D C E=180° . \because ∠ D C E=40°, \therefore ∠ A C B=100°$.

11. (绍兴中考) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ A=40°$, 点$D,E$ 分别在边 $AB,AC$ 上, $BD=BC=CE$, 连接$CD,BE$.
(1) 若 $∠ ABC=80°$, 求 $∠ BDC$, $∠ ABE$ 的度数；
(2) 写出 $∠ BEC$ 与 $∠ BDC$ 之间的关系, 并说明理由.

11. (1) $\because ∠ A B C=80°, B D=B C, \therefore ∠ B D C=∠ B C D=50°$. 在 $△ A B C$ 中, $∠ A+∠ A B C+∠ A C B=180° . \because ∠ A=40°$, $\therefore ∠ A C B=60° . \because C E=B C, \therefore ∠ E B C=60°, \therefore ∠ A B E=∠ A B C-∠ E B C=20°$.
(2) $∠ B E C$ 与 $∠ B D C$ 的关系为 $∠ B E C+∠ B D C=110°$. 理由如下: 设 $∠ B E C=α, ∠ B D C=β$. 在 $△ A B E$ 中, $α=∠ A+∠ A B E=40°+∠ A B E . \because C E=B C, \therefore ∠ C B E=∠ B E C=α$, $\therefore ∠ A B C=∠ A B E+∠ C B E=∠ A+2 ∠ A B E=40°+2 ∠ A B E$. $\because$ 在 $△ B D C$ 中, $B D=B C, \therefore ∠ B D C+∠ B C D+∠ D B C=2 β+40°+2 ∠ A B E=180°, \therefore β=70°-∠ A B E, \therefore α+β=40°+∠ A B E+70°-∠ A B E=110°, \therefore ∠ B E C+∠ B D C=110°$.

12. 如图,在钢架中焊上等长的13根钢条来加固钢架,若 $AP_1=P_1P_2=P_2P_3=\dots=P_{13}P_{14}=P_{14}A$,则 $∠ A$ 的度数是.

12. $12°$ 解析: $\because A P_{1}=P_{1} P_{2}=P_{2} P_{3}=···=P_{13} P_{14}=P_{14} A, \therefore$ 设 $∠ A=∠ A P_{2} P_{1}=∠ A P_{13} P_{14}=x$, 则 $∠ P_{1} P_{3} P_{2}=∠ P_{2} P_{1} P_{3}=∠ P_{13} P_{14} P_{12}=∠ P_{13} P_{12} P_{14}=2 x, \therefore ∠ P_{3} P_{2} P_{4}=∠ P_{12} P_{13} P_{11}=3 x, ···, ∠ P_{7} P_{6} P_{8}=∠ P_{8} P_{9} P_{7}=7 x, \therefore ∠ A P_{7} P_{8}=7 x$, $∠ A P_{8} P_{7}=7 x$. 在 $△ A P_{7} P_{8}$ 中, $∠ A+∠ A P_{7} P_{8}+∠ A P_{8} P_{7}=180°$, 即 $x+7 x+7 x=180°$, 解得 $x=12°$, 即 $∠ A=12°$.

13. 综合与实践,问题情境:活动课上,同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动,如图①,已知$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ B=$$30^{\circ }$.将$△ ABC$从图①的位置开始绕点$A$逆时针旋转,得到$△ ADE$(点$D,E$分别是点$B,C$的对应点),旋转角为$α (0^{\circ }＜α ＜100^{\circ })$,设线段$AD$与$BC$交于点$M$,线段$DE$分别交$BC$,$AC$于点$O,N$.
特例分析:(1) 如图②,当旋转到$AD ⊥ BC$时,旋转角$α$的度数为$°$.
探究规律:(2) 如图③,在$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转过程中,"求真"小组的同学发现线段$AM$始终等于线段$AN$,请你证明这一结论.
拓展延伸:(3) ①当$△ DOM$是等腰三角形时,旋转角$α$的度数为.
②在图③中,作直线$BD$,$CE$交于点$P$,当$△ PDE$是直角三角形时,旋转角$α$的度数为.

13. (1) 60 解析: $\because A B=A C, A D ⊥ B C, \therefore ∠ C=∠ B=30°$, $∠ B A D=\frac{1}{2} ∠ B A C, \therefore ∠ B A D=\frac{180°-∠ B-∠ C}{2}=60°$,
$\therefore α=60°$.
(2) $\because ∠ B A C=∠ D A E, \therefore ∠ B A C-∠ M A N=∠ D A E-∠ M A N$,即 $∠ B A M=∠ E A N$. 在 $△ B A M$ 和 $△ E A N$ 中, $\begin{cases}∠ B A M=∠ E A N, \\ A B=A E, \\ ∠ B=∠ E,\end{cases}$
$\therefore △ B A M ≌ △ E A N(\mathrm{ASA}), \therefore A M=A N$.
(3) (1) $30°$ 或 $75°$ 解析: 如图 (1), 当 $D M=O M$ 时, $∠ M O D=∠ D=30° . \because ∠ B=∠ D, ∠ A M B=∠ D M O, \therefore ∠ B A D=∠ M O D=30°, \therefore α=30°$.
如图 (2), 当 $D M=D O$ 时, $∠ D M O=∠ D O M=\frac{180°-∠ D}{2}=75°, \therefore α=75°$. 当 $O M=O D$ 时, 此种情形不成立. 综上所述, $α=30°$ 或 $75°$.
(2) $60°$ 解析: 如图 (3), 当 $∠ E D P=90°$ 时, $\because ∠ A B C=A D E=30°, \therefore ∠ A D B=90°-30°=60° . \because A B=A D, \therefore ∠ B A D=180°-60°-60°=60° . \because 0°＜α＜100°, \therefore$ 旋转角 $α$ 为 $60°$.