15. 函数$y = \sqrt{kx + b}$的图象经过（1，5）、（-1，1），点（$m$，4）在该函数的图象上，下列说法中正确的结论有________.（填序号）
①该函数自变量的取值范围$x ≥ -\dfrac{13}{12}$；
②$m = \dfrac{1}{4}$；
③此函数无最小值；
④（$x_1$，$y_1$），（$x_2$，$y_2$）两点在此函数的图象上，若$x_1 ＞ x_2$，则$y_1 ＞ y_2$.

解：$y=\sqrt{kx + b}$的图象经过（1，5）、（-1，1），
∴$\begin{cases}5=\sqrt{k + b} \\ 1=\sqrt{-k + b}\end{cases}$，即$\begin{cases}k + b = 25 \\ -k + b = 1\end{cases}$，
解得：$\begin{cases}k = 12 \\ b = 13\end{cases}$，
∴$y=\sqrt{12x + 13}$，
∴12x+13≥0，解得：$x≥-\frac{13}{12}$，故①正确代入（m，4）得$4=\sqrt{12m + 13}$，
解得：$m=\frac{1}{4}$，故②正确，
∵$y=\sqrt{12x + 13}≥0$
∴当$x=-\frac{13}{12}$时取得最小值，故③不正确，
$y=\sqrt{12x + 13}$中，k=12＞0，
∴y随着x的增大而增大，
∴当$x_1＞x_2$时，$y_1＞y_2$，
故④正确答案为：①②④.

【分析】
要解决本题，首先利用待定系数法，将函数经过的两个点代入表达式求出k、b，得到函数解析式；再根据根号函数的性质，逐一判断四个结论：①通过根号下表达式非负求自变量范围；②代入点(m,4)求m；③根据函数是否有最小值判断；④根据一次项系数判断函数单调性。
【解析】
已知函数$y = \sqrt{kx + b}$过$(1,5)$、$(-1,1)$，代入得：
$\begin{cases}5 = \sqrt{k + b} \\1 = \sqrt{-k + b}\end{cases}$
两边平方转化为方程组：
$\begin{cases}k + b = 25 \\-k + b = 1\end{cases}$
解得$k=12$，$b=13$，故函数解析式为$y = \sqrt{12x + 13}$。
判断①：根号下非负，即$12x +13 ≥0$，解得$x ≥ -\frac{13}{12}$，①正确；
判断②：将$(m,4)$代入解析式，得$4 = \sqrt{12m +13}$，平方后$16=12m+13$，解得$m=\frac{1}{4}$，②正确；
判断③：$y = \sqrt{12x +13} ≥0$，当$x=-\frac{13}{12}$时，$y=0$，函数有最小值，③错误；
判断④：函数中根号内一次项系数$12＞0$，故函数单调递增，$x_1＞x_2$时$y_1＞y_2$，④正确。
综上，正确结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
函数解析式求解、函数定义域、函数单调性
【点评】
本题综合考查待定系数法、根号函数的基本性质，属于基础题，需掌握函数的核心性质即可逐步推导。
【难度系数】
0.7

16. 如图，在矩形ABCD中，连接AC、BD交于点O，已知∠BAC=60°，AD=6，若将△BOC绕点B旋转α度，得到△BO'C，当α=45时，延长CO'交直线BC于点H，则O＇H的长度为.

解：在矩形ABCD中，连接AC、BD交于点O，已知∠BAC=60° ，AD=6，
∴∠ABC=∠BAD=90° ，AO=BO，则△AOB是等边三角形，
∴$AB=OB=\frac{1}{2}BD$，∠OBC=90° - 60° =30° ，
∴$AD=\sqrt{BD^2 - AB^2}=\sqrt{3}AB$，
∵AD=6，
∴$AB=OB=2\sqrt{3}$，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30° ，
∴∠BOC=120° ，
如图，当顺时针旋转45° 时，

∴∠OBO'=45° ，
∴∠HBO'=15° ，
在OB上取一点F，使得BF=FH，
∴∠FHB=∠FBH=15° ，
∴∠HFO'=30° ，
又
∵∠FOH=180° - BOC=60° ，
∴∠FHO'=90° ，
∴$HO'=\frac{1}{2}FO$，$HF=\sqrt{3}HO'$，
∴$BO'=BF+FO=\sqrt{3}HO'+2HO'=2\sqrt{3}$，
解得：$HO'=4\sqrt{3}-6$；
如图，当逆时针旋转45° 时，在HO上取点E，使得HE=EB，

同理可得∠BO'E=60° ，∠OEB'=30° ，∠EBO'=90° ，
∴$HE=EB=\sqrt{3}BO'$，$EO'=2BO'$，
∴$HO'=EH+EO'=\sqrt{3}BO'+2BO'=（\sqrt{3}+2）BO'=2\sqrt{3}（\sqrt{3}+2）=6+4\sqrt{3}$，
故答案为：$4\sqrt{3}-6$或$4\sqrt{3}+6$.

【分析】
要解决本题，需先利用矩形的性质求出相关边长和角度，再结合旋转的性质，分顺时针、逆时针两种旋转方向，通过构造辅助线，利用等腰三角形、直角三角形的性质及解直角三角形的方法，计算O'H的长度。
步骤如下：
1. 根据矩形对角线互相平分且相等，结合∠BAC=60°，判定△AOB为等边三角形，求出AB、OB的长度；
2. 确定△BOC的角度，再分析旋转45°后的角度关系；
3. 分两种旋转方向，构造辅助线，利用边长和角度的关系，计算O'H的长度。
【解析】
在矩形ABCD中，AC、BD交于O，故OA=OB=OC=OD，∠ABC=90°。
∵∠BAC=60°，
∴△AOB是等边三角形，得AB=OB，∠ABO=60°，则∠OBC=90°-60°=30°。
在Rt△ABC中，AD=BC=6，∠BAC=60°，
∴BC=√3 AB，即6=√3 AB，解得AB=2√3，故OB=AB=2√3，OB=OC=2√3。
分两种情况：
1. 顺时针旋转45°：
旋转后∠OBO'=45°，则∠HBO'=45°-30°=15°。在OB上取点F，使BF=FH，得∠FHB=∠FBH=15°，故∠HFO'=30°。
△BOC中∠BOC=180°-30°-30°=120°，则∠FOH=180°-120°=60°，故△FHO'中∠FHO'=90°，得HO'= (1/2)FO，HF=√3 HO'。
又BF=FH=√3 HO'，BO'=BO=2√3，且BO'=BF+FO=√3 HO' + 2 HO'，即HO'(2+√3)=2√3，解得HO'=2√3/(2+√3)=4√3 -6。
2. 逆时针旋转45°：
在HO上取点E，使HE=EB，同理可得∠EBO'=90°，HE=EB=√3 BO'，EO'=2 BO'。
HO'=HE+EO'=√3 BO' + 2 BO'=(2+√3)BO'，代入BO'=2√3，得HO'=(2+√3)×2√3=4√3 +6。
【答案】
$4\sqrt{3}-6$或$4\sqrt{3}+6$
【知识点】
矩形性质、旋转性质、解直角三角形
【点评】
本题综合考查矩形、旋转、等边三角形及解直角三角形的知识，需分情况讨论，关键是利用角度关系构造辅助线，建立边长联系，对几何分析能力要求较高。
【难度系数】
0.3

三、解答题（共8大题，共72分）下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形
17.（8分）计算：
（1）$\sqrt{80} - \sqrt{45} + 2\sqrt{5}$；
（2）$(2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3})$.

解：（1）$\sqrt{80} - \sqrt{45} + 2\sqrt{5}$
$=4\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}$
$=3\sqrt{5}$；
（2）$(2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3})$
$=(2\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{3})^2$
$=8 - 27$
$=-19$.

【分析】
本题考查二次根式的运算，第（1）小题为二次根式的加减运算，需先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；第（2）小题为二次根式的乘法运算，式子符合平方差公式的结构特征，利用平方差公式计算可简化过程，提高准确率。
【解析】
（1）$\sqrt{80} - \sqrt{45} + 2\sqrt{5}$
$=4\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}$
$=3\sqrt{5}$；
（2）$(2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3})$
$=(2\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{3})^2$
$=8 - 27$
$=-19$
【答案】
（1）$3\sqrt{5}$；（2）$-19$
【知识点】
二次根式的加减运算、平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查最简二次根式的化简、同类二次根式的合并以及平方差公式的应用，解题时需注意运算顺序和公式的正确使用，属于学生应熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.7

18.（8分）如图，在四边形ABED中，$AD// BE$，点C在边BE上，________.请从①$∠ B=∠ DCE$，②$BC=AD$这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）在（1）的条件下，若$DE⊥ BE$，$DE=8$，$AB=10$，求线段CE的长.

解：（1）选择①$∠B=∠DCE$，
∵$∠B=∠DCE$，
∴AB//CD，
∵AD//BE，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD为平行四边形.
选择②BC=AD，
∵AD//BE，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD为平行四边形.
故答案为：①或②；
（2）由（1）知四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=10，
在Rt△DCE中，CD=10，DE=8，
∴$CE=\sqrt{CD^2 - DE^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=6$.

【分析】
本题需先从两组条件中任选一组，再利用平行四边形的判定定理证明四边形ABCD为平行四边形，最后结合直角三角形的勾股定理计算CE的长度。若选条件①，通过同位角相等推出AB//CD，结合已知AD//BE，依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”完成证明；若选条件②，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”直接判定。证明平行四边形后，由其对边相等得CD=AB，再在Rt△DCE中用勾股定理求CE。
【解析】
解：选择条件①：
（1）证明：
∵ ∠B=∠DCE，
∴ AB//CD（同位角相等，两直线平行），
又
∵ AD//BE（已知），即AD//BC，
∴ 四边形ABCD为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
（2）解：
由（1）知四边形ABCD为平行四边形，
∴ CD=AB=10（平行四边形的对边相等），
∵ DE⊥BE，
∴ ∠DEC=90°，△DCE是直角三角形，
在Rt△DCE中，CD=10，DE=8，
根据勾股定理：CE=√(CD² - DE²)=√(10² - 8²)=√36=6。
【答案】
①；（1）证明见解析；（2）6
【知识点】
平行四边形判定、勾股定理
【点评】
本题考查平行四边形的判定与勾股定理的应用，题型基础，解题步骤清晰，适合学生巩固几何基础知识。
【难度系数】
0.7

19.（8分）已知直线$y_{1}=-2x+1$和$y_{2}=ax+4$的图象交于点$P（-1，3）$.
（1）求出$a$的值；
（2）若直线$y_{1}$、$y_{2}$与$x$轴分别交于点$A$、$B$，求$△ ABP$的面积.

解：（1）
∵直线$y_1=-2x+1$和$y_2=ax+4$的图象交于点P（-1，3），
∴-a+4=3，
∴a=1；
（2）当y=0时，则y=-2x+1=0，解得$x=\frac{1}{2}$，
当y=0时，则y=x+4=0，解得x=-4，
∴A$(\frac{1}{2}, 0)$，B（-4，0），
∴$AB=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}$，
∴△ABP的面积$S=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$.

【分析】
要解决这道题，第一问利用交点坐标在直线上，代入解析式求参数a；第二问先求两条直线与x轴的交点A、B，得到AB的长度，再结合交点P的纵坐标作为三角形的高，用三角形面积公式计算面积。
【解析】
（1）
∵点P(-1,3)是直线$y_1=-2x+1$和$y_2=ax+4$的交点，
∴点P在$y_2=ax+4$上，将$x=-1$，$y=3$代入$y_2=ax+4$得：
$3=-a+4$，
解得$a=1$。
（2）求直线与x轴交点：
对于$y_1=-2x+1$，当$y=0$时，$0=-2x+1$，解得$x=\frac{1}{2}$，即$A(\frac{1}{2},0)$；
对于$y_2=x+4$（由（1）得a=1），当$y=0$时，$0=x+4$，解得$x=-4$，即$B(-4,0)$；
则$AB$的长度为$\frac{1}{2}-(-4)=\frac{9}{2}$，
△ABP的高为点P的纵坐标3，
∴$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×高=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$。
【答案】
解：（1）
∵直线$y_1=-2x+1$和$y_2=ax+4$的图象交于点$P（-1，3）$，
∴$-a+4=3$，
∴$a=1$；
（2）当$y=0$时，则$y=-2x+1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，
当$y=0$时，则$y=x+4=0$，解得$x=-4$，
∴$A(\frac{1}{2}, 0)$，$B（-4，0）$，
∴$AB=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}$，
∴$△ABP$的面积$S=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$。

【知识点】
一次函数交点、一次函数与坐标轴交点、三角形面积
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，核心是利用交点坐标求参数，以及求直线与坐标轴交点计算三角形面积，需掌握一次函数的代入求值和三角形面积公式，难度适中。
【难度系数】
0.6