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9. 如图，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计.全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽为1.5尺.七张桌面分开可组合成不同的图形.图中给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，则全套“燕几”的面积为（）平方尺.
A.13.5
B.27
C.45
D.67.5
A.13.5
B.27
C.45
D.67.5
答案
解：由所给图形可知，
小桌的长为：1.5×2=3（尺），
则中桌的长为：3+1.5=4.5（尺），长桌的长为：4.5+1.5=6（尺），
所以全套“燕几”的面积为：(4.5+1.5) × (6+1.5) =45（平方尺）.
故选：C.
解析
【分析】要计算全套“燕几”的面积，需先根据拼合图形的边长关系，结合已知的桌面宽（1.5尺），求出小桌、中桌、长桌的长，再利用拼合后图形为长方形的特点，计算其面积。关键是从拼合图形中推导各桌的边长数量关系，进而得到边长长度。
【解析】已知每张桌面的宽为1.5尺，根据拼合图形的边长关系：
1. 小桌的长：由图形可知小桌的长等于2个宽，因此小桌长 = $1.5×2 = 3$（尺）；
2. 中桌的长：中桌的长比小桌的长多1个宽，因此中桌长 = $3 + 1.5 = 4.5$（尺）；
3. 长桌的长：长桌的长比中桌的长多1个宽，因此长桌长 = $4.5 + 1.5 = 6$（尺）；
4. 全套“燕几”拼合后为长方形，其长为中桌长 + 小桌宽 = $4.5 + 1.5 = 6$（尺），宽为长桌长 + 小桌宽 = $6 + 1.5 = 7.5$（尺）；
5. 总面积 = 长×宽 = $6×7.5 = 45$（平方尺），因此选C。
【答案】C
【知识点】长方形面积计算，图形边长关系，组合图形面积
【点评】本题结合古代数学文化背景，考查图形边长关系与长方形面积计算，需要从拼合图形中提取边长信息，难度适中，体现了数学在传统文化中的应用。
【难度系数】0.5
【解析】已知每张桌面的宽为1.5尺，根据拼合图形的边长关系：
1. 小桌的长：由图形可知小桌的长等于2个宽，因此小桌长 = $1.5×2 = 3$（尺）；
2. 中桌的长：中桌的长比小桌的长多1个宽，因此中桌长 = $3 + 1.5 = 4.5$（尺）；
3. 长桌的长：长桌的长比中桌的长多1个宽，因此长桌长 = $4.5 + 1.5 = 6$（尺）；
4. 全套“燕几”拼合后为长方形，其长为中桌长 + 小桌宽 = $4.5 + 1.5 = 6$（尺），宽为长桌长 + 小桌宽 = $6 + 1.5 = 7.5$（尺）；
5. 总面积 = 长×宽 = $6×7.5 = 45$（平方尺），因此选C。
【答案】C
【知识点】长方形面积计算，图形边长关系，组合图形面积
【点评】本题结合古代数学文化背景，考查图形边长关系与长方形面积计算，需要从拼合图形中提取边长信息，难度适中，体现了数学在传统文化中的应用。
【难度系数】0.5
10. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.在正方形EFGH两边EH、FG分别取点M、N，使EM=GN，AC与MN交于点O，若EH=4EM，AC = 2MN = $4\sqrt{5}$，则AM的长为（）
A.3
B.$2\sqrt{2}$
C.$\frac{4\sqrt{5}}{3}$
D.$\frac{10}{3}$
A.3
B.$2\sqrt{2}$
C.$\frac{4\sqrt{5}}{3}$
D.$\frac{10}{3}$
答案
解：过点O作OP⊥AH于点P，连接OH，如图所示：
∵AC=2MN=4√5，
∴AC=4√5，MN=2√5，
∵EH=4EM，
∴设EM=a，则EH=2a，
∴MH=EH - EM=3a，
由全等三角形的性质得AE=CG，
∵EM=GN，
∴AE+EM=CG+GN，
∴AM=CN，
由正方形的性质得：AH//CF，
∴∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
$\begin{cases} ∠AMO = ∠CNO \\ ∠AOM = ∠CON \\ AM = CN \end{cases}$，
∴△AMO≌△CNO（AAS），
∴$OA=OC=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{5}$，$OM=ON=\frac{1}{2}MN=\sqrt{5}$，
∴点O是正方形EFGH的中心，
∴点P是EH的中点，∠PHO=45° ，
∴$EP=PH=\frac{1}{2}EH=2a$，
∴MP=MH - PH=a，
∵OP⊥AH，∠PHO=45° ，
∴△POH是等腰直角三角形，
∴OP=PH=2a，
在Rt△OPM中，由勾股定理得：$OM=\sqrt{OP^2 + MP^2}=\sqrt{(2a)^2 + a^2}=\sqrt{5}a=5$，
∴a=1，
∴OP=2a=2，
在Rt△AOP中，由勾股定理得：$AP=\sqrt{OA^2 - OP^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2}=4$，
∴AM=AP - MP=4 - 1=3.
故选：A.
解析
【分析】
本题是赵爽弦图相关的几何计算题，需结合正方形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理求解。首先根据已知的AC、MN长度，结合EH=4EM设未知数；再通过全等三角形证明AM=CN，进而确定O是AC与MN的中点；利用小正方形中心的性质构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求出未知数，最终计算AM的长度。
【解析】
解：由AC=2MN=4√5，得AC=4√5，MN=2√5。
∵EH=4EM，设EM=a，则EH=4a，
∴MH=EH - EM=4a - a=3a。
∵赵爽弦图中四个直角三角形全等，
∴AE=CG，
又
∵EM=GN，
∴AE + EM = CG + GN，即AM=CN。
∵正方形ABCD中AH//CF，
∴∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中：
$\begin{cases} ∠AMO=∠CNO \\ ∠AOM=∠CON \\ AM=CN \end{cases}$，
∴△AMO≌△CNO（AAS），
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=2√5，OM=ON=$\frac{1}{2}$MN=√5，
即O是AC、MN的中点，也是小正方形EFGH的中心。
过O作OP⊥AH于P，则P是EH中点，PH=$\frac{1}{2}$EH=2a，
∴MP=MH - PH=3a - 2a=a。
∵OP⊥AH，∠PHO=45°，
∴△POH是等腰直角三角形，OP=PH=2a。
在Rt△OPM中，由勾股定理：OM²=OP² + MP²，
即(√5)²=(2a)² + a²，
解得5a²=5，a=1。
在Rt△AOP中，AP=√(OA² - OP²)=√[(2√5)² - (2×1)²]=√(20 - 4)=4，
∴AM=AP - MP=4 - a=4 - 1=3。
【答案】
A
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】
本题以赵爽弦图为载体，综合考查几何核心知识，需熟练运用全等三角形和勾股定理，关键在于证明O为中点并利用小正方形中心性质构造直角三角形，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题是赵爽弦图相关的几何计算题，需结合正方形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理求解。首先根据已知的AC、MN长度，结合EH=4EM设未知数；再通过全等三角形证明AM=CN，进而确定O是AC与MN的中点；利用小正方形中心的性质构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求出未知数，最终计算AM的长度。
【解析】
解：由AC=2MN=4√5，得AC=4√5，MN=2√5。
∵EH=4EM，设EM=a，则EH=4a，
∴MH=EH - EM=4a - a=3a。
∵赵爽弦图中四个直角三角形全等，
∴AE=CG，
又
∵EM=GN，
∴AE + EM = CG + GN，即AM=CN。
∵正方形ABCD中AH//CF，
∴∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中：
$\begin{cases} ∠AMO=∠CNO \\ ∠AOM=∠CON \\ AM=CN \end{cases}$，
∴△AMO≌△CNO（AAS），
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=2√5，OM=ON=$\frac{1}{2}$MN=√5，
即O是AC、MN的中点，也是小正方形EFGH的中心。
过O作OP⊥AH于P，则P是EH中点，PH=$\frac{1}{2}$EH=2a，
∴MP=MH - PH=3a - 2a=a。
∵OP⊥AH，∠PHO=45°，
∴△POH是等腰直角三角形，OP=PH=2a。
在Rt△OPM中，由勾股定理：OM²=OP² + MP²，
即(√5)²=(2a)² + a²，
解得5a²=5，a=1。
在Rt△AOP中，AP=√(OA² - OP²)=√[(2√5)² - (2×1)²]=√(20 - 4)=4，
∴AM=AP - MP=4 - a=4 - 1=3。
【答案】
A
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】
本题以赵爽弦图为载体，综合考查几何核心知识，需熟练运用全等三角形和勾股定理，关键在于证明O为中点并利用小正方形中心性质构造直角三角形，难度适中。
【难度系数】
0.5
11. 计算：$\sqrt{81} =$ ______；$\sqrt{(-5)^2} =$ ______；$\sqrt{\dfrac{1}{3}} =$ ______.
答案
解：$\sqrt{81}=9$，$\sqrt{(-5)^2}=5$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：9，5，$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
故答案为：9，5，$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
本题考查算术平方根的定义和二次根式的化简，解题思路如下：
1. 计算$\sqrt{81}$：根据算术平方根的定义，若一个非负数$x$的平方等于$a$，则$x$是$a$的算术平方根，找到平方等于81的非负数即可；
2. 计算$\sqrt{(-5)^2}$：先算根号内的平方，再求该结果的算术平方根，注意算术平方根的结果为非负数；
3. 计算$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$：需对二次根式进行分母有理化，将分母中的根号去掉，分子分母同乘$\sqrt{3}$化简。
【解析】
1. 对于$\sqrt{81}$：因为$9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$；
2. 对于$\sqrt{(-5)^2}$：先计算$(-5)^2=25$，再求25的算术平方根，即$\sqrt{25}=5$；
3. 对于$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$：进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$，得$\dfrac{1×\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
9，5，$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
算术平方根、二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式的基础计算题，核心考查算术平方根的定义和分母有理化的方法，需注意算术平方根的结果为非负数，计算时要仔细，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
本题考查算术平方根的定义和二次根式的化简，解题思路如下：
1. 计算$\sqrt{81}$：根据算术平方根的定义，若一个非负数$x$的平方等于$a$，则$x$是$a$的算术平方根，找到平方等于81的非负数即可；
2. 计算$\sqrt{(-5)^2}$：先算根号内的平方，再求该结果的算术平方根，注意算术平方根的结果为非负数；
3. 计算$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$：需对二次根式进行分母有理化，将分母中的根号去掉，分子分母同乘$\sqrt{3}$化简。
【解析】
1. 对于$\sqrt{81}$：因为$9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$；
2. 对于$\sqrt{(-5)^2}$：先计算$(-5)^2=25$，再求25的算术平方根，即$\sqrt{25}=5$；
3. 对于$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$：进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$，得$\dfrac{1×\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
9，5，$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
算术平方根、二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式的基础计算题，核心考查算术平方根的定义和分母有理化的方法，需注意算术平方根的结果为非负数，计算时要仔细，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
12. 经专家调研发现，“稻鱼共生”种养方式因稻鱼双收、互惠共生而受到农户青睐，一农户在5块面积相等的稻田养殖田鱼，产量分别是（单位：kg）：14，14，16，17，19，则这5块稻田的田鱼平均产量是kg.
答案
解：这5块稻田的田鱼平均产量是$\frac{14+14+16+17+19}{5}=16$（kg），
故答案为：16.
故答案为：16.
解析
【分析】要计算5块稻田的田鱼平均产量，需依据“平均产量=总产量÷稻田块数”的公式求解，因此先计算5块稻田的产量总和，再除以稻田的数量即可得到结果。
【解析】总产量为：$14+14+16+17+19=80$（kg），稻田块数为5，所以平均产量为：$80÷5=16$（kg）。
【答案】16
【知识点】算术平均数计算
【点评】本题考查基础的算术平均数计算，属于统计类基础题型，主要考查学生对平均数公式的掌握及简单运算能力，题目难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】总产量为：$14+14+16+17+19=80$（kg），稻田块数为5，所以平均产量为：$80÷5=16$（kg）。
【答案】16
【知识点】算术平均数计算
【点评】本题考查基础的算术平均数计算，属于统计类基础题型，主要考查学生对平均数公式的掌握及简单运算能力，题目难度较低。
【难度系数】0.9
13. 请写出直线$y=-3x+4$关于$y$轴对称的直线解析式为________.
答案
解：直线y=-3x+4关于y轴对称的直线解析式为y=-3（-x）+4=3x+4
故答案为：y=3x+4.
故答案为：y=3x+4.
解析
【分析】要得到直线关于y轴对称的解析式，需利用关于y轴对称的点的坐标特征：若点$(x,y)$在原直线上，其关于y轴对称的点为$(-x,y)$，该对称点必在对称后的直线上，因此将原解析式中的$x$替换为$-x$，即可求出对称直线的解析式。
【解析】设所求直线上任意一点为$(x,y)$，则该点关于y轴对称的点为$(-x,y)$，此点在原直线$y=-3x+4$上，将$(-x,y)$代入原解析式得：$y=-3×(-x)+4$，化简后得$y=3x+4$，即为所求直线的解析式。
【答案】$y=3x+4$
【知识点】一次函数的图像与性质；关于y轴对称的直线解析式
【点评】本题考查一次函数关于坐标轴对称的解析式求解，属于基础题型，核心是掌握对称点的坐标变换规律，代入原解析式即可快速得出结果，难度较低，适合巩固一次函数的基础应用。
【难度系数】0.7
【解析】设所求直线上任意一点为$(x,y)$，则该点关于y轴对称的点为$(-x,y)$，此点在原直线$y=-3x+4$上，将$(-x,y)$代入原解析式得：$y=-3×(-x)+4$，化简后得$y=3x+4$，即为所求直线的解析式。
【答案】$y=3x+4$
【知识点】一次函数的图像与性质；关于y轴对称的直线解析式
【点评】本题考查一次函数关于坐标轴对称的解析式求解，属于基础题型，核心是掌握对称点的坐标变换规律，代入原解析式即可快速得出结果，难度较低，适合巩固一次函数的基础应用。
【难度系数】0.7
14. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB=56°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是________.
答案
解：以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E和E' ，如图所示，
在菱形ABCD中，∠DAC=∠BAC，
∵∠DAB=56° ，
∴∠DAC=28° ，
∵AC=AE，
∴∠AEC=（180° - 28° ）÷2=76° ，
∵AE' =AC，
∴∠AE' C=∠ACE' =14° ，
综上所述，∠AEC的度数是14° 或76° ，
故答案为：14° 或76° .
解析
【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质、等腰三角形的内角性质，同时注意射线AD的两个方向，进行分类讨论：首先利用菱形对角线平分内角求出∠DAC的度数，再根据圆的半径相等得到AC=AE，结合等腰三角形内角和定理计算∠AEC的度数，分两种情况（E在AD线段上、E在AD反向延长线上）求解。
【解析】
在菱形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，已知∠DAB=56°，因此：
∠DAC = 1/2 ∠DAB = 1/2 × 56° = 28°。
以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线AD于点E，射线AD包含两个方向的交点，分两种情况讨论：
1. 当点E在AD线段上时，∠CAE = ∠DAC = 28°。
因为AC=AE，所以△ACE为等腰三角形，底角∠AEC = (180° - ∠CAE) ÷ 2 = (180° - 28°) ÷ 2 = 76°。
2. 当点E'在AD的反向延长线上时，∠CAE' = 180° - ∠DAC = 180° - 28° = 152°。
因为AC=AE'，所以△ACE'为等腰三角形，底角∠AE'C = (180° - ∠CAE') ÷ 2 = (180° - 152°) ÷ 2 = 14°。
综上，∠AEC的度数为14°或76°。
【答案】
14°或76°
【知识点】
菱形的性质、等腰三角形的性质、圆的半径相等
【点评】
本题综合考查菱形与等腰三角形的角度计算，核心是利用菱形对角线平分内角和圆的半径相等的性质，关键在于对射线AD的两个交点进行分类讨论，避免漏解，是易错题，需注意思维的全面性。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合菱形的性质、等腰三角形的内角性质，同时注意射线AD的两个方向，进行分类讨论：首先利用菱形对角线平分内角求出∠DAC的度数，再根据圆的半径相等得到AC=AE，结合等腰三角形内角和定理计算∠AEC的度数，分两种情况（E在AD线段上、E在AD反向延长线上）求解。
【解析】
在菱形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，已知∠DAB=56°，因此：
∠DAC = 1/2 ∠DAB = 1/2 × 56° = 28°。
以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线AD于点E，射线AD包含两个方向的交点，分两种情况讨论：
1. 当点E在AD线段上时，∠CAE = ∠DAC = 28°。
因为AC=AE，所以△ACE为等腰三角形，底角∠AEC = (180° - ∠CAE) ÷ 2 = (180° - 28°) ÷ 2 = 76°。
2. 当点E'在AD的反向延长线上时，∠CAE' = 180° - ∠DAC = 180° - 28° = 152°。
因为AC=AE'，所以△ACE'为等腰三角形，底角∠AE'C = (180° - ∠CAE') ÷ 2 = (180° - 152°) ÷ 2 = 14°。
综上，∠AEC的度数为14°或76°。
【答案】
14°或76°
【知识点】
菱形的性质、等腰三角形的性质、圆的半径相等
【点评】
本题综合考查菱形与等腰三角形的角度计算，核心是利用菱形对角线平分内角和圆的半径相等的性质，关键在于对射线AD的两个交点进行分类讨论，避免漏解，是易错题，需注意思维的全面性。
【难度系数】
0.5
