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20.（8分）武汉是一座以“红色信仰”铸魂、“绿色生态”为脉、“蓝色科技”赋能的城市.某校为促进学生了解武汉历史文化，从七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述（成绩均大于70分，用$ x $表示，共分三组：$ A.90＜x≤100 $，$ B.80＜x≤90 $，$ C.70＜x≤80 $，下面给出部分信息：
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
| 年级 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
| ------ | ------ | ------ | ---- |
| 七年级 | 86 | 87 | $ a $ |
| 八年级 | 86 | $ b $ | 90 |
七年级10名学生的竞赛成绩：76，78，81，82，87，87，87，92，93，97.
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据有：81，82，88，89.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：$ a=\_\_\_\_\_\_ $ ，$ b=\_\_\_\_\_\_ $ ，$ m=\_\_\_\_\_\_ $ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生武汉文化知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级学生有450人，八年级学生有500人.估计该校七、八年级学生武汉文化知识为“优秀”（$ x≥90 $）的总共有多少人？
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
| 年级 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
| ------ | ------ | ------ | ---- |
| 七年级 | 86 | 87 | $ a $ |
| 八年级 | 86 | $ b $ | 90 |
七年级10名学生的竞赛成绩：76，78，81，82，87，87，87，92，93，97.
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据有：81，82，88，89.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：$ a=\_\_\_\_\_\_ $ ，$ b=\_\_\_\_\_\_ $ ，$ m=\_\_\_\_\_\_ $ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生武汉文化知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级学生有450人，八年级学生有500人.估计该校七、八年级学生武汉文化知识为“优秀”（$ x≥90 $）的总共有多少人？
答案
解：（1）由题意可知，八年级C组有：10×20%=2（人），
把被抽取八年级10名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为88，89，
故中位数$b=\frac{88+89}{2}=88.5$，
在被抽取的七年级10名学生的数学竞赛成绩中，87出现的次数最多，
故众数a=87，
$m\%=1 - 20\% - \frac{4}{10}×100\%=40\%$，
故m=40；
故答案为：87，88.5，40；
（2）八年级学生数学文化知识较好，
理由：因为八年级学生成绩的中位数和众数比七年级的高，所以八年级学生武汉文化知识较好；
（3）$450×\frac{3}{10}+500×40\%=335$（人），
答：估计该校七、八年级学生武汉文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有335人.
解析
【分析】
要解决本题，需按以下思路逐步分析：
1. 求七年级众数a：众数是一组数据中出现次数最多的数，直接统计七年级成绩中出现次数最多的数即可。
2. 求八年级中位数b：中位数是将数据从小到大排列后，偶数个数据取中间两个数的平均数，需先确定八年级各分组人数，再找到中间两个数计算。
3. 求m：m是八年级A组的百分比，用1减去C组百分比和B组百分比即可，B组百分比由B组人数除以总人数得到。
4. 比较年级掌握情况：看中位数或众数的大小，数值更高的年级整体掌握更好。
5. 估计优秀总人数：分别计算七、八年级的优秀人数（样本优秀率×年级总人数），再求和，优秀标准为x≥90。
【解析】
（1）①求a：七年级10名学生成绩为76，78，81，82，87，87，87，92，93，97，其中87出现3次，次数最多，故众数a=87。
②求b：八年级抽取10名学生，C组人数为10×20%=2人，B组有4人，因此A组人数为10-2-4=4人。将八年级成绩从小到大排列，中间的第5、6个数是B组排序后的第2、3个数，B组数据为81，82，88，89，排序后为81，82，88，89，故第5、6个数是88和89，中位数b=(88+89)÷2=88.5。
③求m：八年级B组占比为4÷10×100%=40%，C组占20%，故A组占比m%=1-20%-40%=40%，即m=40。
（2）八年级学生武汉文化知识掌握较好，理由：八年级成绩的中位数（88.5）高于七年级（87），众数（90）也高于七年级（87），说明八年级整体成绩更优。
（3）七年级抽取的10人中，优秀（x≥90）的有3人，优秀率为3/10，七年级优秀人数：450×3/10=135人；八年级优秀率为40%，优秀人数：500×40%=200人；总优秀人数：135+200=335人。
【答案】
87，88.5，40；八年级学生武汉文化知识掌握较好，理由：八年级的中位数和众数均高于七年级；335人。
【知识点】
众数、中位数、统计估计
【点评】
本题结合实际情境考查统计量的计算与应用，需熟练掌握众数、中位数的定义，以及用样本估计总体的方法，是统计部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.3
要解决本题，需按以下思路逐步分析：
1. 求七年级众数a：众数是一组数据中出现次数最多的数，直接统计七年级成绩中出现次数最多的数即可。
2. 求八年级中位数b：中位数是将数据从小到大排列后，偶数个数据取中间两个数的平均数，需先确定八年级各分组人数，再找到中间两个数计算。
3. 求m：m是八年级A组的百分比，用1减去C组百分比和B组百分比即可，B组百分比由B组人数除以总人数得到。
4. 比较年级掌握情况：看中位数或众数的大小，数值更高的年级整体掌握更好。
5. 估计优秀总人数：分别计算七、八年级的优秀人数（样本优秀率×年级总人数），再求和，优秀标准为x≥90。
【解析】
（1）①求a：七年级10名学生成绩为76，78，81，82，87，87，87，92，93，97，其中87出现3次，次数最多，故众数a=87。
②求b：八年级抽取10名学生，C组人数为10×20%=2人，B组有4人，因此A组人数为10-2-4=4人。将八年级成绩从小到大排列，中间的第5、6个数是B组排序后的第2、3个数，B组数据为81，82，88，89，排序后为81，82，88，89，故第5、6个数是88和89，中位数b=(88+89)÷2=88.5。
③求m：八年级B组占比为4÷10×100%=40%，C组占20%，故A组占比m%=1-20%-40%=40%，即m=40。
（2）八年级学生武汉文化知识掌握较好，理由：八年级成绩的中位数（88.5）高于七年级（87），众数（90）也高于七年级（87），说明八年级整体成绩更优。
（3）七年级抽取的10人中，优秀（x≥90）的有3人，优秀率为3/10，七年级优秀人数：450×3/10=135人；八年级优秀率为40%，优秀人数：500×40%=200人；总优秀人数：135+200=335人。
【答案】
87，88.5，40；八年级学生武汉文化知识掌握较好，理由：八年级的中位数和众数均高于七年级；335人。
【知识点】
众数、中位数、统计估计
【点评】
本题结合实际情境考查统计量的计算与应用，需熟练掌握众数、中位数的定义，以及用样本估计总体的方法，是统计部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.3
21.（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，A，B，C，D是格点，P是网格线上一点，每个小正方形面积记为1.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图（作图过程用虚线表
示，作图结果用实线表示），每问的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，四边形$ABCD$的周长是__________；
（2）在图（1）中，连接$BD$，在$BC$上画点$E$，使$∠ BED=∠ ABD$；
（3）在图（2）中，连接$CP$，在$PD$上画点$F$，使$PF=DF$；
（4）在图（2）中，在$AB$上画点$H$，使$AH=AP$．
示，作图结果用实线表示），每问的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，四边形$ABCD$的周长是__________；
（2）在图（1）中，连接$BD$，在$BC$上画点$E$，使$∠ BED=∠ ABD$；
（3）在图（2）中，连接$CP$，在$PD$上画点$F$，使$PF=DF$；
（4）在图（2）中，在$AB$上画点$H$，使$AH=AP$．
答案
答案略
解析
【解析】
（1）由勾股定理计算各边长：
$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$BC=3$，$CD=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$AD=4$，
四边形$ABCD$的周长为$3\sqrt{2}+3+3\sqrt{2}+4=7+6\sqrt{2}$。
（2）利用平行线的内错角相等性质：构造过点$D$且平行于$AB$的直线，该直线与$BC$的交点即为点$E$，此时$∠ BED=∠ ABD$，用虚线画出辅助线，实线标注点$E$。
（3）利用全等三角形或平行线分线段成比例构造中点：借助格点构造全等图形，找到$PD$中点$F$，使$PF=DF$，用虚线画出辅助线，实线标注点$F$。
（4）利用圆的等长半径性质：以$A$为圆心，$AP$长为半径作弧，与$AB$的交点即为点$H$，满足$AH=AP$，用虚线画出辅助线，实线标注点$H$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{7+6\sqrt{2}}$；（2）（3）（4）按上述作图方法完成对应点的绘制即可
【知识点】
勾股定理；网格无刻度直尺作图；平行线性质
【点评】
本题结合网格考查勾股定理计算与无刻度直尺作图，需要学生灵活运用几何性质构造满足条件的点，对几何推理和动手作图能力有一定要求，各小问梯度设置合理。
【难度系数】
0.4
（1）由勾股定理计算各边长：
$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$BC=3$，$CD=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$AD=4$，
四边形$ABCD$的周长为$3\sqrt{2}+3+3\sqrt{2}+4=7+6\sqrt{2}$。
（2）利用平行线的内错角相等性质：构造过点$D$且平行于$AB$的直线，该直线与$BC$的交点即为点$E$，此时$∠ BED=∠ ABD$，用虚线画出辅助线，实线标注点$E$。
（3）利用全等三角形或平行线分线段成比例构造中点：借助格点构造全等图形，找到$PD$中点$F$，使$PF=DF$，用虚线画出辅助线，实线标注点$F$。
（4）利用圆的等长半径性质：以$A$为圆心，$AP$长为半径作弧，与$AB$的交点即为点$H$，满足$AH=AP$，用虚线画出辅助线，实线标注点$H$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{7+6\sqrt{2}}$；（2）（3）（4）按上述作图方法完成对应点的绘制即可
【知识点】
勾股定理；网格无刻度直尺作图；平行线性质
【点评】
本题结合网格考查勾股定理计算与无刻度直尺作图，需要学生灵活运用几何性质构造满足条件的点，对几何推理和动手作图能力有一定要求，各小问梯度设置合理。
【难度系数】
0.4
