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示，作图结果用实线表示)，每问的画线不得超过三条.
（1）在图（1）中，四边形$ABCD$的周长是________；
（2）在图（1）中，连接$BD$，在$BC$上画点$E$，使$∠BED=∠ABD$；
（3）在图（2）中，连接$CP$，在$PD$上画点$F$，使$PF=DF$；
（4）在图（2）中，在$AB$上画点$H$，使$AH=AP$.
（1）在图（1）中，四边形$ABCD$的周长是________；
（2）在图（1）中，连接$BD$，在$BC$上画点$E$，使$∠BED=∠ABD$；
（3）在图（2）中，连接$CP$，在$PD$上画点$F$，使$PF=DF$；
（4）在图（2）中，在$AB$上画点$H$，使$AH=AP$.
答案
解：（1）如图1中，
∵AD=BC=5，$AB=CD=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$，
∴四边形ABCD的周长为20；
故答案为：20；
（2）如图点E即为所求；
（3）如图2中，点F即为所求；
（4）如图2中，点H即为所求.
解析
【分析】
本题包含四个小问题，解题思路如下：
1. 计算四边形ABCD的周长：利用网格的直角特性，通过勾股定理计算各边长度，再将四边相加得到周长。
2. 作点E使∠BED=∠ABD：在网格中，利用角度的对应关系，找到BC上满足条件的点E。
3. 作点F使PF=DF：F是线段PD的中点，在网格中数出PD的长度，找到其中点即可。
4. 作点H使AH=AP：先确定AP的长度，在AB线段上从A点向下截取长度等于AP的线段，得到点H。
【解析】
（1）在网格中，AB的水平分量为3，垂直分量为4，由勾股定理得AB=√(3²+4²)=5；同理CD=5，AD和BC的长度均为5，因此四边形ABCD的周长=5×4=20。
（2）根据网格的对称性与角度关系，在BC上确定点E，使得∠BED=∠ABD，作图结果如图所示。
（3）线段PD的中点即为所求的点F，在PD上找到中点F，满足PF=DF，作图结果如图所示。
（4）先确定AP的长度，在AB上从A点向下截取AH=AP，得到点H，作图结果如图所示。
【答案】
（1）20；
（2）对应作图；
（3）对应作图；
（4）对应作图
【知识点】
勾股定理、网格作图、线段中点
【点评】
本题结合网格考查几何计算与基本作图，核心是利用网格的特性简化计算与作图，题型常规，注重对几何基础知识和技能的考查。
【难度系数】
0.5
本题包含四个小问题，解题思路如下：
1. 计算四边形ABCD的周长：利用网格的直角特性，通过勾股定理计算各边长度，再将四边相加得到周长。
2. 作点E使∠BED=∠ABD：在网格中，利用角度的对应关系，找到BC上满足条件的点E。
3. 作点F使PF=DF：F是线段PD的中点，在网格中数出PD的长度，找到其中点即可。
4. 作点H使AH=AP：先确定AP的长度，在AB线段上从A点向下截取长度等于AP的线段，得到点H。
【解析】
（1）在网格中，AB的水平分量为3，垂直分量为4，由勾股定理得AB=√(3²+4²)=5；同理CD=5，AD和BC的长度均为5，因此四边形ABCD的周长=5×4=20。
（2）根据网格的对称性与角度关系，在BC上确定点E，使得∠BED=∠ABD，作图结果如图所示。
（3）线段PD的中点即为所求的点F，在PD上找到中点F，满足PF=DF，作图结果如图所示。
（4）先确定AP的长度，在AB上从A点向下截取AH=AP，得到点H，作图结果如图所示。
【答案】
（1）20；
（2）对应作图；
（3）对应作图；
（4）对应作图
【知识点】
勾股定理、网格作图、线段中点
【点评】
本题结合网格考查几何计算与基本作图，核心是利用网格的特性简化计算与作图，题型常规，注重对几何基础知识和技能的考查。
【难度系数】
0.5
22.（10分）某超市为了满足人们的需求，计划购进甲、乙两种水产品销售，经了解，这两种水产品的进价和售价如下表所示：
该超市购进甲种水产品15千克和乙种水产品5千克需要305元；购进甲种水产品20千克和乙种水产品10千克需要470元.
（1）$a=$ ______ ，$b=$ ______ ；
（2）该超市决定每天购进两种水产品共100千克进行销售，其中甲种水产品的数量不少于30千克，且不大于80千克.实际销售时，若甲种水产品超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售.
①求超市当天售完这两种水产品获得的利润$y$（元）与购进甲种水产品的数量$x$（千克）之间的函数关系式，并写出$x$的取值范围；
②为了使得利润$y$（元）不低于500元，不高于512元，求购进甲种水产品$x$（千克）的取值范围.
该超市购进甲种水产品15千克和乙种水产品5千克需要305元；购进甲种水产品20千克和乙种水产品10千克需要470元.
（1）$a=$ ______ ，$b=$ ______ ；
（2）该超市决定每天购进两种水产品共100千克进行销售，其中甲种水产品的数量不少于30千克，且不大于80千克.实际销售时，若甲种水产品超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售.
①求超市当天售完这两种水产品获得的利润$y$（元）与购进甲种水产品的数量$x$（千克）之间的函数关系式，并写出$x$的取值范围；
②为了使得利润$y$（元）不低于500元，不高于512元，求购进甲种水产品$x$（千克）的取值范围.
答案
解：（1）根据题意，得$\begin{cases}15a + 5b = 305 \\ 20a + 10b = 470\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = 14 \\ b = 19\end{cases}$.
故答案为：14，19.
（2）①当30≤x≤60时，y=（20 - 14）x+（23 - 19）（100 - x）=2x+400，
当60＜x≤80时，y=（20 - 14）×60+（20 - 14 - 3）（x - 60）+（23 - 19）（100 - x）=-x+580，
∴y与x之间的函数关系式为$y=\begin{cases}2x + 400(30 ≤ x ≤ 60) \\ -x + 580(60 ＜ x ≤ 80)\end{cases}$.
②当30≤x≤60时，得$\begin{cases}2x + 400 ≥ 500 \\ 2x + 400 ≤ 512\end{cases}$，
解得50≤x≤56，
当60＜x≤80时，得$\begin{cases}-x + 580 ≥ 500 \\ -x + 580 ≤ 512\end{cases}$，
解得68≤x≤80，
∴购进甲种水产品x（千克）的取值范围为50≤x≤56或68≤x≤80.
解得$\begin{cases}a = 14 \\ b = 19\end{cases}$.
故答案为：14，19.
（2）①当30≤x≤60时，y=（20 - 14）x+（23 - 19）（100 - x）=2x+400，
当60＜x≤80时，y=（20 - 14）×60+（20 - 14 - 3）（x - 60）+（23 - 19）（100 - x）=-x+580，
∴y与x之间的函数关系式为$y=\begin{cases}2x + 400(30 ≤ x ≤ 60) \\ -x + 580(60 ＜ x ≤ 80)\end{cases}$.
②当30≤x≤60时，得$\begin{cases}2x + 400 ≥ 500 \\ 2x + 400 ≤ 512\end{cases}$，
解得50≤x≤56，
当60＜x≤80时，得$\begin{cases}-x + 580 ≥ 500 \\ -x + 580 ≤ 512\end{cases}$，
解得68≤x≤80，
∴购进甲种水产品x（千克）的取值范围为50≤x≤56或68≤x≤80.
解析
【分析】
第（1）问需根据购进甲、乙两种水产品的数量和总费用，列出二元一次方程组求解a、b；第（2）问中，甲的数量x在30~80之间，因甲售价在x＞60时降价，需分30≤x≤60和60＜x≤80两种情况，结合“利润=（售价-进价）×数量”列出分段函数；第②问根据利润范围，分情况解不等式组得到x的取值范围。
【解析】
（1）根据题意列二元一次方程组：
$\begin{cases}15a + 5b = 305 \\ 20a + 10b = 470\end{cases}$
化简第一个方程得$3a + b = 61$，即$b = 61 - 3a$，代入第二个方程：
$20a + 10(61 - 3a) = 470$，解得$a = 14$，则$b = 61 - 3×14 = 19$。
（2）① 已知购进甲x千克，乙为$(100 - x)$千克，x范围30≤x≤80：
当30≤x≤60时，甲售价20元/千克，利润：
$y=(20-14)x + (23-19)(100-x)=2x+400$；
当60＜x≤80时，甲前60千克售价20元，超过部分售价$20-3=17$元，利润：
$y=(20-14)×60 + (17-14)(x-60) + (23-19)(100-x)= -x+580$；
故函数关系式为$y=\begin{cases}2x + 400(30 ≤ x ≤ 60) \\ -x + 580(60 ＜ x ≤ 80)\end{cases}$。
② 分情况解不等式组：
当30≤x≤60时，$\begin{cases}2x+400≥500 \\ 2x+400≤512\end{cases}$，解得$50≤x≤56$；
当60＜x≤80时，$\begin{cases}-x+580≥500 \\ -x+580≤512\end{cases}$，解得$68≤x≤80$；
综上，x的取值范围为50≤x≤56或68≤x≤80。
【答案】
（1）14，19；（2）①$y=\begin{cases}2x + 400(30 ≤ x ≤ 60) \\ -x + 580(60 ＜ x ≤ 80)\end{cases}$；②50≤x≤56或68≤x≤80
【知识点】
二元一次方程组应用，分段函数应用，一元一次不等式组应用
【点评】
本题为实际应用问题，需分类讨论自变量范围，关键是理清售价变化对利润的影响，考查学生的分类讨论能力与运算能力。
【难度系数】
0.6
第（1）问需根据购进甲、乙两种水产品的数量和总费用，列出二元一次方程组求解a、b；第（2）问中，甲的数量x在30~80之间，因甲售价在x＞60时降价，需分30≤x≤60和60＜x≤80两种情况，结合“利润=（售价-进价）×数量”列出分段函数；第②问根据利润范围，分情况解不等式组得到x的取值范围。
【解析】
（1）根据题意列二元一次方程组：
$\begin{cases}15a + 5b = 305 \\ 20a + 10b = 470\end{cases}$
化简第一个方程得$3a + b = 61$，即$b = 61 - 3a$，代入第二个方程：
$20a + 10(61 - 3a) = 470$，解得$a = 14$，则$b = 61 - 3×14 = 19$。
（2）① 已知购进甲x千克，乙为$(100 - x)$千克，x范围30≤x≤80：
当30≤x≤60时，甲售价20元/千克，利润：
$y=(20-14)x + (23-19)(100-x)=2x+400$；
当60＜x≤80时，甲前60千克售价20元，超过部分售价$20-3=17$元，利润：
$y=(20-14)×60 + (17-14)(x-60) + (23-19)(100-x)= -x+580$；
故函数关系式为$y=\begin{cases}2x + 400(30 ≤ x ≤ 60) \\ -x + 580(60 ＜ x ≤ 80)\end{cases}$。
② 分情况解不等式组：
当30≤x≤60时，$\begin{cases}2x+400≥500 \\ 2x+400≤512\end{cases}$，解得$50≤x≤56$；
当60＜x≤80时，$\begin{cases}-x+580≥500 \\ -x+580≤512\end{cases}$，解得$68≤x≤80$；
综上，x的取值范围为50≤x≤56或68≤x≤80。
【答案】
（1）14，19；（2）①$y=\begin{cases}2x + 400(30 ≤ x ≤ 60) \\ -x + 580(60 ＜ x ≤ 80)\end{cases}$；②50≤x≤56或68≤x≤80
【知识点】
二元一次方程组应用，分段函数应用，一元一次不等式组应用
【点评】
本题为实际应用问题，需分类讨论自变量范围，关键是理清售价变化对利润的影响，考查学生的分类讨论能力与运算能力。
【难度系数】
0.6
23.（10分）【问题提出】如图（1），在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，当点A的对应点$A'$落在矩形ABCD内部，点B的对应点为$B'$.请直接写出$△ AFA'$的形状是________；
【问题探究】如图（2），当点A的对应点$A'$恰好落在CD的中点M，$B'M$交BC于点N，$AB=4$，$AD=6$时，求FN的长；
【问题拓展】将图（1）特殊化，如图（3），E为AD中点，$B'A'$的延长线过点C，$EA'$交BC于点H.若$\frac{BF}{HC}=\frac{2}{3}$，则$\frac{AB}{AD}=\_\_\_\_\_\_$.
【问题探究】如图（2），当点A的对应点$A'$恰好落在CD的中点M，$B'M$交BC于点N，$AB=4$，$AD=6$时，求FN的长；
【问题拓展】将图（1）特殊化，如图（3），E为AD中点，$B'A'$的延长线过点C，$EA'$交BC于点H.若$\frac{BF}{HC}=\frac{2}{3}$，则$\frac{AB}{AD}=\_\_\_\_\_\_$.
答案
解：【问题提出】△AFA' 的形状是等腰三角形；理由如下：
如图1，连接AA' ，AF，A' F，
由折叠的性质得：FA=FA' ，
∴△AFA' 的形状是等腰三角形；
故答案为：等腰三角形；
【问题探究】矩形ABCD中，AB=4，AD=6，
∴AD//BC，CD=AB=4，BC=AD=6，
∵点M是CD中点，
∴CM=MD=2，
如图2，延长EM交BC的延长线于点G，
在△DEM和△CGM中，
$\begin{cases} ∠EMD = ∠GMC \\ DM = CM \\ ∠EDM = ∠GCM = 90° \end{cases}$
∴△DEM≌△CGM（ASA），
∴MG=EM，CG=ED，
由折叠的性质得：∠AEF=∠MEF，
又
∵AD//BC，
∴∠AEF=∠EFC，
∴∠GEF=∠EFG，
∴GE=GF=2AE，
设AE=EM=x，则DE=AD - AE=6 - x，
在Rt△DEM中，由勾股定理得：$DE^2+DM^2=EM^2$，
∴（6 - x）$^2+2^2=x^2$，
解得：$x=\frac{10}{3}$，
∴$GF=GE=GM=2EM=\frac{20}{3}$，$DE=6 - x=\frac{8}{3}$，则$CG=DE=\frac{8}{3}$，
∴$FC=GF - CG=\frac{20}{3}-\frac{8}{3}=4$，
∴BF=2，
∴B' F=BF=CM=2，
在△FB' N和△MCN中，
$\begin{cases} ∠B' = ∠C \\ ∠MNC = ∠FNB' \\ FB' = MC \end{cases}$，
△FB' N≌△MCN（AAS），
∴FN=MN，
设FN=MN=y，则NC=FC - FN=4 - y，
在Rt△MNC中，由勾股定理得：$MN^2=NC^2+MC^2$，
∴$y^2=（4 - y）^2+2^2$，
解得：$y=\frac{5}{2}$，
∴$FN=\frac{5}{2}$；
【问题拓展】如图，连接A' D，HB' ，
由折叠的性质得：EA=EA' ，
∵E是AD的中点，
∴EA=ED，
∴EA' =ED，
∴∠EDA' =∠EA' C，
又
∵∠EDC=∠EA' B=∠EA' C=90° ，
∴∠EDC - ∠CDA' =∠EA' C - ∠CA' D，即∠CA' D=∠CDA' ，
∴CD=CA' ，
又
∵AB=A' B' ，
∴A' 是B' C的中点，
∴EA' 垂直平分B' C，
∵$\frac{BF}{HC}=\frac{2}{3}$，设BF=2a，HC=3a，
∴HB' =HC=3a，
∴∠HB' C=∠HCB' ，
又
∵∠HB' C+∠HB' F=90° ，∠HB' C+∠HFB' =90° ，
∴∠HFB' =∠HB' F，
∴HF=HB' =3a，即H是FC的中点，
∴BC=BF+FH+HC=2a+3a+3a=8a，
∵H是FC的中点，A' 是B' C的中点，
∴$HA' =\frac{1}{2}FB' =\frac{1}{2}FB=a$，
∵AD//BC，
∴∠AEF=∠HFE，
由折叠的性质得：∠HEF=∠AEF，
∴∠HEF=∠HFE，
∴HE=HF=3a，
∴AE=A' E=A' H+HE=a+3a=4a，
∴AD=2AE=8a，
在Rt△FB' C中，FC=FH+HC=6a，FB' =2a，
由勾股定理得：$B' C=\sqrt{FC^2 - FB' ^2}=\sqrt{(6a)^2 - (2a)^2}=4\sqrt{2}a$，
∴$AB=DC=A' C=\frac{1}{2}B' C=2\sqrt{2}a$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{2\sqrt{2}a}{8a}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$.
解析
【分析】
本题分为三个部分：问题提出、问题探究、问题拓展。
问题提出：矩形沿EF折叠，点A的对应点为A'，根据折叠的性质，折痕EF是AA'的垂直平分线，故FA=FA'，由此可判断△AFA'的形状。
问题探究：已知矩形边长AB=4，AD=6，M是CD中点，需构造辅助线延长EM交BC延长线于G，利用ASA证明△DEM与△CGM全等，得到边的等量关系；结合折叠的角相等及平行线的内错角相等，推出GE=GF；设AE=x，在Rt△DEM中用勾股定理列方程求解，进而得到FC、BF的长度；再证明△FB'N与△MCN全等，设FN=y，在Rt△MNC中用勾股定理求出FN。
问题拓展：E为AD中点，由折叠性质得EA=EA'=ED，推出边和角的关系，得到A'是B'C中点；结合已知BF/HC=2/3设参数，利用折叠的等腰关系、平行线的角相等，推出HF=HB'、HE=HF；再通过勾股定理表示AB和AD，计算它们的比值。
【解析】
【问题提出】
如图1，连接AA'、AF、A'F，由折叠的性质可知，折痕EF垂直平分AA'，因此FA=FA'，故△AFA'是等腰三角形。
【问题探究】
在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，所以AD//BC，CD=AB=4，BC=AD=6。
∵M是CD中点，
∴CM=MD=2。
如图2，延长EM交BC的延长线于点G，在△DEM和△CGM中：
$\begin{cases} ∠EDM=∠GCM=90° \\ DM=CM \\ ∠DME=∠CMG \end{cases}$，
∴△DEM≌△CGM（ASA），得MG=EM，CG=ED。
由折叠性质，∠AEF=∠MEF，又AD//BC，
∴∠AEF=∠EFC，故∠GEF=∠EFG，因此GE=GF=2AE。
设AE=EM=x，则DE=AD - AE=6 - x，在Rt△DEM中，由勾股定理：
$DE^2 + DM^2 = EM^2$，即$(6 - x)^2 + 2^2 = x^2$，
解得$x=\frac{10}{3}$，
∴$GF=GE=2x=\frac{20}{3}$，$DE=6 - \frac{10}{3}=\frac{8}{3}$，故$CG=DE=\frac{8}{3}$，
∴$FC=GF - CG=\frac{20}{3}-\frac{8}{3}=4$，则$BF=BC - FC=6 - 4=2$，由折叠得$B'F=BF=2$，故$FB'=MC=2$。
在△FB'N和△MCN中：
$\begin{cases} ∠B'=∠C=90° \\ ∠FNB'=∠MNC \\ FB'=MC \end{cases}$，
∴△FB'N≌△MCN（AAS），得FN=MN。
设FN=MN=y，则NC=FC - FN=4 - y，在Rt△MNC中，由勾股定理：
$MN^2 = NC^2 + MC^2$，即$y^2=(4 - y)^2 + 2^2$，
解得$y=\frac{5}{2}$，故$FN=\frac{5}{2}$。
【问题拓展】
如图，连接A'D、HB'，由折叠性质得EA=EA'，
∵E是AD中点，
∴EA=ED，故EA'=ED，得∠EDA'=∠EA'C。
又∠EDC=∠EA'B=∠EA'C=90°，
∴∠CA'D=∠CDA'，故CD=CA'，又AB=A'B'，
∴A'是B'C中点，EA'垂直平分B'C。
设BF=2a，HC=3a，
∴HB'=HC=3a，∠HB'C=∠HCB'，又∠HB'C+∠HB'F=90°，∠HB'C+∠HFB'=90°，故∠HFB'=∠HB'F，得HF=HB'=3a，因此H是FC中点，BC=BF+FH+HC=2a+3a+3a=8a。
∵H是FC中点，A'是B'C中点，
∴$HA'=\frac{1}{2}FB'=\frac{1}{2}×2a=a$，
∵AD//BC，
∴∠AEF=∠HFE，由折叠得∠HEF=∠AEF，故∠HEF=∠HFE，得HE=HF=3a，
∴AE=A'E=A'H+HE=a+3a=4a，AD=2AE=8a。
在Rt△FB'C中，FC=FH+HC=6a，FB'=2a，由勾股定理得：
$B'C=\sqrt{FC^2 - FB'^2}=\sqrt{(6a)^2 - (2a)^2}=4\sqrt{2}a$，
∴AB=DC=A'C=$\frac{1}{2}B'C=2\sqrt{2}a$，故$\frac{AB}{AD}=\frac{2\sqrt{2}a}{8a}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
等腰三角形；$\frac{5}{2}$；$\frac{\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
矩形性质，折叠性质，勾股定理
【点评】
本题是矩形折叠的综合题，融合了折叠的轴对称性质、全等三角形判定、勾股定理、等腰三角形性质等知识点，需要构造辅助线转化边和角的关系，通过设参数或方程求解，考查学生的几何逻辑推理与计算能力，综合性较强。
【难度系数】
0.5
本题分为三个部分：问题提出、问题探究、问题拓展。
问题提出：矩形沿EF折叠，点A的对应点为A'，根据折叠的性质，折痕EF是AA'的垂直平分线，故FA=FA'，由此可判断△AFA'的形状。
问题探究：已知矩形边长AB=4，AD=6，M是CD中点，需构造辅助线延长EM交BC延长线于G，利用ASA证明△DEM与△CGM全等，得到边的等量关系；结合折叠的角相等及平行线的内错角相等，推出GE=GF；设AE=x，在Rt△DEM中用勾股定理列方程求解，进而得到FC、BF的长度；再证明△FB'N与△MCN全等，设FN=y，在Rt△MNC中用勾股定理求出FN。
问题拓展：E为AD中点，由折叠性质得EA=EA'=ED，推出边和角的关系，得到A'是B'C中点；结合已知BF/HC=2/3设参数，利用折叠的等腰关系、平行线的角相等，推出HF=HB'、HE=HF；再通过勾股定理表示AB和AD，计算它们的比值。
【解析】
【问题提出】
如图1，连接AA'、AF、A'F，由折叠的性质可知，折痕EF垂直平分AA'，因此FA=FA'，故△AFA'是等腰三角形。
【问题探究】
在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，所以AD//BC，CD=AB=4，BC=AD=6。
∵M是CD中点，
∴CM=MD=2。
如图2，延长EM交BC的延长线于点G，在△DEM和△CGM中：
$\begin{cases} ∠EDM=∠GCM=90° \\ DM=CM \\ ∠DME=∠CMG \end{cases}$，
∴△DEM≌△CGM（ASA），得MG=EM，CG=ED。
由折叠性质，∠AEF=∠MEF，又AD//BC，
∴∠AEF=∠EFC，故∠GEF=∠EFG，因此GE=GF=2AE。
设AE=EM=x，则DE=AD - AE=6 - x，在Rt△DEM中，由勾股定理：
$DE^2 + DM^2 = EM^2$，即$(6 - x)^2 + 2^2 = x^2$，
解得$x=\frac{10}{3}$，
∴$GF=GE=2x=\frac{20}{3}$，$DE=6 - \frac{10}{3}=\frac{8}{3}$，故$CG=DE=\frac{8}{3}$，
∴$FC=GF - CG=\frac{20}{3}-\frac{8}{3}=4$，则$BF=BC - FC=6 - 4=2$，由折叠得$B'F=BF=2$，故$FB'=MC=2$。
在△FB'N和△MCN中：
$\begin{cases} ∠B'=∠C=90° \\ ∠FNB'=∠MNC \\ FB'=MC \end{cases}$，
∴△FB'N≌△MCN（AAS），得FN=MN。
设FN=MN=y，则NC=FC - FN=4 - y，在Rt△MNC中，由勾股定理：
$MN^2 = NC^2 + MC^2$，即$y^2=(4 - y)^2 + 2^2$，
解得$y=\frac{5}{2}$，故$FN=\frac{5}{2}$。
【问题拓展】
如图，连接A'D、HB'，由折叠性质得EA=EA'，
∵E是AD中点，
∴EA=ED，故EA'=ED，得∠EDA'=∠EA'C。
又∠EDC=∠EA'B=∠EA'C=90°，
∴∠CA'D=∠CDA'，故CD=CA'，又AB=A'B'，
∴A'是B'C中点，EA'垂直平分B'C。
设BF=2a，HC=3a，
∴HB'=HC=3a，∠HB'C=∠HCB'，又∠HB'C+∠HB'F=90°，∠HB'C+∠HFB'=90°，故∠HFB'=∠HB'F，得HF=HB'=3a，因此H是FC中点，BC=BF+FH+HC=2a+3a+3a=8a。
∵H是FC中点，A'是B'C中点，
∴$HA'=\frac{1}{2}FB'=\frac{1}{2}×2a=a$，
∵AD//BC，
∴∠AEF=∠HFE，由折叠得∠HEF=∠AEF，故∠HEF=∠HFE，得HE=HF=3a，
∴AE=A'E=A'H+HE=a+3a=4a，AD=2AE=8a。
在Rt△FB'C中，FC=FH+HC=6a，FB'=2a，由勾股定理得：
$B'C=\sqrt{FC^2 - FB'^2}=\sqrt{(6a)^2 - (2a)^2}=4\sqrt{2}a$，
∴AB=DC=A'C=$\frac{1}{2}B'C=2\sqrt{2}a$，故$\frac{AB}{AD}=\frac{2\sqrt{2}a}{8a}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
等腰三角形；$\frac{5}{2}$；$\frac{\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
矩形性质，折叠性质，勾股定理
【点评】
本题是矩形折叠的综合题，融合了折叠的轴对称性质、全等三角形判定、勾股定理、等腰三角形性质等知识点，需要构造辅助线转化边和角的关系，通过设参数或方程求解，考查学生的几何逻辑推理与计算能力，综合性较强。
【难度系数】
0.5
