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24.（12分）平面直角坐标系中，直线AB的解析式为：$y=kx - 6k+6$（$k＜0$）过定点M，分别交x轴、y轴于点A、B.
（1）直接写出定点M的坐标________；
（2）如图（1），当$k=-1$时，点C在线段AB上，点D在x轴上，满足$OC=CD$且$∠ OCD=45°$，求点C的坐标；
（3）如图（2），平移直线AB交x轴负半轴于点E，交y轴负半轴于点F，使得$AM=EF$，连接ME交OB于点G，过点M作$MH⊥ BG$于点H，求$\frac{1}{HG}-\frac{1}{HB}$的值.
（1）直接写出定点M的坐标________；
（2）如图（1），当$k=-1$时，点C在线段AB上，点D在x轴上，满足$OC=CD$且$∠ OCD=45°$，求点C的坐标；
（3）如图（2），平移直线AB交x轴负半轴于点E，交y轴负半轴于点F，使得$AM=EF$，连接ME交OB于点G，过点M作$MH⊥ BG$于点H，求$\frac{1}{HG}-\frac{1}{HB}$的值.
答案
解：（1）y=kx - 6k+6=k（x - 6）+6，
∴M（6，6），
故答案为：（6，6）；
（2）当k=-1时，y=-x+12，
∴A（12，0），B（0，12），
过点O作OQ⊥OC交直线CD于点Q，过点Q作QP⊥y轴于P，过点C作CH⊥y轴交于H，
∵∠OCD=45° ，
∴OC=DQ，
∵∠HOC+∠OPQ=90° ，∠HOC+∠HCO=90° ，
∴∠OPQ=∠HCO，
∴△HCO≌△POQ（AAS），
∴HO=PQ，HC=OP，
设C（m，-m+12），
∴PQ=-m+12，OP=m，
∴Q（-m+12，-m），
∴直线CD的解析式为$y=\frac{6}{m-6}x+\frac{-m^2+12m-72}{m-6}$，
∴D（$\frac{m^2-12m+72}{6}$，0），
∵OC=CD，
∴$2m=\frac{m^2-12m+72}{6}$，
解得$m=12 - 6\sqrt{2}$或$m=12+6\sqrt{2}$（舍），
∴C（$12 - 6\sqrt{2}$，$6\sqrt{2}$）；
（3）过M点作MN⊥x轴交于N点，
∵AB//EF，
∴∠NAM=∠OEF，
∵AM=EF，∠EOF=∠MNA，
∴△MNA≌△FOE（AAS），
∴MN=OF，AN=EO，
∵M（6，6），
∴OF=6，
∵A（$6-\frac{k}{6}$，0），B（0，6 - 6k），
∴$AN=-\frac{k}{6}$，
∴$EO=-\frac{k}{6}$，
∵HM⊥OB，EO⊥BO，
∴HM//EO，
∴$\frac{HM}{EO}=\frac{GH}{6-GH}$，
∴$GH=\frac{6k}{k-1}$，
∵HB=OB - 6=-6k，
∴$\frac{1}{HG}-\frac{1}{HB}=\frac{k-1}{6k}+\frac{1}{6k}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
第（1）问：将直线解析式变形为含参数k的形式，利用“无论k取何值，含k项系数为0时等式恒成立”的特点，确定定点M的坐标；
第（2）问：先代入k=-1求出直线AB的解析式，得到A、B两点坐标，通过作辅助线构造全等三角形，结合等腰直角三角形的性质，设点C的坐标，利用OC=CD的条件列方程求解；
第（3）问：平移直线AB则AB与EF平行，结合AM=EF的条件，证明三角形全等得到对应边相等，再利用平行线分线段成比例的性质，结合坐标计算HG和HB的长度，最后代入分式计算结果。
【解析】
（1）对直线解析式变形：$y=kx - 6k+6=k(x-6)+6$，当$x=6$时，$y=6$，与k无关，故定点M的坐标为$(6,6)$；
（2）当$k=-1$时，直线AB解析式为$y=-x+12$，令$x=0$得$y=12$，故$B(0,12)$；令$y=0$得$x=12$，故$A(12,0)$。过O作$OQ⊥OC$交CD于Q，过Q作$QP⊥y$轴于P，过C作$CH⊥y$轴于H。
∵$∠OCD=45°$，$OC=CD$，
∴△OCQ为等腰直角三角形，$OC=OQ$。
易证$△HCO≌△POQ$（AAS），设$C(m,-m+12)$，则$HO=-m+12$，$HC=m$，故$PQ=HO=-m+12$，$OP=HC=m$，得$Q(-m+12,-m)$。
求直线CD的解析式，结合D在x轴上，得$D(\frac{m^2-12m+72}{6},0)$。
由$OC=CD$，得$OC^2=CD^2$，计算得$2m=\frac{m^2-12m+72}{6}$，解得$m=12-6\sqrt{2}$（$m=12+6\sqrt{2}$舍去，因C在线段AB上），故$C(12-6\sqrt{2},6\sqrt{2})$；
（3）过M作$MN⊥x$轴于N，
∵AB//EF，
∴$∠NAM=∠OEF$，又$AM=EF$，$∠MNA=∠FOE=90°$，故$△MNA≌△FOE$（AAS），得$MN=OF=6$，$AN=EO$。
∵$M(6,6)$，
∴$MN=6$，故$OF=6$。
∵$HM⊥OB$，$EO⊥OB$，
∴$HM//EO$，由平行线分线段成比例得$\frac{HM}{EO}=\frac{GH}{6-GH}$，结合坐标计算得$GH=\frac{6k}{k-1}$，$HB=-6k$，代入得：
$\frac{1}{HG}-\frac{1}{HB}=\frac{k-1}{6k}+\frac{1}{6k}=\frac{1}{6}$。
【答案】
（1）$(6,6)$；（2）$(12-6\sqrt{2},6\sqrt{2})$；（3）$\frac{1}{6}$
【知识点】
一次函数定点、全等三角形判定、坐标与几何计算
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，涉及定点确定、全等构造、坐标运算等知识点，需掌握辅助线构造方法及代数几何结合的思路，逻辑要求较高，属于中等难度的压轴题。
【难度系数】
0.4
第（1）问：将直线解析式变形为含参数k的形式，利用“无论k取何值，含k项系数为0时等式恒成立”的特点，确定定点M的坐标；
第（2）问：先代入k=-1求出直线AB的解析式，得到A、B两点坐标，通过作辅助线构造全等三角形，结合等腰直角三角形的性质，设点C的坐标，利用OC=CD的条件列方程求解；
第（3）问：平移直线AB则AB与EF平行，结合AM=EF的条件，证明三角形全等得到对应边相等，再利用平行线分线段成比例的性质，结合坐标计算HG和HB的长度，最后代入分式计算结果。
【解析】
（1）对直线解析式变形：$y=kx - 6k+6=k(x-6)+6$，当$x=6$时，$y=6$，与k无关，故定点M的坐标为$(6,6)$；
（2）当$k=-1$时，直线AB解析式为$y=-x+12$，令$x=0$得$y=12$，故$B(0,12)$；令$y=0$得$x=12$，故$A(12,0)$。过O作$OQ⊥OC$交CD于Q，过Q作$QP⊥y$轴于P，过C作$CH⊥y$轴于H。
∵$∠OCD=45°$，$OC=CD$，
∴△OCQ为等腰直角三角形，$OC=OQ$。
易证$△HCO≌△POQ$（AAS），设$C(m,-m+12)$，则$HO=-m+12$，$HC=m$，故$PQ=HO=-m+12$，$OP=HC=m$，得$Q(-m+12,-m)$。
求直线CD的解析式，结合D在x轴上，得$D(\frac{m^2-12m+72}{6},0)$。
由$OC=CD$，得$OC^2=CD^2$，计算得$2m=\frac{m^2-12m+72}{6}$，解得$m=12-6\sqrt{2}$（$m=12+6\sqrt{2}$舍去，因C在线段AB上），故$C(12-6\sqrt{2},6\sqrt{2})$；
（3）过M作$MN⊥x$轴于N，
∵AB//EF，
∴$∠NAM=∠OEF$，又$AM=EF$，$∠MNA=∠FOE=90°$，故$△MNA≌△FOE$（AAS），得$MN=OF=6$，$AN=EO$。
∵$M(6,6)$，
∴$MN=6$，故$OF=6$。
∵$HM⊥OB$，$EO⊥OB$，
∴$HM//EO$，由平行线分线段成比例得$\frac{HM}{EO}=\frac{GH}{6-GH}$，结合坐标计算得$GH=\frac{6k}{k-1}$，$HB=-6k$，代入得：
$\frac{1}{HG}-\frac{1}{HB}=\frac{k-1}{6k}+\frac{1}{6k}=\frac{1}{6}$。
【答案】
（1）$(6,6)$；（2）$(12-6\sqrt{2},6\sqrt{2})$；（3）$\frac{1}{6}$
【知识点】
一次函数定点、全等三角形判定、坐标与几何计算
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，涉及定点确定、全等构造、坐标运算等知识点，需掌握辅助线构造方法及代数几何结合的思路，逻辑要求较高，属于中等难度的压轴题。
【难度系数】
0.4
