24. (12分)如图,已知直线$AB// CD$.
(1)如图1,点M在直线AB上,点N在直线CD上,点E在直线AB,CD之间,$∠ BME,∠ E,∠ DNE$的数量关系是________;(不需要证明)
(2)如图2,在(1)的条件下,若NG平分$∠ CNE$,FE是$∠ AMG$的平分线所在的直线,且$∠ G+\frac{1}{2}∠ E=60°$,求$∠ AMG$的度数;
(3)如图3,BM平分$∠ ABE$,DN平分$∠ CDE$,直线BM,DN交于点F,求$∠ F:∠ E$的值;
(4)如图3,若$∠ ABM=\frac{1}{n}∠ MBE,∠ CDN=\frac{1}{n}∠ NDE$,则$\frac{∠ F}{∠ E}=\_\_\_\_\_\_$.(用含有n的代数式表示)


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24. 【点拨】本题考查平行线的性质在角的计算及角与角之间的数量关系探究中的应用.
【解析】(1)如图1,过点E作$EF// AB$.
∵ $AB// CD$,
∴ $AB// EF// CD$,
∴ $∠BME=∠MEF$,$∠DNE=∠NEF$,
∴ $∠MEN=∠MEF+∠NEF=∠BME+∠DNE$.
故答案为$∠BME+∠DNE=∠MEN$.
(2)
∵ NG平分$∠CNE$,MF平分$∠AMG$,
∴ 设$∠CNG=∠ENG=α$,$∠AMF=∠GMF=β$,
∴ $∠BME=∠AMF=β$.
如题图2,设AB与NG交于点H.
∵ $AB// CD$,
∴ $∠AHG=∠CNG=α$.
∵ $∠AHG+∠MHG=∠G+∠AMG+∠MHG=180°$,
∴ $∠AHG=∠G+∠AMG$,
∴ $∠G=α-2β$,
由(1)知,$∠E=∠DNE+∠BME=180°-2α+β$.
∵ $∠G+\frac{1}{2}∠E=60°$,
∴ $α-2β+90°-α+\frac{1}{2}β=60°$,解得$β=20°$,
∴ $∠AMG=2β=40°$.
(3)如图2,过点E作$EG// AB$,
设$∠ABE=2x$,$∠CDE=2y$.
∵ $AB// CD$,
∴ $AB// CD// EG$,
∴ $∠GEB+∠ABE=180°$,$∠CDE+∠GED=180°$,
∴ $∠GEB+∠ABE=∠CDE+∠GED$,
∴ $∠BED=∠GED-∠GEB=∠ABE-∠CDE=2x-2y$.
同理可得,$∠F=∠CDF-∠ABF=(180°-y)-(180°-x)=x-y$,
∴ $∠F:∠E=\frac{x-y}{2x-2y}=\frac{1}{2}$.
(4)设$∠ABM=x$,则$∠ABE=(n+1)x$,
设$∠CDN=y$,则$∠CDE=(n+1)y$.
由(3)可知,$∠E=∠ABE-∠CDE=(n+1)(x-y)$,
$∠F=∠CDF-∠ABF=(180°-y)-(180°-x)=x-y$,
∴ $\frac{∠F}{∠E}=\frac{x-y}{(n+1)(x-y)}=\frac{1}{n+1}$.
故答案为$\frac{1}{n+1}$.