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9. 如图，已知$AB// CD$，点E在两平行线之间，连结BE，CE，$∠ ABE$的平分线与$∠ BEC$的平分线的反向延长线交于点F。若$∠ BFE=50°$，则$∠ C$等于（
A.$70°$
B.$80°$
C.$85°$
D.$90°$
B
）A.$70°$
B.$80°$
C.$85°$
D.$90°$
答案
9.B 【解析】如图,延长BE交DC的延长线于点G。因为$∠ BFE=50°$,$∠ EBF+∠ FEB+∠ BFE=180°$,所以$∠ EBF+∠ BEF=180°-50°=130°$。因为$∠ ABE$的平分线与$∠ BEC$的平分线的反向延长线交于点F,所以$∠ ABE+∠ BEF+∠ FEC=260°$。因为$AB// CD$,所以$∠ ABE=∠ BGC$。所以$∠ BGC+∠ BEF+∠ FEC=260°$。因为$∠ BEF+∠ FEG=180°$,所以$∠ EGC+∠ CEG=80°$。所以$∠ ECG=100°$。所以$∠ ECD=180°-100°=80°$。故选B。
解析
【分析】
这道题是平行线性质、角平分线性质与三角形内角和的综合应用。解题思路：①通过作辅助线延长BE交DC的延长线于点G，将分散的角集中到三角形中；②在△BEF中，利用三角形内角和求出∠EBF与∠BEF的和；③结合角平分线的性质推导∠ABE与∠BEC的和；④利用AB//CD的内错角相等转化角，再结合△EGC的内角和求出∠ECG，最后通过邻补角关系得到∠C的度数。
【解析】
解：延长BE交DC的延长线于点G。
1. 在△BEF中，根据三角形内角和为180°，已知∠BFE=50°，则：
∠EBF + ∠BEF = 180° - ∠BFE = 180° - 50° = 130°。
2. 因为BF是∠ABE的平分线，所以∠ABE = 2∠EBF；EF是∠BEC的平分线的反向延长线，故∠BEC = 2∠FEC，因此：
∠ABE + ∠BEF + ∠FEC = 2(∠EBF + ∠BEF) = 2×130° = 260°。
3. 由于AB//CD，根据平行线内错角相等，得∠ABE = ∠BGC，代入上式得：
∠BGC + ∠BEF + ∠FEC = 260°。
又∠BEF + ∠FEG = 180°（邻补角定义），则∠EGC + ∠CEG = 260° - 180° = 80°。
在△EGC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠ECG = 180° - (∠EGC + ∠CEG) = 180° - 80° = 100°。
因为∠ECD与∠ECG是邻补角，所以：
∠ECD = 180° - ∠ECG = 180° - 100° = 80°。
【答案】
B
【知识点】
平行线性质、角平分线性质、三角形内角和
【点评】
本题通过构造辅助线将分散的角整合，结合平行线、角平分线的性质及三角形内角和定理求解，是几何角度计算的典型题型，需掌握辅助线的构造逻辑。
【难度系数】
0.5
这道题是平行线性质、角平分线性质与三角形内角和的综合应用。解题思路：①通过作辅助线延长BE交DC的延长线于点G，将分散的角集中到三角形中；②在△BEF中，利用三角形内角和求出∠EBF与∠BEF的和；③结合角平分线的性质推导∠ABE与∠BEC的和；④利用AB//CD的内错角相等转化角，再结合△EGC的内角和求出∠ECG，最后通过邻补角关系得到∠C的度数。
【解析】
解：延长BE交DC的延长线于点G。
1. 在△BEF中，根据三角形内角和为180°，已知∠BFE=50°，则：
∠EBF + ∠BEF = 180° - ∠BFE = 180° - 50° = 130°。
2. 因为BF是∠ABE的平分线，所以∠ABE = 2∠EBF；EF是∠BEC的平分线的反向延长线，故∠BEC = 2∠FEC，因此：
∠ABE + ∠BEF + ∠FEC = 2(∠EBF + ∠BEF) = 2×130° = 260°。
3. 由于AB//CD，根据平行线内错角相等，得∠ABE = ∠BGC，代入上式得：
∠BGC + ∠BEF + ∠FEC = 260°。
又∠BEF + ∠FEG = 180°（邻补角定义），则∠EGC + ∠CEG = 260° - 180° = 80°。
在△EGC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠ECG = 180° - (∠EGC + ∠CEG) = 180° - 80° = 100°。
因为∠ECD与∠ECG是邻补角，所以：
∠ECD = 180° - ∠ECG = 180° - 100° = 80°。
【答案】
B
【知识点】
平行线性质、角平分线性质、三角形内角和
【点评】
本题通过构造辅助线将分散的角整合，结合平行线、角平分线的性质及三角形内角和定理求解，是几何角度计算的典型题型，需掌握辅助线的构造逻辑。
【难度系数】
0.5
10.如图,有三张正方形纸片A,B,C,它们的边长分别为a,b,c,将三张纸片按图1、图2两种不同方式放置于同一长方形中,记图1中阴影部分周长为$l_1$,面积为$S_1$,图2中阴影部分周长为$l_2$,面积为$S_2$。若$S_2 - S_1 = ( \frac{l_1 - l_2}{2} )^2$,则$b:c$的值为 （
A.$\frac{3}{2}$
B.$2$
C.$\frac{5}{2}$
D.$3$
D
）A.$\frac{3}{2}$
B.$2$
C.$\frac{5}{2}$
D.$3$
答案
10.D 【解析】设大长方形的宽为d。由题图2知,$d=b-c+a$。所以$l_1=2(a+b+c+d-c)=2a+2b+2d$,$S_1=d(a+b+c)-a^2-b^2-c^2$,$l_2=a+b+c+d+a+c+(a-b)+(b-c)=3a+b+c+d$,$S_2=d(a+b+c)-a^2-b^2+bc$。所以$S_2-S_1=bc+c^2$,$l_1-l_2=b-c-a+d$。所以$bc+c^2=(\dfrac{b-c-a+d}{2})^2$。所以$bc+c^2=(b-c)^2$。所以$3bc=b^2$。所以$b=3c$。所以$b:c$的值为3。故选D。
解析
【分析】
要解决本题，需先设出大长方形的宽，结合图形关系确定宽与三个正方形边长的联系，再分别计算图1、图2中阴影部分的周长$l_1$、$l_2$和面积$S_1$、$S_2$，最后将这些量代入已知等式$S_2 - S_1 = (\frac{l_1 - l_2}{2})^2$，通过化简得到$b$与$c$的关系，进而求出$b:c$的值。
【解析】
设大长方形的宽为$d$，由图2可知$d = a + b - c$。
1. 计算周长：
图1阴影周长$l_1 = 2(a + b + c + d - c) = 2a + 2b + 2d$；
图2阴影周长$l_2 = a + b + c + d + a + c + (a - b) + (b - c) = 3a + b + c + d$；
则$l_1 - l_2 = (2a + 2b + 2d) - (3a + b + c + d) = -a + b - c + d$，代入$d = a + b - c$得：$l_1 - l_2 = 2b - 2c$，故$\frac{l_1 - l_2}{2} = b - c$，即$(\frac{l_1 - l_2}{2})^2 = (b - c)^2$。
2. 计算面积：
大长方形面积为$d(a + b + c)$，则$S_1 = d(a + b + c) - a^2 - b^2 - c^2$，$S_2 = d(a + b + c) - a^2 - b^2 + bc$，因此$S_2 - S_1 = bc + c^2$。
3. 代入等式化简：
由$S_2 - S_1 = (\frac{l_1 - l_2}{2})^2$，得$bc + c^2 = (b - c)^2$，展开右边得$bc + c^2 = b^2 - 2bc + c^2$，消去$c^2$后整理得$3bc = b^2$，因$b≠0$，故$b = 3c$，即$b:c = 3$。
【答案】
D
【知识点】
整式的加减、长方形与正方形的周长面积
【点评】
本题综合考查代数运算与几何图形的周长、面积计算，需准确表示阴影部分的周长和面积，结合等式推导边长关系，对学生的数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需先设出大长方形的宽，结合图形关系确定宽与三个正方形边长的联系，再分别计算图1、图2中阴影部分的周长$l_1$、$l_2$和面积$S_1$、$S_2$，最后将这些量代入已知等式$S_2 - S_1 = (\frac{l_1 - l_2}{2})^2$，通过化简得到$b$与$c$的关系，进而求出$b:c$的值。
【解析】
设大长方形的宽为$d$，由图2可知$d = a + b - c$。
1. 计算周长：
图1阴影周长$l_1 = 2(a + b + c + d - c) = 2a + 2b + 2d$；
图2阴影周长$l_2 = a + b + c + d + a + c + (a - b) + (b - c) = 3a + b + c + d$；
则$l_1 - l_2 = (2a + 2b + 2d) - (3a + b + c + d) = -a + b - c + d$，代入$d = a + b - c$得：$l_1 - l_2 = 2b - 2c$，故$\frac{l_1 - l_2}{2} = b - c$，即$(\frac{l_1 - l_2}{2})^2 = (b - c)^2$。
2. 计算面积：
大长方形面积为$d(a + b + c)$，则$S_1 = d(a + b + c) - a^2 - b^2 - c^2$，$S_2 = d(a + b + c) - a^2 - b^2 + bc$，因此$S_2 - S_1 = bc + c^2$。
3. 代入等式化简：
由$S_2 - S_1 = (\frac{l_1 - l_2}{2})^2$，得$bc + c^2 = (b - c)^2$，展开右边得$bc + c^2 = b^2 - 2bc + c^2$，消去$c^2$后整理得$3bc = b^2$，因$b≠0$，故$b = 3c$，即$b:c = 3$。
【答案】
D
【知识点】
整式的加减、长方形与正方形的周长面积
【点评】
本题综合考查代数运算与几何图形的周长、面积计算，需准确表示阴影部分的周长和面积，结合等式推导边长关系，对学生的数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
11. 因式分解：$3xy^2 - 12x = \underline{\hspace{5cm}}$。
答案
11.$3x(y+2)(y-2)$
解析
【分析】
因式分解时，先观察多项式是否存在公因式，若有则优先提取公因式，再对剩余部分利用公式法进一步分解。本题中，多项式$3xy^2 -12x$的公因式为$3x$，先提取公因式得到$3x(y^2 -4)$，而$y^2 -4$符合平方差公式$a^2 -b^2=(a+b)(a-b)$的形式，其中$a=y$，$b=2$，可继续分解，最终完成因式分解。
【解析】
解：原式$=3x(y^2 -4)$（提取公因式$3x$）
$=3x(y+2)(y-2)$（利用平方差公式分解$y^2 -4$）
【答案】
$3x(y+2)(y-2)$
【知识点】
因式分解、提公因式法、平方差公式
【点评】
本题是基础因式分解题，考查提公因式法与平方差公式的综合应用，解题步骤清晰，属于学生需熟练掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.8
因式分解时，先观察多项式是否存在公因式，若有则优先提取公因式，再对剩余部分利用公式法进一步分解。本题中，多项式$3xy^2 -12x$的公因式为$3x$，先提取公因式得到$3x(y^2 -4)$，而$y^2 -4$符合平方差公式$a^2 -b^2=(a+b)(a-b)$的形式，其中$a=y$，$b=2$，可继续分解，最终完成因式分解。
【解析】
解：原式$=3x(y^2 -4)$（提取公因式$3x$）
$=3x(y+2)(y-2)$（利用平方差公式分解$y^2 -4$）
【答案】
$3x(y+2)(y-2)$
【知识点】
因式分解、提公因式法、平方差公式
【点评】
本题是基础因式分解题，考查提公因式法与平方差公式的综合应用，解题步骤清晰，属于学生需熟练掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.8
12.已知$10^{x}=5,10^{y}=8$，则$10^{2x+y}=$______。
答案
12.200
解析
【分析】要计算$10^{2x+y}$，需运用指数运算法则对所求式子变形：根据同底数幂的乘法法则，$a^{m+n}=a^m· a^n$，可将$10^{2x+y}$拆分为$10^{2x}·10^y$；再根据幂的乘方法则，$a^{mn}=(a^m)^n$，将$10^{2x}$转化为$(10^x)^2$，最后代入已知的$10^x$和$10^y$的值计算即可。
【解析】解：根据指数运算法则：
$10^{2x+y}=10^{2x}·10^y$（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）
$=(10^x)^2·10^y$（幂的乘方，底数不变，指数相乘）
已知$10^x=5$，$10^y=8$，代入得：
原式$=5^2×8=25×8=200$
【答案】200
【知识点】幂的乘方、同底数幂乘法
【点评】本题考查指数的基本运算，属于基础题型，核心是掌握幂的乘方与同底数幂的乘法公式，代入已知值即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】解：根据指数运算法则：
$10^{2x+y}=10^{2x}·10^y$（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）
$=(10^x)^2·10^y$（幂的乘方，底数不变，指数相乘）
已知$10^x=5$，$10^y=8$，代入得：
原式$=5^2×8=25×8=200$
【答案】200
【知识点】幂的乘方、同底数幂乘法
【点评】本题考查指数的基本运算，属于基础题型，核心是掌握幂的乘方与同底数幂的乘法公式，代入已知值即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.9
13.某校七(1)班50名学生的健康状况被分成5组,第1组的频数为7,第2,3组的频率之和为0.46,第4组的频率是0.2,则第5组的频数为
10
。答案
13.10
解析
【分析】
要解决这道题，需利用频率的核心性质：所有组的频率之和为1，以及频数与频率的关系（频数=数据总数×频率）。解题时先通过频率和为1求出第5组的频率，再结合总人数计算第5组的频数。
【解析】
1. 求第5组的频率：因为各组频率之和为1，已知第2、3组频率之和为0.46，第4组频率为0.2，所以第5组的频率 = 1 - 0.46 - 0.2 = 0.34。
2. 求第5组的频数：总人数为50，根据“频数=总数×频率”，可得第5组的频数 = 50 × 0.34 = 10。
【答案】
10
【知识点】
频数与频率；频率的性质
【点评】
本题是统计类基础计算题，核心考察频率的基本性质和频数与频率的转换关系，只要掌握基础公式即可快速解答，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需利用频率的核心性质：所有组的频率之和为1，以及频数与频率的关系（频数=数据总数×频率）。解题时先通过频率和为1求出第5组的频率，再结合总人数计算第5组的频数。
【解析】
1. 求第5组的频率：因为各组频率之和为1，已知第2、3组频率之和为0.46，第4组频率为0.2，所以第5组的频率 = 1 - 0.46 - 0.2 = 0.34。
2. 求第5组的频数：总人数为50，根据“频数=总数×频率”，可得第5组的频数 = 50 × 0.34 = 10。
【答案】
10
【知识点】
频数与频率；频率的性质
【点评】
本题是统计类基础计算题，核心考察频率的基本性质和频数与频率的转换关系，只要掌握基础公式即可快速解答，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
14. 若关于$ x $的分式方程$\frac{x}{x+2} - 3 = \frac{m}{x+2}$有增根，则$ m $的值是________。
答案
14.$-2$
解析
【分析】要解决分式方程有增根求m的问题，需先明确增根的定义：分式方程的增根是使分母为0的未知数的值，也是去分母后整式方程的根。步骤为：1. 确定该分式方程的增根（令分母为0，解得x=-2）；2. 给分式方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程；3. 将增根代入整式方程，即可求出m的值。
【解析】分式方程$\frac{x}{x+2} - 3 = \frac{m}{x+2}$的最简公分母为$x+2$，增根满足$x+2=0$，即增根为$x=-2$。给方程两边同乘$x+2$去分母，得整式方程：$x - 3(x+2) = m$。将增根$x=-2$代入整式方程，得：$-2 - 3×(-2 + 2) = m$，计算得$-2 - 0 = m$，即$m=-2$。
【答案】$-2$
【知识点】分式方程的增根，解分式方程
【点评】本题考查分式方程增根的概念及应用，解题核心是理解增根的本质（使分式分母为0的根），通过转化为整式方程求解，属于分式方程的基础题型，需熟练掌握增根的处理方法。
【难度系数】0.6
【解析】分式方程$\frac{x}{x+2} - 3 = \frac{m}{x+2}$的最简公分母为$x+2$，增根满足$x+2=0$，即增根为$x=-2$。给方程两边同乘$x+2$去分母，得整式方程：$x - 3(x+2) = m$。将增根$x=-2$代入整式方程，得：$-2 - 3×(-2 + 2) = m$，计算得$-2 - 0 = m$，即$m=-2$。
【答案】$-2$
【知识点】分式方程的增根，解分式方程
【点评】本题考查分式方程增根的概念及应用，解题核心是理解增根的本质（使分式分母为0的根），通过转化为整式方程求解，属于分式方程的基础题型，需熟练掌握增根的处理方法。
【难度系数】0.6
15. 现有两组数:(1)4,6,8,10,12,14,…;(2)0,3,8,15,24,35,…。第(1)组数中从左到右第$n$个数记为$a_n$，第(2)组数中从左到右第$n$个数记为$b_n$，若$a_n + b_n ＜ 2024$，则$n$的最大值是
43
。答案
15.43 【解析】由题知,第(1)组数为4,6,8,10,12,14,…,所以$a_n=2n+2$。第(2)组数为0,3,8,15,24,35,…,所以$b_n=n^2-1$。又因为$a_n+b_n＜2024$,所以$n^2+2n+1＜2024$,即$(n+1)^2＜2024$。又因为$45^2=2025$,$44^2=1936$,所以$n$的最大值为43。
解析
【分析】
要解决这个问题，需分三步推导：首先观察两组数的规律，分别得出第n项的表达式；再将两个通项代入给定的不等式；最后结合n为正整数的条件，确定n的最大值。第一步，第（1）组数是等差数列，可通过等差数列通项公式推导；第二步，第（2）组数可通过对应序号的平方减1的规律推导；第三步，化简不等式后，利用平方数的大小关系确定n的取值。
【解析】
解：1. 推导第（1）组数的通项：第（1）组是首项为4、公差为2的等差数列，根据等差数列通项公式，$a_n=4+(n-1)×2=2n+2$；
2. 推导第（2）组数的通项：观察得$b_1=0=1^2-1$，$b_2=3=2^2-1$，$b_3=8=3^2-1$，…，故$b_n=n^2-1$；
3. 代入不等式化简：由$a_n + b_n ＜2024$，得$(2n+2)+(n^2-1)＜2024$，整理得$n^2+2n+1＜2024$，即$(n+1)^2＜2024$；
4. 确定n的最大值：因为$45^2=2025$，$44^2=1936$，所以$n+1＜\sqrt{2024}\approx44.98$，又n为正整数，故$n+1$最大取44，对应$n=43$。
【答案】43
【知识点】数列通项公式、代数式化简、一元二次不等式
【点评】本题结合数列规律探究与不等式应用，核心是通过观察数列特征推导通项，需注意n为正整数的隐含条件，整体难度适中，是基础题型。
【难度系数】0.6
要解决这个问题，需分三步推导：首先观察两组数的规律，分别得出第n项的表达式；再将两个通项代入给定的不等式；最后结合n为正整数的条件，确定n的最大值。第一步，第（1）组数是等差数列，可通过等差数列通项公式推导；第二步，第（2）组数可通过对应序号的平方减1的规律推导；第三步，化简不等式后，利用平方数的大小关系确定n的取值。
【解析】
解：1. 推导第（1）组数的通项：第（1）组是首项为4、公差为2的等差数列，根据等差数列通项公式，$a_n=4+(n-1)×2=2n+2$；
2. 推导第（2）组数的通项：观察得$b_1=0=1^2-1$，$b_2=3=2^2-1$，$b_3=8=3^2-1$，…，故$b_n=n^2-1$；
3. 代入不等式化简：由$a_n + b_n ＜2024$，得$(2n+2)+(n^2-1)＜2024$，整理得$n^2+2n+1＜2024$，即$(n+1)^2＜2024$；
4. 确定n的最大值：因为$45^2=2025$，$44^2=1936$，所以$n+1＜\sqrt{2024}\approx44.98$，又n为正整数，故$n+1$最大取44，对应$n=43$。
【答案】43
【知识点】数列通项公式、代数式化简、一元二次不等式
【点评】本题结合数列规律探究与不等式应用，核心是通过观察数列特征推导通项，需注意n为正整数的隐含条件，整体难度适中，是基础题型。
【难度系数】0.6
16.如图,已知$AB// CD$,点E,F分别在直线AB,CD上,点P在AB,CD之间,EF的右侧,且$∠ EPF=60°$。若将射线EA沿直线EP折叠得射线$EA'$,射线FC沿直线FP折叠得射线$FC'$,$EA'$与$FC'$所在直线交于点H,则$∠ EHF$的度数为
60°或120°
。答案
16.$60°$或$120°$ 【解析】①当点H在EF右侧时,如图1,作射线PM经过点E,作射线PN经过点F,过点P作$PQ// AB$,过点H作$HG// AB$,则$PQ// HG// AB// CD$。所以$∠ AEM=∠ QPE$,$∠ CFN=∠ QPF$,$∠ AEA'=∠ GHE$,$∠ CFC'=∠ GHF$。由折叠可设$∠ AEM=∠ A'EM=α$,$∠ CFN=∠ C'FN=β$,所以$∠ AEA'=2α=∠ GHE$,$∠ CFC'=2β=∠ GHF$。因为$∠ EPF=∠ QPE+∠ QPF=∠ AEM+∠ CFN=α+β=60°$,所以$∠ EHF=∠ GHE+∠ GHF=2α+2β=120°$。②当点H在EF左侧时,如图2,同理可得$∠ LHF=∠ CFC'$,$∠ KHE=∠ AEA'$,所以$∠ LHF+∠ KHE=∠ CFC'+∠ AEA'=2∠ CFN+2∠ AEM=2∠ EPF=120°$,所以$∠ EHF=180°-(∠ LHF+∠ KHE)=60°$。综上所述,$∠ EHF=60°$或$120°$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用AB//CD的平行线性质，通过过拐点作平行线转化角，结合折叠的性质（折叠前后对应角相等），分两种情况讨论点H的位置（在EF右侧或左侧），再根据角的和差关系计算∠EHF的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点H在EF右侧时（如图1）：
过点P作PQ//AB，过点H作HG//AB，
∵ AB//CD，
∴ PQ//HG//AB//CD，
根据平行线的内错角相等，得：∠QPE=∠AEM，∠QPF=∠CFN，∠GHE=∠AEA'，∠GHF=∠CFC'。
由折叠的性质，设∠AEM=∠A'EM=α，∠CFN=∠C'FN=β，
则∠AEA'=2α，∠CFC'=2β，
∵ ∠EPF=∠QPE+∠QPF=α+β=60°，
∴ ∠EHF=∠GHE+∠GHF=2α+2β=2(α+β)=2×60°=120°。
② 当点H在EF左侧时（如图2）：
同理，过拐点作平行线，可得∠KHE=∠AEA'=2α，∠LHF=∠CFC'=2β，
此时∠KHE+∠LHF=2α+2β=2(α+β)=120°，
∵ ∠EHF+∠KHE+∠LHF=180°，
∴ ∠EHF=180°-120°=60°。
综上，∠EHF的度数为60°或120°。
【答案】
60°或120°
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、角的计算
【点评】
本题综合考查平行线性质与折叠性质的应用，需分情况讨论点H的位置，关键是通过作辅助平行线转化角，将所求角与已知∠EPF建立联系，避免漏解是解题的易错点。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先利用AB//CD的平行线性质，通过过拐点作平行线转化角，结合折叠的性质（折叠前后对应角相等），分两种情况讨论点H的位置（在EF右侧或左侧），再根据角的和差关系计算∠EHF的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点H在EF右侧时（如图1）：
过点P作PQ//AB，过点H作HG//AB，
∵ AB//CD，
∴ PQ//HG//AB//CD，
根据平行线的内错角相等，得：∠QPE=∠AEM，∠QPF=∠CFN，∠GHE=∠AEA'，∠GHF=∠CFC'。
由折叠的性质，设∠AEM=∠A'EM=α，∠CFN=∠C'FN=β，
则∠AEA'=2α，∠CFC'=2β，
∵ ∠EPF=∠QPE+∠QPF=α+β=60°，
∴ ∠EHF=∠GHE+∠GHF=2α+2β=2(α+β)=2×60°=120°。
② 当点H在EF左侧时（如图2）：
同理，过拐点作平行线，可得∠KHE=∠AEA'=2α，∠LHF=∠CFC'=2β，
此时∠KHE+∠LHF=2α+2β=2(α+β)=120°，
∵ ∠EHF+∠KHE+∠LHF=180°，
∴ ∠EHF=180°-120°=60°。
综上，∠EHF的度数为60°或120°。
【答案】
60°或120°
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、角的计算
【点评】
本题综合考查平行线性质与折叠性质的应用，需分情况讨论点H的位置，关键是通过作辅助平行线转化角，将所求角与已知∠EPF建立联系，避免漏解是解题的易错点。
【难度系数】
0.5
17.(4分)计算或化简:
(1)$|-3|+(3.14-2025)^{0}-(-\dfrac{1}{3})^{-1}$。
(2)$(3x-1)^{2}-(3x+2)(3x-2)$。
(1)$|-3|+(3.14-2025)^{0}-(-\dfrac{1}{3})^{-1}$。
(2)$(3x-1)^{2}-(3x+2)(3x-2)$。
答案
17.(1)原式=7。(2)原式=$-6x+5$。
解析
【分析】
本题为基础运算题，分为两小问。第(1)问需掌握绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则：负数的绝对值是其相反数，非零数的零次幂为1，负整数指数幂等于对应正整数指数幂的倒数，按顺序计算即可。第(2)问需运用完全平方公式和平方差公式展开整式，再合并同类项，注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 分别计算各项：
绝对值：$|-3|=3$；
零指数幂：因$3.14-2025≠0$，故$(3.14-2025)^0=1$；
负整数指数幂：$(-\frac{1}{3})^{-1}=\frac{1}{-\frac{1}{3}}=-3$，则$-(-\frac{1}{3})^{-1}=-(-3)=3$；
原式$=3+1+3=7$。
(2) 利用公式展开并化简：
完全平方公式：$(3x-1)^2=9x^2-6x+1$；
平方差公式：$(3x+2)(3x-2)=9x^2-4$；
原式$=(9x^2-6x+1)-(9x^2-4)=9x^2-6x+1-9x^2+4=-6x+5$。
【答案】
(1) $7$；(2) $-6x+5$
【知识点】
零指数幂与负整数指数幂、整式的乘法公式
【点评】
本题考查初中数学基础运算能力，涉及绝对值、指数运算及整式乘法公式的应用，属于常规基础题，只要牢记运算法则和公式，注意符号处理，即可正确解答。
【难度系数】
0.8
本题为基础运算题，分为两小问。第(1)问需掌握绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则：负数的绝对值是其相反数，非零数的零次幂为1，负整数指数幂等于对应正整数指数幂的倒数，按顺序计算即可。第(2)问需运用完全平方公式和平方差公式展开整式，再合并同类项，注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 分别计算各项：
绝对值：$|-3|=3$；
零指数幂：因$3.14-2025≠0$，故$(3.14-2025)^0=1$；
负整数指数幂：$(-\frac{1}{3})^{-1}=\frac{1}{-\frac{1}{3}}=-3$，则$-(-\frac{1}{3})^{-1}=-(-3)=3$；
原式$=3+1+3=7$。
(2) 利用公式展开并化简：
完全平方公式：$(3x-1)^2=9x^2-6x+1$；
平方差公式：$(3x+2)(3x-2)=9x^2-4$；
原式$=(9x^2-6x+1)-(9x^2-4)=9x^2-6x+1-9x^2+4=-6x+5$。
【答案】
(1) $7$；(2) $-6x+5$
【知识点】
零指数幂与负整数指数幂、整式的乘法公式
【点评】
本题考查初中数学基础运算能力，涉及绝对值、指数运算及整式乘法公式的应用，属于常规基础题，只要牢记运算法则和公式，注意符号处理，即可正确解答。
【难度系数】
0.8
