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22. (10分)如图，$AB// CD$，点$E,F$分别在$AB,CD$上，且$EF⊥ GF$，$∠1$和$∠2$互余。
(1)比较$∠ AEF$和$∠2$的大小关系，并说明理由。
(2)若$∠1=28°$，求$∠ BEP$的度数。
(1)比较$∠ AEF$和$∠2$的大小关系，并说明理由。
(2)若$∠1=28°$，求$∠ BEP$的度数。
答案
22. (1)$∠AEF=∠2$。理由如下:因为$EF⊥GF$,所以$∠EFG=90°$。所以$∠1+∠EFD=90°$。因为$∠1$和$∠2$互余,所以$∠1+∠2=90°$。所以$∠2=∠EFD$。因为$AB//CD$,所以$∠AEF=∠EFD$。所以$∠AEF=∠2$。
(2)因为$∠1$和$∠2$互余,$∠1=28°$,所以$∠2=90°-∠1=62°$。由(1)知,$∠AEF=∠2$,所以$∠BEP=180°-∠AEF-∠2=180°-62°-62°=56°$。
(2)因为$∠1$和$∠2$互余,$∠1=28°$,所以$∠2=90°-∠1=62°$。由(1)知,$∠AEF=∠2$,所以$∠BEP=180°-∠AEF-∠2=180°-62°-62°=56°$。
解析
【分析】
要解决这道题，需结合垂直定义、余角性质和平行线性质推导角的关系。第一问通过垂直得到直角，结合互余推出角相等，再利用平行线内错角相等得出∠AEF与∠2的关系；第二问先由互余算出∠2，再结合第一问结论和平角定义计算∠BEP。
【解析】
(1) ∠AEF=∠2，理由如下：
∵ EF⊥GF（已知），
∴ ∠EFG=90°（垂直的定义），
∴ ∠1 + ∠EFD = 180° - ∠EFG = 90°（平角的定义）。
又
∵ ∠1和∠2互余（已知），
∴ ∠1 + ∠2 = 90°（余角的定义），
∴ ∠2 = ∠EFD（同角的余角相等）。
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠AEF = ∠EFD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠AEF = ∠2（等量代换）。
(2)
∵ ∠1和∠2互余，∠1=28°（已知），
∴ ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 28° = 62°（余角的定义）。
由(1)知∠AEF=∠2，
∴ ∠AEF=62°，
∵ 点E在AB上，∠AEF + ∠2 + ∠BEP = 180°（平角的定义），
∴ ∠BEP = 180° - ∠AEF - ∠2 = 180° - 62° - 62° = 56°。
【答案】
(1) ∠AEF=∠2；(2) ∠BEP=56°
【知识点】
平行线的性质、余角的性质、垂直的定义
【点评】
本题考查平行线性质、余角与垂直的相关知识，解题需结合角的定义逐步推导，逻辑清晰，属于基础几何题，侧重对基本性质的应用。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合垂直定义、余角性质和平行线性质推导角的关系。第一问通过垂直得到直角，结合互余推出角相等，再利用平行线内错角相等得出∠AEF与∠2的关系；第二问先由互余算出∠2，再结合第一问结论和平角定义计算∠BEP。
【解析】
(1) ∠AEF=∠2，理由如下：
∵ EF⊥GF（已知），
∴ ∠EFG=90°（垂直的定义），
∴ ∠1 + ∠EFD = 180° - ∠EFG = 90°（平角的定义）。
又
∵ ∠1和∠2互余（已知），
∴ ∠1 + ∠2 = 90°（余角的定义），
∴ ∠2 = ∠EFD（同角的余角相等）。
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠AEF = ∠EFD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠AEF = ∠2（等量代换）。
(2)
∵ ∠1和∠2互余，∠1=28°（已知），
∴ ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 28° = 62°（余角的定义）。
由(1)知∠AEF=∠2，
∴ ∠AEF=62°，
∵ 点E在AB上，∠AEF + ∠2 + ∠BEP = 180°（平角的定义），
∴ ∠BEP = 180° - ∠AEF - ∠2 = 180° - 62° - 62° = 56°。
【答案】
(1) ∠AEF=∠2；(2) ∠BEP=56°
【知识点】
平行线的性质、余角的性质、垂直的定义
【点评】
本题考查平行线性质、余角与垂直的相关知识，解题需结合角的定义逐步推导，逻辑清晰，属于基础几何题，侧重对基本性质的应用。
【难度系数】
0.6
23. (10分)小聪观察等式$(3a+b)(a+2b)=3a^2+7ab+2b^2$(按$a$降幂排序),发现如下规律:①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和:左边$(3+1)×(1+2)=4×3=12$,右边$3+7+2=12$,左边$=$右边;②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数:左边$3×1=3$,右边为$3$,左边$=$右边;左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数:左边$1×2=2$,右边为$2$,左边$=$右边。
(1)类比探究。请通过展开计算$(2a-b)(-a+2b)$,判断规律①和规律②是否成立。(类比小聪的表述写出必要的过程)
(2)基础应用。请根据上述规律填空:
①若$m,n$为常数,则$(a-b)(ma+nb)$的展开式中各项系数之和为
②若$t,r$为常数,满足$(ta-b)(a+rb)=2a^2-7ab+3b^2$,则$t^r=$
(3)拓展应用。
若$p,q$为常数,且$(2a-b)(a-pb)=2a^2+qab-2b^2$,请用上述发现规律列方程(组)求$p,q$的值。
(1)类比探究。请通过展开计算$(2a-b)(-a+2b)$,判断规律①和规律②是否成立。(类比小聪的表述写出必要的过程)
(2)基础应用。请根据上述规律填空:
①若$m,n$为常数,则$(a-b)(ma+nb)$的展开式中各项系数之和为
0
。②若$t,r$为常数,满足$(ta-b)(a+rb)=2a^2-7ab+3b^2$,则$t^r=$
$\frac{1}{8}$
。(3)拓展应用。
若$p,q$为常数,且$(2a-b)(a-pb)=2a^2+qab-2b^2$,请用上述发现规律列方程(组)求$p,q$的值。
答案
23.(1)$(2a-b)(-a+2b)=-2a^2+5ab-2b^2$,规律①②成立。理由如下:①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和:左边$[2+(-1)]×[(-1)+2]=1×1=1$,右边$(-2)+5+(-2)=1$,左边 = 右边 ;②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数:左边$2×(-1)=-2$,右边为$-2$,左边=右边;左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数:左边$(-1)×2=-2$,右边为$-2$,左边=右边。
(2)①根据规律①,右边展开式中多项式各项系数之和等于左边两个多项式各项系数之和的乘积,因为$(a-b)(ma+nb)$各项系数之和的乘积为$[1+(-1)](m+n)=0$,所以展开式中各项系数之和为0。故答案为:0。②$(ta-b)(a+rb)=2a^2-7ab+3b^2$,根据规律②,可得$t×1=2,-r=3$,所以$t=2,r=-3$。所以$t^r=2^{-3}=\frac{1}{8}$。故答案为:$\frac{1}{8}$。
(3)根据题意,得$\begin{cases}[2+(-1)]·[1+(-p)]=2+q+(-2), \\ (-1)·(-p)=-2, \end{cases}$ 所以$\begin{cases}1-p=q, \\ p=-2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} p=-2, \\ q=3。 \end{cases}$
(2)①根据规律①,右边展开式中多项式各项系数之和等于左边两个多项式各项系数之和的乘积,因为$(a-b)(ma+nb)$各项系数之和的乘积为$[1+(-1)](m+n)=0$,所以展开式中各项系数之和为0。故答案为:0。②$(ta-b)(a+rb)=2a^2-7ab+3b^2$,根据规律②,可得$t×1=2,-r=3$,所以$t=2,r=-3$。所以$t^r=2^{-3}=\frac{1}{8}$。故答案为:$\frac{1}{8}$。
(3)根据题意,得$\begin{cases}[2+(-1)]·[1+(-p)]=2+q+(-2), \\ (-1)·(-p)=-2, \end{cases}$ 所以$\begin{cases}1-p=q, \\ p=-2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} p=-2, \\ q=3。 \end{cases}$
解析
【分析】
本题围绕多项式乘法中的系数规律展开，需先明确题目给出的两个核心规律：①两个多项式各项系数之和的乘积等于展开后多项式各项系数之和；②两个多项式首项系数的乘积等于展开后多项式的首项系数，末项系数的乘积等于展开后多项式的末项系数。解题时，先通过展开计算验证规律是否成立，再利用规律解决填空和方程组求解问题，每一步对应规律推导，确保逻辑清晰。
【解析】
(1) 展开计算：
$(2a - b)(-a + 2b) = 2a×(-a) + 2a×2b - b×(-a) - b×2b = -2a² + 5ab - 2b²$
验证规律①：左边两个多项式各项系数之和的乘积为$[2 + (-1)]×[(-1)+2] = 1×1 = 1$；右边多项式各项系数之和为$(-2)+5+(-2)=1$，左边=右边，规律①成立。
验证规律②：左边首项系数乘积为$2×(-1)=-2$，右边首项系数为$-2$，相等；左边末项系数乘积为$(-1)×2=-2$，右边末项系数为$-2$，相等，规律②成立。
(2) ① 根据规律①，展开式各项系数之和等于左边两个多项式各项系数之和的乘积。$(a - b)$的系数和为$1 + (-1)=0$，因此乘积为$0×(m + n)=0$，故答案为0。
② 根据规律②，首项系数乘积：$t×1=2$，得$t=2$；末项系数乘积：$(-1)×r=3$，得$r=-3$。因此$t^r=2^{-3}=\frac{1}{8}$，故答案为$\frac{1}{8}$。
(3) 根据规律①：左边系数和乘积等于右边系数和，即$(2 + (-1))×(1 + (-p)) = 2 + q + (-2)$，化简得$1 - p = q$；
根据规律②：末项系数乘积等于右边末项系数，即$(-1)×(-p) = -2$，化简得$p=-2$；
将$p=-2$代入$1 - p = q$，得$q=1 - (-2)=3$。
【答案】
23.(1)$(2a - b)(-a + 2b)=-2a² +5ab -2b²$，规律①②成立。理由：①左边系数和乘积为1，右边系数和为1，相等；②左边首项、末项系数乘积分别等于右边对应项系数，均成立。
(2)①0；②$\frac{1}{8}$
(3)$p=-2$，$q=3$
【知识点】
多项式乘法规律，多项式系数计算，二元一次方程组解法
【点评】
本题通过探究多项式乘法的系数规律，考查学生的观察、归纳与应用能力，解题关键是准确理解并运用题目给出的规律，类比迁移解决不同类型问题，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
本题围绕多项式乘法中的系数规律展开，需先明确题目给出的两个核心规律：①两个多项式各项系数之和的乘积等于展开后多项式各项系数之和；②两个多项式首项系数的乘积等于展开后多项式的首项系数，末项系数的乘积等于展开后多项式的末项系数。解题时，先通过展开计算验证规律是否成立，再利用规律解决填空和方程组求解问题，每一步对应规律推导，确保逻辑清晰。
【解析】
(1) 展开计算：
$(2a - b)(-a + 2b) = 2a×(-a) + 2a×2b - b×(-a) - b×2b = -2a² + 5ab - 2b²$
验证规律①：左边两个多项式各项系数之和的乘积为$[2 + (-1)]×[(-1)+2] = 1×1 = 1$；右边多项式各项系数之和为$(-2)+5+(-2)=1$，左边=右边，规律①成立。
验证规律②：左边首项系数乘积为$2×(-1)=-2$，右边首项系数为$-2$，相等；左边末项系数乘积为$(-1)×2=-2$，右边末项系数为$-2$，相等，规律②成立。
(2) ① 根据规律①，展开式各项系数之和等于左边两个多项式各项系数之和的乘积。$(a - b)$的系数和为$1 + (-1)=0$，因此乘积为$0×(m + n)=0$，故答案为0。
② 根据规律②，首项系数乘积：$t×1=2$，得$t=2$；末项系数乘积：$(-1)×r=3$，得$r=-3$。因此$t^r=2^{-3}=\frac{1}{8}$，故答案为$\frac{1}{8}$。
(3) 根据规律①：左边系数和乘积等于右边系数和，即$(2 + (-1))×(1 + (-p)) = 2 + q + (-2)$，化简得$1 - p = q$；
根据规律②：末项系数乘积等于右边末项系数，即$(-1)×(-p) = -2$，化简得$p=-2$；
将$p=-2$代入$1 - p = q$，得$q=1 - (-2)=3$。
【答案】
23.(1)$(2a - b)(-a + 2b)=-2a² +5ab -2b²$，规律①②成立。理由：①左边系数和乘积为1，右边系数和为1，相等；②左边首项、末项系数乘积分别等于右边对应项系数，均成立。
(2)①0；②$\frac{1}{8}$
(3)$p=-2$，$q=3$
【知识点】
多项式乘法规律，多项式系数计算，二元一次方程组解法
【点评】
本题通过探究多项式乘法的系数规律，考查学生的观察、归纳与应用能力，解题关键是准确理解并运用题目给出的规律，类比迁移解决不同类型问题，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
